[Geometria algebrica] Fibre e prodotto fibrato
Ciao a tutti.
Ho una domanda di geometria algebrica alla quale non riesco (anche se dovrei) a trovare risposta, spero che qualcuno qui mi possa dare una mano. Espongo il problema.
Sia $K$ un campo (diciamo di numeri).
Sia $\phi: Y \rightarrow X$ un morfismo dominante di $K$-varietà (qui intendiamo $K$-schemi geometricamente interi e di tipo finito) di grado finito e maggiore o uguale a $2$. Sia $Z$ un altra $K$-varietà e consideriamo la mappa prodotto $\phi\times\text{Id}_Z:Y\times Z\rightarrow X\times Z$. Sia ora $x$ un punto $K$-razionale di $X$, e supponiamo che la fibra di $x$ mediante $\phi$ sia anch'essa un punto (non necessariamente razionale), diciamo $y$. Allora il campo residuo $\kappa(y)$ in $y$ è un'estensione finita di $K$ (che è il campo residuo in $x$).
Ora, se sollevo $x$ ad un punto $x\times z$ di $X\timesZ$ e considero la fibra mediante $\phi\times\text{Id}_Z$, mi sembra ragionevole pensare che l'estensione di campi che ottengo abbia lo stesso grado di $\kappa(y) | K$.
E' così? Se sì, perchè? Servono ipotesi aggiuntive?
Grazie a tutti!
Ho una domanda di geometria algebrica alla quale non riesco (anche se dovrei) a trovare risposta, spero che qualcuno qui mi possa dare una mano. Espongo il problema.
Sia $K$ un campo (diciamo di numeri).
Sia $\phi: Y \rightarrow X$ un morfismo dominante di $K$-varietà (qui intendiamo $K$-schemi geometricamente interi e di tipo finito) di grado finito e maggiore o uguale a $2$. Sia $Z$ un altra $K$-varietà e consideriamo la mappa prodotto $\phi\times\text{Id}_Z:Y\times Z\rightarrow X\times Z$. Sia ora $x$ un punto $K$-razionale di $X$, e supponiamo che la fibra di $x$ mediante $\phi$ sia anch'essa un punto (non necessariamente razionale), diciamo $y$. Allora il campo residuo $\kappa(y)$ in $y$ è un'estensione finita di $K$ (che è il campo residuo in $x$).
Ora, se sollevo $x$ ad un punto $x\times z$ di $X\timesZ$ e considero la fibra mediante $\phi\times\text{Id}_Z$, mi sembra ragionevole pensare che l'estensione di campi che ottengo abbia lo stesso grado di $\kappa(y) | K$.
E' così? Se sì, perchè? Servono ipotesi aggiuntive?
Grazie a tutti!
Risposte
CIa0,
come definisci gli schemi geometricamente integri (geometrically integral)? Usi un testo di riferimento?
come definisci gli schemi geometricamente integri (geometrically integral)? Usi un testo di riferimento?
Sì, l'espressione in inglese è "geometrically integral", e intendo ridotti e irriducibili e che queste proprietà si preservano quando si cambia di base alla chiusura algebrica. No, non uso un testo di riferimento, ma credo che per queste definizioni si ci si possa riferire senza rischi al Liu, Algebraic geometry and arithmetic curves.
Scusa ci sono troppe ipotesi 
puoi fare un esempio? Vorrei vederlo dal punto di vista degli anelli per capire la domanda, se hai $k to k[x]$ l'inclusione ottieni $Spec(k[x]) = X to Spec(k)$ ora prendi $Z = Spec(k[x])$ e fai il prodotto fibrato, ottieni $k[x] to k[x,y]$. Dato $P in X$ questo punto corrisponde a un polinomio $f(x)$ irriducibile, il campo residuo è $k[a]$ con $a$ radice di $f(x)$, ora rialzandolo ottieni $(f(x),g(y))$ per esempio, con $g(y)$ irriducibile, e in generale il grado di $k[x,y]//(f(x),g(y))$ su $k$ è diverso dal grado di $k[x]//(f(x))$ su $k$, no? Per esempio $K=QQ$, $f(x)=x$, $g(y)=y^2+1$. $f(x)$ ha grado 1 quindi $P$ è razionale.
puoi fare un esempio? Vorrei vederlo dal punto di vista degli anelli per capire la domanda, se hai $k to k[x]$ l'inclusione ottieni $Spec(k[x]) = X to Spec(k)$ ora prendi $Z = Spec(k[x])$ e fai il prodotto fibrato, ottieni $k[x] to k[x,y]$. Dato $P in X$ questo punto corrisponde a un polinomio $f(x)$ irriducibile, il campo residuo è $k[a]$ con $a$ radice di $f(x)$, ora rialzandolo ottieni $(f(x),g(y))$ per esempio, con $g(y)$ irriducibile, e in generale il grado di $k[x,y]//(f(x),g(y))$ su $k$ è diverso dal grado di $k[x]//(f(x))$ su $k$, no? Per esempio $K=QQ$, $f(x)=x$, $g(y)=y^2+1$. $f(x)$ ha grado 1 quindi $P$ è razionale.
