Gli spazi topologici TULSC

[j18eos]

Inizio con lo spiegare il titolo!

Definizione. Uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) si definisce TULSC se vale il Teorema di Unicità del Limite di Successioni Convergenti; ovvero, sia \(\displaystyle\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}\) una successione convergente, allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso unico punto \(\displaystyle\overline{x}\in X\).

Esempi di spazi non TULSC.
[list=a][*:1faznq39]Un qualsiasi spazio topologico con almeno due punti distinti e con la topologia banale.[/*:m:1faznq39]
[*:1faznq39]Lo spazio di Sierpiński.[/*:m:1faznq39][/list:o:1faznq39]

Esercizi.
[list=1][*:1faznq39]Dimostrare che gli spazi di Hausdorff sono spazi TULSC.[/*:m:1faznq39]
[*:1faznq39]Dimostrare che gli spazi TULSC sono spazi di Fréchet.[/*:m:1faznq39]
[*:1faznq39]Gli spazi di Fréchet soddisfacenti al primo assioma di numerabilità sono TULSC?[/*:m:1faznq39]
[*:1faznq39]Costruire uno spazio TULSC non di Hausdorff.[/*:m:1faznq39]
[*:1faznq39]Costruire uno spazio di Fréchet non TULSC.[/*:m:1faznq39][/list:o:1faznq39]

[otta96]

Bello.

Si chiamano spazi US.
1)Per assurdo, siano $x,y\inX$ limiti distinti della successione ${x_n}_(n\inNN)$, allora $EE U,V\in\Tau: x\inU, y\inV, UnnV=\emptyset$, per definizione di convergenza di una successione $EE\bar{n}$ tale che $AAn>\bar{n}, x_n\inU, x_n\inV$, assurdo.
2)Sia $x\inX$, considero la successione costante ${x}_(n\inNN)$, ovviamente converge a $x$, ma per ipotesi converge SOLO a $x$, quindi $AAy\inX\setminus{x}EEU\in\Tau$ tale che $y\inU$ e $AA\bar{n}\inNNEEn>\bar{n}$ con $x=x_n\notinU$, quindi $X\setminus{x}$ è aperto, quindi i ${x}$ è chiuso, quindi i punti di $X$ sono chiusi, che è equivalente a $T_1$.
3)No, vedere il punto 5) (considerando un insieme numerabile), in compenso però si inverte l'implicazione del punto 1), ma non mi ricordo come si fa
4)La conumerabile su un insieme più che numerabile (basta dimostrare che una successione è convergente se e solo se è definitivamente costante, lo lascio per esercizio).
5)La cofinita su un insieme infinito.

[Bremen000]

1. Sia \( X \) uno spazio topologico di Hausdorff e sia \( \{x_n \} \subset X \) una successione convergente. Poiché lo spazio è di Hausdorff allora esiste un unico punto \( y \in X \) tale che \( x_n \to y \). Ogni sua sottosuccessione è convergente e quindi è necessariamente convergente a \(y \). Allora \(X \) è TULSC.

2. Sia \( X \) uno spazio topologico non di Fréchet e siano \(a, b \in X \) due punti non seperati. Sia \( \{x_n \} \subset X \) la successione costante in \( a \). Essa è convergente ma ogni sua sottosuccessione converge ad \(a \) e a \(b \) ergo \( X \) non è TULSC.

3. No, vedi 5.

4. Sia \( X \) un insieme più che numerabile e si consideri su \(X \) la topologia data da

\[ \tau = \{ A \subset X \mid X \setminus A \text{ finito o numerabile} \} \cup \{ \emptyset \} \]

(io la chiamo topologia conumerabile ma non so se è universale)

Allora due insiemi aperti non vuoti devono necessariamente intersecarsi: se $A$ e $B$ sono aperti e non si intersecano allora $B$ è contenuto nel complementare di $A$, cioè $B$ deve essere finto o numerabile, ma allora il complementare di $B$ è più che numerabile, ma allora $B$ non è aperto. Quindi lo spazio non è di Hausdorff.

Tuttavia le successioni convergenti sono definitivamente costanti: sia \( \{x_n \} \) una successione che converge a \( x \in X \), allora è definitivamente contenuta in ogni aperto che contiene \( x \), in particolare in \( X \setminus \{x_n: x_n \ne x \} \). Cioè esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che \( x_n =x \) per ogni \(n >N \). Dunque definitivamente \( x_n = x\).
Quindi \((X,\tau) \) è TULSC ma non è T2.


5. Su $\mathbb{N}$ sia data la topologia

\[ \tau = \{ A \subset \mathbb{N} \mid \mathbb{N} \setminus A \text{ finito } \} \cup \{ \emptyset \} \]

(io la chiamo topologia cofinita ma non so se è universale, anche se credo lo sia)

Lo spazio è di Fréchet: siano \( n < m \) due naturali distinti allora l'insieme \( \{n\} \cup \{m+1, m+2, \dots \} \) è aperto e non contiene \(m \) e l'insieme \( \{m, m+1, \dots \} \) è aperto e non contiene $n$.

Lo spazio non è TULSC: sia data la successione \( x_n = n \), essa converge ad ogni numero naturale.

Nota: è primo numerabile.

[j18eos]

@otta96 Mi fa piacere che l'esercizio ti sia piaciuto; e non sapevo che questi spazi si chiamassero US.

...peccato che la tua risposta sia incompleta di alcune dimostrazioni.

@otta96 & Bremen000 Per pignoleria dovreste dimostrare che una successione convergente in uno spazio di Hausdorff ammette un unico limite.

[Bremen000]

@j18eos noto che hai aggiunto 10 anni ad otta

Per la questione dell'unicità del limite in spazi di Hausdorff: dai, si sa

Grazie per questo esercizio!

[otta96]

"j18eos":peccato che la tua risposta sia incompleta di alcune dimostrazioni.

Mi rendo perfettamente conto che la mia risposta non era molto dettagliata, mi stava fatica scrivere più di tanti dettagli.

@otta86 & Bremen000 Per pignoleria dovreste dimostrare che una successione convergente in uno spazio di Hausdorff ammette un unico limite.

In realtà quella è una delle poche cose che ho fatto

[j18eos]

@Bremen000 Corretta la svista!

...e comunque topologia cofinita e conumerabile sono abbastanza universali come termini.

@otta96

[Bremen000]

@j18eos ho imparato topologia da me quindi non ero sicuro, magari era una terminologia del mio libro! Grazie!

[otta96]

Una cosa molto interessante e più avanzata di quelle che abbiamo trattato qui che si può fare con gli spazi US è caratterizzare quando la compattificazione di Alexandroff di uno spazio è US. Wilansky nel suo articolo "Between $T_1$and $T_2$" lo ha fatto.