Funzione continua ma mai monotona
Dato [tex]$\left[a,b\right] \subseteq \mathbb{R}$[/tex] trovare, se esiste, una funzione [tex]$f:\left[a,b\right] \to\mathbb{R}[/tex]
tale che [tex]$f\in C^0\left(\left[a,b\right]\right)$[/tex] cioè [tex]$f$[/tex] continua in [tex]$\left[a,b\right]$[/tex] e tale che [tex]f[/tex] non è monotona in alcun intervallo.
Oppure dimostrare che tale funzione non esiste.
tale che [tex]$f\in C^0\left(\left[a,b\right]\right)$[/tex] cioè [tex]$f$[/tex] continua in [tex]$\left[a,b\right]$[/tex] e tale che [tex]f[/tex] non è monotona in alcun intervallo.
Oppure dimostrare che tale funzione non esiste.
Risposte
Troppo banale o poco interessante?
a me non dispiace come esercizio..
comunque come si poteva immaginare l'esempio esiste, cioè è possibile costruire una funzione [tex]$f: \left[a,b\right] \to \mathbb{R}$[/tex]
che sia continua ma mai monotona, ovvero non c'è alcun intervallino in [tex]$\left[a,b\right]$[/tex] in cui [tex]$f$[/tex] sia crescente o decrescente, e nemmeno costante.
dò un consiglio: immaginare come potrebbe essere fatta tale funzione, a livello grafico, e poi cercare di darne una costruzione (non per forza una equazione che la descriva, sarebbe un bel casino, anche solo un procedimento)
a me non dispiace come esercizio..
comunque come si poteva immaginare l'esempio esiste, cioè è possibile costruire una funzione [tex]$f: \left[a,b\right] \to \mathbb{R}$[/tex]
che sia continua ma mai monotona, ovvero non c'è alcun intervallino in [tex]$\left[a,b\right]$[/tex] in cui [tex]$f$[/tex] sia crescente o decrescente, e nemmeno costante.
dò un consiglio: immaginare come potrebbe essere fatta tale funzione, a livello grafico, e poi cercare di darne una costruzione (non per forza una equazione che la descriva, sarebbe un bel casino, anche solo un procedimento)
Tendenzialmente il mio pensiero va ad un frattale... in ogni caso per definire una funzione continua si necessita di una topologia.
Beh, vabbé, K! Chiaramente si parla di funzioni continue nel senso usuale delle funzioni reali di variabile reale. 
@blackbishop: Non trovo affatto che il problema che hai proposto sia banale né tantomeno che sia poco interessante. Al contrario ci ho riflettuto e ho anche abbozzato una soluzione ma prima di pubblicarla dovrei mettere a punto i dettagli (nello specifico: ho preparato un esempio ma devo dimostrare che va bene) e purtroppo in questo momento non ho proprio il tempo materiale per farlo. Se nessun altro si interessa al problema, ti prego di avere un po' di pazienza: io di certo risponderò, ma più in là quando sarò più libero.
P.S.: Una "equazione" che descriva la funzione in oggetto secondo me non può proprio esistere. Una funzione descritta da una equazione è, più formalmente, ottenuta componendo un numero finito di funzioni elementari. E una funzione così fatta non può verificare le ipotesi: essa sarà necessariamente derivabile in almeno un intervallo; e mi sa (da verificare!) che una funzione derivabile in un intervallo deve necessariamente essere monotona in un sottointervallo.
P.S.: Una "equazione" che descriva la funzione in oggetto secondo me non può proprio esistere. Una funzione descritta da una equazione è, più formalmente, ottenuta componendo un numero finito di funzioni elementari. E una funzione così fatta non può verificare le ipotesi: essa sarà necessariamente derivabile in almeno un intervallo; e mi sa (da verificare!) che una funzione derivabile in un intervallo deve necessariamente essere monotona in un sottointervallo.
"dissonance":
[...] e mi sa (da verificare!) che una funzione derivabile in un intervallo deve necessariamente essere monotona in un sottointervallo.
Secondo me è vero ed è una - immediata - conseguenza del teorema di permanenza del segno e del fatto che la derivata prima di una funzione (derivabile, ovvio) non può avere discontinuità di I specie (non può saltare).
O no?
P.S. Concordo anche con dissonance per quanto riguarda il problema e l'interesse che suscita; ci ho pensato un po' ma non ne ho cavato nulla. Magari un hint, per piacere? Ho difficoltà già a "visualizzarmi" la funzione...
Io pensavo ad un frattale "a scalini" costruito con solo scalini orizzontali. SIa chiaro che non mi è semplice descriverlo, ma in un bel libro "Analysis of Fractals" c'era proprio quello come esempio di funzione non-monotona, non-derivabile, ma pur sempre continua.