Nel tuo esempio la mappa $\phi:Y\rightarrow X$ è il morfismo di struttura di $\mathbb{A}^1 \rightarrow Spec(k)$, che non ha grado finito, no? Comunque, provo a descrivere in dettaglio la mia situazione.
Ho un'estensione di Galois $L|K$ di gruppo $G$. Ho due $L$-varietà, $X$ e $Y$ e un rivestimento di Galois $\phi:Y\rightarrow X$ di gruppo $A$ dove $\phi$ ha grado finito almeno $2$. Posso anche supporre che tutto sia definito su $K$ e ottenuto per cambio di base.
Per ogni $\sigma \in G$ posso considerare il coniugato $X^\sigma$ di $X$ (nel caso affine questo si ottiene applicando $\sigma$ ai coefficienti dei polinomi che definiscono $X$). Quindi prendo $Z=\prod_{\sigma\ne 1} X^\sigma$. La mappa prodotto è dunque
$$Y\times \prod_{\sigma\ne 1} X^\sigma \rightarrow \prod_{\sigma\in G} X^\sigma.$$
Riassumo tutto in un diagramma:
[tex]\begin{CD}
Y\times\prod_{\sigma\ne 1} X^\sigma @>\phi\times\prod_{\sigma\ne 1}Id_{X^\sigma}>> \prod_{\sigma\in G} X^\sigma \\
@VVV @VVV\\
Y @>\phi>> X
\end{CD}[/tex]
Ora, io parto da un punto $K$-razionale $x\in X$ tale che la sua fibra mediante $\phi$ sia un punto $y$ il cui campo residuo sia Galois su $K$ con gruppo proprio $A$ (esistono punti del genere!). In questa situazione, posso aspettarmi che se sollevo $x$ a qualche $(x^\sigma)_{\sigma \in G}$ allora la fibra di questo, che sarebbe $(y,x^\sigma)_{\sigma\ne 1}$ produca un'estensione di grado $|A|$?
Facciamo un esempio un po' più concreto. Sia $L|K$ un'estensione di Galois di grado $n$ con gruppo $G$. Sia $Y$ una curva piana irriducibile definita su $L$. Supponiamo $Y$ sia definita da un polinomio $f(T,U)$ che ha grado almeno 2 in $T$ ed è Galois su $L(U)$.
Sia $\phi:Y\rightarrow \mathbb A^1 =X$ la proiezione sulla prima coordinata. Allora $\phi$ è un rivestimento di Galois di grado $2$. Sia $Z=\mathbb A^{n-1}$ (se vogliamo, il prodotto di tutti i coniugati di $\mathbb A^1$ rispetto agli elementi di $G$). Il diagramma è allora
[tex]\begin{CD}
Y\times\mathbb{A}^{n-1} @>\phi\times Id_{\mathbb{A}^{n-1}}>> \mathbb{A}^n \\
@VVV @VVV\\
Y @>\phi>A> X
\end{CD}[/tex]
Ora, se $t$ è un punto $K$-razionale di $X$, allora prendendo la fibra l'estensione che ottengo è [tex](L/f(t,U))/K[/tex]. Se ora sollevo $t$ a $(t,t_2,\ldots,t_n) e prendo la fibra, il campo residuo è
[tex]L[U,T_2,...,T_n]/(f(t,U),T_2-t_2,\ldots,T_n-t_n) = L/f(t,U)[/tex]
quindi ho proprio la stessa estensione.
Ho un'estensione di Galois $L|K$ di gruppo $G$. Ho due $L$-varietà, $X$ e $Y$ e un rivestimento di Galois $\phi:Y\rightarrow X$ di gruppo $A$ dove $\phi$ ha grado finito almeno $2$. Posso anche supporre che tutto sia definito su $K$ e ottenuto per cambio di base.
