Gioco combinatorio con albero d'ampiezza infinita
Salve a tutti.
Ho recentemente creato un gioco combinatorio (gioco da 2 giocatori ad informazione perfetta come Scacchi, Dama, Go...), chiamato Infinito, con un albero di gioco con un'ampiezza teoricamente infinita.
Il mio scopo originario era quello di creare un gioco combinatorio indecidibile (in cui è impossibile trovare la strategia perfetta di gioco), ma non credo di aver raggiunto lo scopo...
Quello che vorrei sapere è come la Matematica in generale e la Teoria dei Giochi in particolare potrebbero analizzare un gioco di questo tipo. Che strumenti si possono utilizzare?
Di seguito le regole di Infinito.
Ogni giocatore ha un infinito numero di pedine con un unico numero naturale scritto sopra: 0, 1, 2 e così via...
Il tavoliere è una scacchiera di qualsiasi dimensione, supponiamo una normale scacchiera 8x8.
I giocatori muovono alternandosi in turni, iniziando con il giocatore che controlla le pedine bianche (l'altro controlla le pedine nere). Ogni turno consiste in due azioni, eseguite in questo preciso ordine:
Movimento opzionale: si può muovere una propria pedina come la Regina degli Scacchi (muove ortogonalmente e diagonalmente di quanto si desidera). Se la pedina finisce il movimento adiacente ad una pedina nemica che ha un valore inferiore, e tale pedina non era già adiacente alla pedina nemica all'inizio del turno, si deve sostituire qualsiasi pedina amica (esclusa quella appena mossa) sul tavoliere con una pidina neutrale grigia con il simboli "∞" scritto sopra. Se si finisce adiacente a più pedine nemiche che hanno un valore inferiore alla pedine mossa, allora si compiono tante sostituzioni quante sono tali pedine nemiche.
[Quando si rimuovono le pedina dal tavoliere, questo sono nuovamente disponibili per futuri piazzamenti.]
Piazzamento obbligatorio: si deve piazzare una propria pedina in qualsiasi spazio libero.
Il gioco finisce quando il tavoliere è pieno: il giocatore che ha la somma dei valori delle proprie piedine più piccola vince.
Ho recentemente creato un gioco combinatorio (gioco da 2 giocatori ad informazione perfetta come Scacchi, Dama, Go...), chiamato Infinito, con un albero di gioco con un'ampiezza teoricamente infinita.
Il mio scopo originario era quello di creare un gioco combinatorio indecidibile (in cui è impossibile trovare la strategia perfetta di gioco), ma non credo di aver raggiunto lo scopo...
Quello che vorrei sapere è come la Matematica in generale e la Teoria dei Giochi in particolare potrebbero analizzare un gioco di questo tipo. Che strumenti si possono utilizzare?
Di seguito le regole di Infinito.
Ogni giocatore ha un infinito numero di pedine con un unico numero naturale scritto sopra: 0, 1, 2 e così via...
Il tavoliere è una scacchiera di qualsiasi dimensione, supponiamo una normale scacchiera 8x8.
I giocatori muovono alternandosi in turni, iniziando con il giocatore che controlla le pedine bianche (l'altro controlla le pedine nere). Ogni turno consiste in due azioni, eseguite in questo preciso ordine:
Movimento opzionale: si può muovere una propria pedina come la Regina degli Scacchi (muove ortogonalmente e diagonalmente di quanto si desidera). Se la pedina finisce il movimento adiacente ad una pedina nemica che ha un valore inferiore, e tale pedina non era già adiacente alla pedina nemica all'inizio del turno, si deve sostituire qualsiasi pedina amica (esclusa quella appena mossa) sul tavoliere con una pidina neutrale grigia con il simboli "∞" scritto sopra. Se si finisce adiacente a più pedine nemiche che hanno un valore inferiore alla pedine mossa, allora si compiono tante sostituzioni quante sono tali pedine nemiche.
[Quando si rimuovono le pedina dal tavoliere, questo sono nuovamente disponibili per futuri piazzamenti.]
Piazzamento obbligatorio: si deve piazzare una propria pedina in qualsiasi spazio libero.
Il gioco finisce quando il tavoliere è pieno: il giocatore che ha la somma dei valori delle proprie piedine più piccola vince.
Risposte
Qualcuno ha qualche idea su come procedere con lo studio di questo gioco?
Ad intuito direi che c'è un valore soglia S (dipendente in qualche modo dal numero massimo già presente e/o dal numero di celle libere) tale che non c'è differenza tra piazzare una pietra con valore S oppure una pietra con valore W, dove W > S.
Il problema è che non so minimamente come dimostrare questo fatto. Idee?
Ad intuito direi che c'è un valore soglia S (dipendente in qualche modo dal numero massimo già presente e/o dal numero di celle libere) tale che non c'è differenza tra piazzare una pietra con valore S oppure una pietra con valore W, dove W > S.
Il problema è che non so minimamente come dimostrare questo fatto. Idee?
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