Io non sono un matematico, ma per quel che ne so una curva continua ma derivabile in nessun punto è ad esempio un frattale noto Curva di Koch. Trovate qua il link: http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Koch
Dice che è un limite di curve parametrizzate da una successione di funzioni continue in un intervallo (come dice appunto nel linki postato), fa al caso vostro ?
Spero di esservi stato utile e non avervi fatto perder tempo
Dice che è un limite di curve parametrizzate da una successione di funzioni continue in un intervallo (come dice appunto nel linki postato), fa al caso vostro ?
Spero di esservi stato utile e non avervi fatto perder tempo
"Paolo90":NO!
...la derivata prima di una funzione (derivabile, ovvio) non può avere discontinuità di I specie (non può saltare).
O no?
La funzione [tex]$\begin{cases}\frac{1}{2}x+x^2\sin(\frac{1}{x})\iff x\neq0\\0\iff x=0\end{cases}$[/tex] è continua e derivabile in [tex]$0$[/tex] ma la derivata è discontinua in [tex]$0$[/tex].EDIT: secondo la nomenclatura di Paolo90 la derivata di questa funzione ha una discontinuità di II specie in [tex]$0$[/tex].
"antani":Doppio no in quanto il codominio di questa funzione è [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], e non è una perdita di tempo questo interessante esempio.
...fa al caso vostro ?
Spero di esservi stato utile e non avervi fatto perder tempo
OUT OF SELF: Ho fatto un tris di NO
@ j18eos: sì, appunto, infatti ho scritto discontinuità di prima specie, intendendo con ciò quanto ho studiato nel corso di analisi I: $f(x)$ presenta una discontinuità di prima specie (o, appunto, salto) nel punto $x_0$ sse esistono entrambi finiti i limiti dx e sx, ma sono diversi tra loro $lim_(x to x_0^+)f(x) != lim_(x to x_0^-) f(x)$.
La derivata della funzione da te presentata è il classico esempio di discontinuità di II specie: almeno uno dei limiti dx o sx non esiste o è infinito. E infatti il limite di $cos(1/x)$ per $x to 0$ non esiste.
Spero di essere stato più chiaro. Mi scuso comunque, perchè so che non è una nomenclatura universale ma, avendo studiato così, ormai ho questo schema e questi nomi in mente.
La derivata della funzione da te presentata è il classico esempio di discontinuità di II specie: almeno uno dei limiti dx o sx non esiste o è infinito. E infatti il limite di $cos(1/x)$ per $x to 0$ non esiste.
Spero di essere stato più chiaro. Mi scuso comunque, perchè so che non è una nomenclatura universale ma, avendo studiato così, ormai ho questo schema e questi nomi in mente.
provo a dare un'idea, ma come dissonance anche io sono strapieno, quindi devo dimostrare che sta successione di funzioni converga a qualcosa di continua e che la funzione limite soddisfi le hp.
L'idea comunque si basa di considerare un intervallo (che con molta fantasia sarà $[-1,1]$) e la successione di funzioni seguente
$f_1(x)=1$
$f_2(x)=|x|$
e le altre le descrivo:
$f_3(x)$ è la funzione che collega il punto $(-1,1)$ con $(-1/3,0)$, questo punto con $(0,1)$, poi questo con $(1/3,0)$ e infine $(1/3,1)$ (insomma una W)
...
$f_n(x)$ invece collega il punto $(-1,1)$ con $(-1/n,0)$ e poi procede unendo gli $n$ punti che si trovano a distanza $(1/n)$ sull'ascissa andando passando da $(-1/n,0)$ a $(-2/n,1)$ questo con $(-3/n,0)$ e così via.
Però ripeto l'idea che possa funzionare c'è, ora quando ho tempo cerco di dimostrare in tutti i dettagli questa supposizione (euristicamente mi convince). Volevo comuqnue postarla, così se uno trova l'ispirazione di smentirla o dimostrarla prendendo l'idea è libero di farlo
L'idea comunque si basa di considerare un intervallo (che con molta fantasia sarà $[-1,1]$) e la successione di funzioni seguente
$f_1(x)=1$
$f_2(x)=|x|$
e le altre le descrivo:
$f_3(x)$ è la funzione che collega il punto $(-1,1)$ con $(-1/3,0)$, questo punto con $(0,1)$, poi questo con $(1/3,0)$ e infine $(1/3,1)$ (insomma una W)
...
$f_n(x)$ invece collega il punto $(-1,1)$ con $(-1/n,0)$ e poi procede unendo gli $n$ punti che si trovano a distanza $(1/n)$ sull'ascissa andando passando da $(-1/n,0)$ a $(-2/n,1)$ questo con $(-3/n,0)$ e così via.