Per ogni $\sigma \in G$ posso considerare il coniugato $X^\sigma$ di $X$ (nel caso affine questo si ottiene applicando $\sigma$ ai coefficienti dei polinomi che definiscono $X$). Quindi prendo $Z=\prod_{\sigma\ne 1} X^\sigma$. La mappa prodotto è dunque
$$Y\times \prod_{\sigma\ne 1} X^\sigma \rightarrow \prod_{\sigma\in G} X^\sigma.$$
Riassumo tutto in un diagramma:
[tex]\begin{CD}
Y\times\prod_{\sigma\ne 1} X^\sigma @>\phi\times\prod_{\sigma\ne 1}Id_{X^\sigma}>> \prod_{\sigma\in G} X^\sigma \\
@VVV @VVV\\
Y @>\phi>> X
\end{CD}[/tex]
Ora, io parto da un punto $K$-razionale $x\in X$ tale che la sua fibra mediante $\phi$ sia un punto $y$ il cui campo residuo sia Galois su $K$ con gruppo proprio $A$ (esistono punti del genere!). In questa situazione, posso aspettarmi che se sollevo $x$ a qualche $(x^\sigma)_{\sigma \in G}$ allora la fibra di questo, che sarebbe $(y,x^\sigma)_{\sigma\ne 1}$ produca un'estensione di grado $|A|$?
Facciamo un esempio un po' più concreto. Sia $L|K$ un'estensione di Galois di grado $n$ con gruppo $G$. Sia $Y$ una curva piana irriducibile definita su $L$. Supponiamo $Y$ sia definita da un polinomio $f(T,U)$ che ha grado almeno 2 in $T$ ed è Galois su $L(U)$.
Sia $\phi:Y\rightarrow \mathbb A^1 =X$ la proiezione sulla prima coordinata. Allora $\phi$ è un rivestimento di Galois di grado $2$. Sia $Z=\mathbb A^{n-1}$ (se vogliamo, il prodotto di tutti i coniugati di $\mathbb A^1$ rispetto agli elementi di $G$). Il diagramma è allora
[tex]\begin{CD}
Y\times\mathbb{A}^{n-1} @>\phi\times Id_{\mathbb{A}^{n-1}}>> \mathbb{A}^n \\
@VVV @VVV\\
Y @>\phi>A> X
\end{CD}[/tex]
Ora, se $t$ è un punto $K$-razionale di $X$, allora prendendo la fibra l'estensione che ottengo è [tex](L/f(t,U))/K[/tex]. Se ora sollevo $t$ a $(t,t_2,\ldots,t_n) e prendo la fibra, il campo residuo è
[tex]L[U,T_2,...,T_n]/(f(t,U),T_2-t_2,\ldots,T_n-t_n) = L/f(t,U)[/tex]
quindi ho proprio la stessa estensione.
Premetto due cose che riguardano la mia salute: la prima è che mi fa male la testa, quindi non assicuro al \(\displaystyle100\%\) la correttezza del mio successivo esempio; la seconda è che vedere i prodotti fibrati di schemi sono trattati come si fossero i prodotti cartesiani dei sostegni degli schemi mi fa venire l'epilessia intestinale[nota]...e tra l'altro, ho l'intestino delicato.[/nota].
Restando sulla seconda affermazione: quando scrivevo la tesi di laurea magistrale, trattai alla stessa maniera i prodotti fibrati di schemi, che tra l'altro è normale fare dopo che li si è capiti. Il fatto è che scrissi la dimostrazione di un teorema importante, dimenticandomi dell'ultimo pezzo, proprio perché li trattavo come gli usuali prodotti cartesiani di insiemi: attenzione!
Tornando alla prima domanda: la risposta è (o sembrerebbe) no!
Esempio: sia \(\displaystyle\varphi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) l'inclusione; detto \(\displaystyle\varphi^{*}:Y\to X\) il relativo morfismo che si ottiene passando allo spettro, questi è di tipo finito dominante, di grado \(\displaystyle2\), e i \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-schemi in gioco sono geometricamente integri e di tipo finito.
Se si cambia lo schema di base proprio con \(\displaystyle\overline{\mathbb{Q}}\) (la chiusura algebrica di \(\displaystyle\mathbb{Q}\)), si ottiene un morfismo \(\displaystyle\psi^{*}:Spec\overline{\mathbb{Q}}\to Spec\overline{\mathbb{Q}}\), ove \(\displaystyle\psi=\varphi\otimes Id_{\overline{\mathbb{Q}}}\); e il campo residuo dei punti è \(\displaystyle\overline{\mathbb{Q}}\), che come estensione di campo su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) ha grado infinito e su se stesso ha grado \(\displaystyle1\), quando poi il punto di \(\displaystyle Spec\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ha grado \(\displaystyle2\) sul punto di \(\displaystyle Spec\mathbb{Q}\).
