Gruppi di permutazione: basi e punti mossi

[Studente Anonimo]

Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito che agisca transitivamente e fedelmente su un insieme [tex]\Omega[/tex] anch'esso finito, con [tex]|\Omega| \geq 2[/tex].

Chiamiamo "base" di tale azione un sottoinsieme [tex]\Gamma[/tex] di [tex]\Omega[/tex] tale che se un elemento [tex]g \in G[/tex] fissa ogni elemento di [tex]\Gamma[/tex] allora e' l'identita', e di cardinalita' minima con questa proprieta'. Denotiamo tale cardinalita' minima con [tex]b(G)[/tex].

Dato [tex]g \in G[/tex] indichiamo con [tex]\text{supp}(g)[/tex] l'insieme degli elementi di [tex]\Omega[/tex] non fissati da [tex]g[/tex]. Definiamo [tex]\mu(G)[/tex] come il minimo dei [tex]|\text{supp}(g)|[/tex] quando [tex]g[/tex] varia in [tex]G-\{1\}[/tex].

1. Calcolare per esempio [tex]b(G)[/tex] e [tex]\mu(G)[/tex] quando [tex]G = C_n,\ S_n,\ A_n[/tex] nell'azione naturale su [tex]\{1,...,n\}[/tex] e di [tex]\text{GL}(m,q)[/tex] nell'azione naturale su [tex]{\mathbb{F}_q}^m-\{0\}[/tex].

2. Date le notazioni di cui sopra dimostrare che [tex]\mu(G) \cdot b(G) \geq |\Omega|[/tex].

Fonte: esercizi di Martin Liebeck alla scuola estiva di teoria dei gruppi a Venezia. Conosco una soluzione.

Note: il primo punto e' standard, per fare il secondo bisogna avere qualche buona idea, ma non sono richieste nozioni particolari oltre a quelle esposte (e' richiesta solo un po' di confidenza con le azioni dei gruppi).

[j18eos]

Le critiche costruttive sono sempre accette.

Il problema non l'ho inquadrato come hai esposto; ho ragionato più geometricamente: un'endomorfismo lineare [tex]$\phi$[/tex] di uno spazio vettoriale [tex]$\mathbb{V}$[/tex] è individuato dall'assegnare le immagini mediante [tex]$\phi$[/tex] dei vettori di una base di [tex]$\mathbb{V}$[/tex], ciò vale in particolare per gli isomorfismi lineari; quindi un isomorfismo lineare di [tex]$\mathbb{V}$[/tex] che "sposti meno vettori possibili" e che non sia l'identità fissa tutti i vettori di una data base ad eccezione di uno solo. Questa è l'idea di fondo.

[Studente Anonimo]

"j18eos":un isomorfismo lineare di [tex]$\mathbb{V}$[/tex] che "sposti meno vettori possibili" e che non sia l'identità fissa tutti i vettori di una data base ad eccezione di uno solo. Questa è l'idea di fondo.

Questo e' vero. Andrebbe solo giustificato meglio, osservando che se prendi l'insieme dei punti fissati da un certo automorfismo M di V (compreso il vettore nullo) ottieni un sottospazio vettoriale W di V. Quindi massimizzare il numero di punti fissi significa massimizzare la dimensione di questo W. Essa e' massima quando e' uguale a [tex]\dim(V)-1[/tex]. E fino qui credo che siamo d'accordo. Completi una base di W a una base di V aggiungendo un vettore [tex]v \in V[/tex] che non sta in [tex]W[/tex], ok. Ma ora non capisco perche' chiedi che [tex]v[/tex] sia riscalato (perdendoti il caso [tex]q=2[/tex], dato che qui di riscalamenti c'e' solo quello banale). Ti serve che sia mosso, non necessariamente riscalato.

[j18eos]

"Martino":...Ti serve che sia mosso, non necessariamente riscalato.

Purtroppo "ci sono arrivato dopo", spostandolo come poi ho scritto per [tex]$q=2$[/tex] concludo.

Accolgo comunque i tuoi 2 suggerimenti di scrivere daccapo il penultimo esercizio e di giustificare il ragionamento, quanto prima potrò.

Permettimi di ringraziarti di !

[Studente Anonimo]

"j18eos":Tale ragionamento resta valido se [tex]$q=2;\,m\geq2,\,e_1^{\phi(M)}=e_1+\sum_{k=2}^me_k$[/tex]

Esattamente cosa ti impedisce di fare questo per ogni [tex]q[/tex]?

