Geometria sintetica classica

[robbstark1]

Al liceo tutti studiamo geometria sintetica, dove in sostanza si ha a che fare con rette, poligoni e cerchi.
Non ho mai incontrato esercizi di geometria sintetica con parabole o altre coniche né a scuola né alle olimpiadi della matematica, eppure Archimede è riuscito a dimostrare diversi teoremi sulle parabole e non solo.
Vorrei qui proporre di dimostrare certe proprietà delle coniche per via sintetica (molte delle quali sono riuscito a dimostrare, ma non tutte).

Per cominciare dalle basi:

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta, detta direttrice, e da un punto, detto fuoco.

A partire da questa definizione, provare che:
1. La parabola si trova tutta nel semipiano individuato dalla direttrice e contenente il fuoco;
2. Il punto medio del segmento che unisce il fuoco perpendicolarmente alla direttrice è il punto della parabola più vicino alla direttrice;
3. Presa una retta perpendicolare alla direttrice, questa interseca la parabola in un solo punto;
4. Un segmento che congiunge due punti della parabola non interseca la parabola in altri punti;
5. Prese una retta e una parabola, queste possono avere 0, 1 o 2 punti in comune.

Nota: sembrano tutte proprietà ovvie perché conosciamo la forma della parabola, il punto è che qui non va data per scontata.

[trozzola]

Inizio con la seconda. $Hp: FH _|_ KH , VH≅FV , PK≅FP ; Th: PK>VH ; VH≅FV rArr V in γ ; PK+FP > FK , FK>FH rArr $ $rArr PK+FP >FH ; PK≅(PK+FP)/2 , VH≅(FH)/2 rArr PK>VH ; c.v.d.$

[trozzola]

Ora sono stanco, gli altri teoremi li dimostro domani. Ad ogni modo le due richieste del primo teorema le ho già dimostrate su carta, essendo piuttosto semplici, ragionando per assurdo.

[Seneca1]

@Trozzola: in questa sezione consiglio di usare i tags "spoiler", tanto per non rovinare il divertimento a qualche altro interessato.

[trozzola]

"Seneca":@Trozzola: in questa sezione consiglio di usare i tags "spoiler", tanto per non rovinare il divertimento a qualche altro interessato.

Ho subito provveduto .

[trozzola]

Prima traccia, primo teorema:

Primo caso: $Hp: Finα ; d!inα ; P in r ; r_|_d ; Hinr ∧ Hind ; PF≅PH ; Th: P!ind; Per assurdo : P in r ∧ P in d rArr$
$rArr P!inα ; EE!H| Hinr ∧ Hind rArr P-=H ; PF≅PH rArr F-=P-=H rArr F in d rArr F!inα . Assurdo, c.v.d.$
In sostanza, se P giacesse su d, la parobola degenererebbe nella perpendicolare r passante per P .
P.S. : @robbstark, per "contenuta tutta" intendevi che la parabola sia interamente contenuta nel semipiano aperto contenente il fuoco, giusto? Questo spiega la mia ipotesi "$d!inα$".

[trozzola]

Secondo caso: $Hp: Finα; d!inβ ; P in r ; r_|_d ; Hinr ∧ Hind ; PH≅PF ; Fins ; s_|_r ; Kins∧Kinr ; Th: P !inβ ;$ $Perassurdo: P in β ; PF≅PH rArr PHF≅PFH ; PHF>FKH ; FKH>FHK rArr PHF>FHK ;$
$ FHK>PFH rArr PHF>PFH . Assurdo, c.v.d.$

[robbstark1]

Sicuramente va bene la dimostrazione del 2, mi pare anche le due parti sulla 1, anche se ho avuto un po' di difficolta' a leggerle, essendo tutto attaccato e senza spiegazioni. In particolare non ho capito cosa usi per dire che

$FHK>PFH$

Propongo una soluzione piu' veloce per l'ultimo caso che hai trattato:

Usando il tuo disegno, $PF$ interseca $d$; detto $Q$ il punto d'intersezione si ha $PF=PQ+QF$, ma $PQ>PH$ essendo ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo, quindi a maggior ragione $PF>PH$

Avanti con gli altri punti ora.