Però ripeto l'idea che possa funzionare c'è, ora quando ho tempo cerco di dimostrare in tutti i dettagli questa supposizione (euristicamente mi convince). Volevo comuqnue postarla, così se uno trova l'ispirazione di smentirla o dimostrarla prendendo l'idea è libero di farlo
@fu: Così non funziona di sicuro, perché la tua successione non converge. Però la mia idea era molto simile: prendere una successione $f_n$ di funzioni a zig-zag (la tua va bene) e considerare
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f_n(x)}{2^n}$
(il denominatore $2^n$ serve ad assicurare la convergenza uniforme). Questa qua penso abbia le caratteristiche volute, però c'è da giocare un po' con la densità dei numeri razionali.
@Paolo: Proprio quello a cui stavo pensando io!
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f_n(x)}{2^n}$
(il denominatore $2^n$ serve ad assicurare la convergenza uniforme). Questa qua penso abbia le caratteristiche volute, però c'è da giocare un po' con la densità dei numeri razionali.
@Paolo: Proprio quello a cui stavo pensando io!
"dissonance":
@Paolo: Proprio quello a cui stavo pensando io!
Bene. E' sempre un piacere. Grazie.
"dissonance":
@fu: Così non funziona di sicuro, perché la tua successione non converge. Però la mia idea era molto simile: prendere una successione $f_n$ di funzioni a zig-zag (la tua va bene) e considerare
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f_n(x)}{2^n}$
(il denominatore $2^n$ serve ad assicurare la convergenza uniforme). Questa qua penso abbia le caratteristiche volute, però c'è da giocare un po' con la densità dei numeri razionali.
@Paolo: Proprio quello a cui stavo pensando io!
...a zig zag non va bene perchè sono localmente monotone...
Però l'ampiezza della "zigrinatura" deve essere scelta in modo da tendere a zero, ovvero il grafico deve essere a forma di lama di una sega sempre più fine.
"blackbishop13":
Dato [tex]$\left[a,b\right] \subseteq \mathbb{R}$[/tex] trovare, se esiste, una funzione [tex]$f:\left[a,b\right] \to\mathbb{R}[/tex]
tale che [tex]$f\in C^0\left(\left[a,b\right]\right)$[/tex] cioè [tex]$f$[/tex] continua in [tex]$\left[a,b\right]$[/tex] e tale che [tex]f[/tex] non è monotona in alcun intervallo.
Oppure dimostrare che tale funzione non esiste.
Ne esistono tante (nel senso delle categorie di Baire).
***
Il punto focale del discorso è un teorema classico di Analisi Reale, ossia il teorema di derivazione di Lebesgue (LDT, come lo chiamerebbero gli anglofoni):
Ogni funzione monotona in [tex]$[a,b]$[/tex] è derivabile q.o. (nel senso di Lebesgue) in [tex]$[a,b]$[/tex].
Valendo tale risultato, per trovare una funzione soddisfacente le richieste del problema basta esibire una funzione continua che non sia derivabile q.o. nel senso di Lebesgue: infatti se, per assurdo, una funzione continua non differenziabile q.o. fosse monotona in un sottointervallo [tex]$[\alpha ,\beta] \subseteq [a,b]$[/tex], allora essa dovrebbe essere derivabile q.o. in [tex]$[\alpha ,\beta]$[/tex] il che è palesemente in contrasto con l'ipotesi.
Di esempi di funzioni continue non differenziabili q.o. ne esistono tanti: i due forse più noti sono dovuti a van der Waerden ed a Weierstrass; in entrambi i casi l'idea è quella di sommare infinite funzioni continue via via più oscillanti (come proponevate voi).
Nel caso di Weierstrass, la funzione è ottenuta come somma di una serie del tipo:
[tex]$\sum a^n \cos (b^n \pi\ x)$[/tex],
ove [tex]$a\in ]0,1[$[/tex], [tex]$b\in \mathbb{N}$[/tex] è dispari ed entrambi sono tali che [tex]$ab >1+\tfrac{3}{2}\ \pi$[/tex] (cfr. cap.1, §1.2 in Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, GSM 105, American Mathematical Society).
Nel caso di van der Waerden, la funzione si ottiene come somma di una serie del tipo:
[tex]$\sum \frac{1}{10^n}\ \min \Big\{ \{10^n\ x\}, 1-\{10^n\ x\} \Big\}$[/tex],
in cui [tex]$\{ \cdot \}$[/tex] denota la parte frazionaria, perciò [tex]$\min \Big\{ \{10^n\ x\}, 1-\{10^n\ x\} \Big\}$[/tex] è la distanza tra [tex]$10^n\ x$[/tex] e l'intero ad esso più vicino (cfr. cap. I, §1 in Riesz & Sz. Nagy, Functional Analysis, Dover).
Che poi le funzioni non differenziabili q.o. siano una classe ampia nel senso delle categorie mi pare sia pure un altro risultato noto (però non mi ricordo dove l'ho letto... Forse se n'era parlato tempo fa?).
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