Insomma, non capisco perche' distingui i due casi [tex]q \neq 2[/tex] e [tex]q=2[/tex] quando l'argomento che usi per [tex]q=2[/tex] funziona per ogni [tex]q[/tex].

Prego, figurati, vai tranquillo!

[j18eos]

Supposto che [tex]$\mathbb{F}_q^m$[/tex] indichi lo spazio vettoriale numerico sul campo [tex]$\mathbb{F}_q$[/tex] (finito di ordine [tex]$q$[/tex]) [tex]$m$[/tex]-dimensionale e non l'insieme degli elementi del medesimo che sono radici [tex]$m$[/tex]-sime di elementi dello stesso; ecco la soluzione in spoiler.

Come azione naturale mi è venuta in mente l'azione [tex]$\phi:M\in\mathrm{GL}(m;q)\rightarrow(v\in\mathbb{F}_q^m-\{0\}\rightarrow M\times v\in\mathbb{F}_q^m-\{0\})\in\mathrm{Sym}(\mathbb{F}_q^m-\{0\})$[/tex]; spero di essere chiaro nella notazione.
Poiché ogni matrice [tex]$M$[/tex] in [tex]$\mathrm{GL}(m;q)$[/tex] determina un [tex]$\mathbb{F}_q$[/tex]-automorfismo di [tex]$\mathbb{F}_q^m$[/tex] che ad ogni vettore [tex]$v$[/tex] associa il vettore [tex]$M\times v$[/tex], sicché [tex]$b(\mathrm{GL}(m;q))=m$[/tex] in quanto al fissare una base di [tex]$\mathbb{F}_q^m$[/tex] si fissano tutti i suoi vettori e quindi si ha l'identità.
Sia [tex]$E=\{e_k\in\mathbb{F}_q^m\}_{k\in I_1^m}$[/tex] una base di [tex]$\mathbb{F}_q^m$[/tex], da quanto scritto una permutazione non identica [tex]$\phi(M)$[/tex] non fissa tutti gli elementi di [tex]$E$[/tex]; per lo scopo preposto basta che ne fissi [tex]$n-1$[/tex], quindi [tex]$\phi(M)$[/tex] fissa il sottospazio [tex]$\mathbb{E}=\langle e_k\in\mathbb{F}_q^m\mid k\in I_2^m\rangle$[/tex], il quale ha [tex]$q^{m-1}-1$[/tex] vettori non nulli; da ciò si ha che [tex]$\mu(\mathrm{GL}(m;q))=|\mathbb{F}_q^m-\{0\}|-|\mathbb{E}-\{0\}|=q^m-1-(q^{m-1}-1)=q^m-1-q^{m-1}+1=q^m-q^{m-1},\,m\geq2$[/tex].
Tale ragionamento resta valido se [tex]$q\neq2;\,m=1,\,e_1^{\phi(M)}=ae_1$[/tex] ove [tex]$a\in\mathbb{F}_q^{m}-\{0;1\}$[/tex], in quanto l'unico vettore fissato è il vettore nullo.
Resta escluso il gruppo [tex]$GL(1;2)$[/tex] il quale non è altri che il gruppo identico.

[Studente Anonimo]

Bene, pero' solo un'ultima osservazione. Non dici mai una cosa di fondamentale importanza (del tutto necessaria perche' fili il tuo ragionamento), e cioe' che l'insieme dei punti fissati da un automorfismo M di [tex]V:=\mathbb{F}_q^m[/tex] (compreso il vettore nullo) e' un sottospazio vettoriale di [tex]V[/tex].

Ora ci sarebbe il punto 2

[j18eos]

Che l'insieme [tex]$\mathrm{Fix}(L)$[/tex] dei vettori fissati di un endomorfismo lineare [tex]$L$[/tex] di un dato spazio vettoriale su un campo sia un suo sottospazio lo dò per scontato.

[Studente Anonimo]

"j18eos":Che l'insieme [tex]$\mathrm{Fix}(L)$[/tex] dei vettori fissati di un endomorfismo lineare [tex]$L$[/tex] di un dato spazio vettoriale su un campo sia un suo sottospazio lo dò per scontato.

Lo puoi anche dare per scontato, ma secondo me se e' il nodo di passaggio dal massimizzare il numero di punti al massimizzare la dimensione di un sottospazio lo devi dire chiaramente. Opinione mia, certo.

[j18eos]

Sul punto 2 non mi viene nulla in mente!