Ho risposto correttamente alla prima domanda?
Restando sulla seconda affermazione: quando scrivevo la tesi di laurea magistrale, trattai alla stessa maniera i prodotti fibrati di schemi, che tra l'altro è normale fare dopo che li si è capiti. Il fatto è che scrissi la dimostrazione di un teorema importante, dimenticandomi dell'ultimo pezzo, proprio perché li trattavo come gli usuali prodotti cartesiani di insiemi: attenzione!
Tornando alla prima domanda: la risposta è (o sembrerebbe) no!
Esempio: sia \(\displaystyle\varphi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) l'inclusione; detto \(\displaystyle\varphi^{*}:Y\to X\) il relativo morfismo che si ottiene passando allo spettro, questi è di tipo finito dominante, di grado \(\displaystyle2\), e i \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-schemi in gioco sono geometricamente integri e di tipo finito.
Se si cambia lo schema di base proprio con \(\displaystyle\overline{\mathbb{Q}}\) (la chiusura algebrica di \(\displaystyle\mathbb{Q}\)), si ottiene un morfismo \(\displaystyle\psi^{*}:Spec\overline{\mathbb{Q}}\to Spec\overline{\mathbb{Q}}\), ove \(\displaystyle\psi=\varphi\otimes Id_{\overline{\mathbb{Q}}}\); e il campo residuo dei punti è \(\displaystyle\overline{\mathbb{Q}}\), che come estensione di campo su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) ha grado infinito e su se stesso ha grado \(\displaystyle1\), quando poi il punto di \(\displaystyle Spec\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ha grado \(\displaystyle2\) sul punto di \(\displaystyle Spec\mathbb{Q}\).
Ho risposto correttamente alla prima domanda?
"j18eos":
Premetto due cose che riguardano la mia salute: la prima è che mi fa male la testa, quindi non assicuro al \( \displaystyle100\% \) la correttezza del mio successivo esempio; la seconda è che vedere i prodotti fibrati di schemi sono trattati come si fossero i prodotti cartesiani dei sostegni degli schemi mi fa venire l'epilessia intestinale
Mi dispiace per il tuo mal di testa, ma sono felice che il tuo intestino sia salvo, nessuno infatti ha confuso prodotti fibrati con prodotti cartesiani, semplicemente omettiamo la base quando è il campo su cui tutte le varietà sono definite.
Veniamo all'esempio finale. Mi serve qualche spiegazione in più. Chi è per te [tex]\psi^*[/tex]? Tu sei partito da un morfismo dato da un'estensione di Galois, che pertanto è étale. E il cambio di base di un morfismo étale mantiene il grado, quindi, se non sto prendendo cantonate (vi prego di spiegarmelo, nel caso contrario), anche [tex]\psi^*[/tex] ha grado $2$.
Che mi dite dell'esempio che ho scritto alla fine del mio post precedente?
Ho chiarificato la notazione; però l'esempio non va bene, in quanto \(\displaystyle Spec\overline{\mathbb{Q}}\) non è una \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-varietà.
Però se cambi la base con \(\displaystyle\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) funziona (se non ho sbagliato i calcoli).
A mente fresca darò uno sguardo al tuo esempio!
Però se cambi la base con \(\displaystyle\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) funziona (se non ho sbagliato i calcoli).
A mente fresca darò uno sguardo al tuo esempio!
Non sono ancora convinto: l'estensione che ottieni è [tex]\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)/\mathbb{Q}(\sqrt 3)[/tex], che ha lo stesso grado (due) di [tex]\mathbb{Q}(\sqrt 2)/\mathbb{Q}[/tex]. Mi fai vedere esplicitamente i conti?
Sì, tutto corretto; ma tu non vai considerare il grado di \(\displaystyle\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\) su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) (che è quattro)? Non è questo quello che ti interessa?
No, io voglio proprio considerare il grado di [tex]\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)/\mathbb Q(\sqrt 3)[/tex]! Più in generale, se parto dalla mappa [tex]\phi:Y\rightarrow X[/tex] poi cambio di base a $Z$ e ottengo [tex]\phi\times_L Id_Z:Y\times_L Z\rightarrow X\times_L Z[/tex], prendo un punto $x\in X$ e la sua fibra $y$ mediante $\phi$ e mi interessa il grado dell'estensione data da un punto a cui sollevo $x$ in $X\times_L Z$ e dalla sua fibra mediante $\phi\times_L Id_Z$. Non sono stato a riscrivere tutte le notazioni e il perchè quello che scrivo ha senso.
O muse, o alto ingegno, or m'aiutate
Sto cercando di capire ma non sono sicuro d'essere molto d'aiuto. Nel frattempo vorrei sapere una cosa.
Indico con $dim_x(X)$ la dimensione (di Krull) dell'anello locale $O_{X,x}$. La fibra di $f:X \to Y$ in $y \in Y$ è il $k(y)$-schema $X_y = X \times_Y Spec(k(y))$, dove $k(y)$ è il campo residuo di $O_{Y,y}$. Allora si ha il seguente risultato.
Se $f:X \to Y$ è un morfismo piatto di schemi localmente noetheriani, $x \in X$ e $y = f(x)$ allora $\dim_x(X_y) = \dim_x(X)-\dim_y(Y)$.
Questo risultato si applica al tuo caso? Ricordando che la piattezza è stabile per cambiamento di base.
Poi vorrei sapere se il tuo problema si può esprimere in termini della dimensione di Krull. Scusami sto rivisitando le mie note e ho più domande che risposte ma è tanto che non vedo queste cose e sono più curioso che altro
spero di essere utile ma non garantisco.
Sto cercando di capire ma non sono sicuro d'essere molto d'aiuto. Nel frattempo vorrei sapere una cosa.
Indico con $dim_x(X)$ la dimensione (di Krull) dell'anello locale $O_{X,x}$. La fibra di $f:X \to Y$ in $y \in Y$ è il $k(y)$-schema $X_y = X \times_Y Spec(k(y))$, dove $k(y)$ è il campo residuo di $O_{Y,y}$. Allora si ha il seguente risultato.
Se $f:X \to Y$ è un morfismo piatto di schemi localmente noetheriani, $x \in X$ e $y = f(x)$ allora $\dim_x(X_y) = \dim_x(X)-\dim_y(Y)$.
Questo risultato si applica al tuo caso? Ricordando che la piattezza è stabile per cambiamento di base.
Poi vorrei sapere se il tuo problema si può esprimere in termini della dimensione di Krull. Scusami sto rivisitando le mie note e ho più domande che risposte ma è tanto che non vedo queste cose e sono più curioso che altro
spero di essere utile ma non garantisco.
Ciao a tutti.
Detta così mi sembra semplice, ma magari mi sbaglio io.
Osserviamo anzitutto che $Z \times Y = (Z \times X) \times_X Y$.
Per me sollevare significa questo: è dato $x : \text{Spec}(K) \to X$. Allora $x \times z$ deve essere un morfismo $\text{Spec}(K) \to X \times Z$ la cui proiezione su $X$ coincide con $x$. In particolare la proiezione $z : \text{Spec}(K) \to Z$ è ancora un punto $K$-razionale. D'altra parte mi sembra che nel tuo esempio sia proprio questo che succede.
In questo caso abbiamo banalmente che
$$ \text{Spec}(K) \times_{Z \times X} (Z \times Y) = \text{Spec}(K) \times_{Z \times X} (Z \times X) \times_X Y = \text{Spec}(K) \times_X Y , $$
e quindi le due fibre coincidono sempre, anche senza l'ipotesi che la fibra $\text{Spec}(K) \times_X Y$ sia ridotta ad un solo punto. Se ci aggiungiamo quest'ultima ipotesi, vediamo che il grado dell'estensione è lo stesso.
Detta così mi sembra semplice, ma magari mi sbaglio io.
Osserviamo anzitutto che $Z \times Y = (Z \times X) \times_X Y$.
"mickey88":
Sia ora $x$ un punto $K$-razionale di $X$ [...] Ora, se sollevo $x$ ad un punto $x\times z$ di $X\times Z$ [...]
Per me sollevare significa questo: è dato $x : \text{Spec}(K) \to X$. Allora $x \times z$ deve essere un morfismo $\text{Spec}(K) \to X \times Z$ la cui proiezione su $X$ coincide con $x$. In particolare la proiezione $z : \text{Spec}(K) \to Z$ è ancora un punto $K$-razionale. D'altra parte mi sembra che nel tuo esempio sia proprio questo che succede.
In questo caso abbiamo banalmente che
$$ \text{Spec}(K) \times_{Z \times X} (Z \times Y) = \text{Spec}(K) \times_{Z \times X} (Z \times X) \times_X Y = \text{Spec}(K) \times_X Y , $$
e quindi le due fibre coincidono sempre, anche senza l'ipotesi che la fibra $\text{Spec}(K) \times_X Y$ sia ridotta ad un solo punto. Se ci aggiungiamo quest'ultima ipotesi, vediamo che il grado dell'estensione è lo stesso.
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