Funzione a somma nulla sui vertici di un poligono.
1) Sia $f:RR^2 -> RR$ tale che $f(A)+f(B)+f(C)+f(D) = 0$ per ogni $\{A,B,C,D\}$ vertici di un quadrato.
Possiamo dedurre che $f(P) = 0$ per ogni $P in RR^2$?
2) Stessa domanda se invece vale la relazione $f(A)+f(B)+f(C) = 0$ per ogni $\{A,B,C\}$ vertici di un triangolo equilatero.
3) Cosa si può dire in caso di relazioni analoghe definite su altri poligoni regolari?
Possiamo dedurre che $f(P) = 0$ per ogni $P in RR^2$?
2) Stessa domanda se invece vale la relazione $f(A)+f(B)+f(C) = 0$ per ogni $\{A,B,C\}$ vertici di un triangolo equilatero.
3) Cosa si può dire in caso di relazioni analoghe definite su altri poligoni regolari?
Risposte
Se \(\displaystyle f\) è continua, la risposta è sì!
Sono perfettamente d'accordo con te, ma non ho detto che $f$ è continua 
Bel problema! Ho un'idea che mi piace parecchio ma non riesco a trovare il tempo di formalizzare bene il tutto.
Un dato quadrato corrisponde a un'equazione omogenea con quattro incognite, x+y+z+w=0, e ogni quadrato corrisponde a una tale equazione. Se disegnamo un punto all'interno di questo quadrato generiamo 9 incognite (le quattro di prima, questo al centro e le quattro proiezioni del punto centrale sui lati) e 5 equazioni (5 quadrati), se ora disegnamo un punto all'interno di ognuno dei quattro quadratini e proiettiamo tutto come sopra otteniamo 25 incognite e 30 equazioni (quindi siamo in affari perché abbiamo più equazioni che incognite). Le equazioni sono tutte del tipo x_a + x_b + x_c + x_d = 0. Per concludere si tratta di mostrare (se è vero) che il rango del sistema di equazioni risultante è massimo.
Un dato quadrato corrisponde a un'equazione omogenea con quattro incognite, x+y+z+w=0, e ogni quadrato corrisponde a una tale equazione. Se disegnamo un punto all'interno di questo quadrato generiamo 9 incognite (le quattro di prima, questo al centro e le quattro proiezioni del punto centrale sui lati) e 5 equazioni (5 quadrati), se ora disegnamo un punto all'interno di ognuno dei quattro quadratini e proiettiamo tutto come sopra otteniamo 25 incognite e 30 equazioni (quindi siamo in affari perché abbiamo più equazioni che incognite). Le equazioni sono tutte del tipo x_a + x_b + x_c + x_d = 0. Per concludere si tratta di mostrare (se è vero) che il rango del sistema di equazioni risultante è massimo.
Mi ero scordato del quadrato diagonale!
Dato un punto [tex]x[/tex] del piano facciamo il seguente disegno. Ogni quadrato corrisponde a un'equazione. Quindi abbiamo nove incognite e sei equazioni. Se risolviamo il sistema con Wolfram Alpha troviamo [tex]f(x)=0[/tex] (non so cosa succede se lo risolviamo a mano)
A proposito dove l'hai pescato questo problema? Puoi dare una fonte?
Dato un punto [tex]x[/tex] del piano facciamo il seguente disegno. Ogni quadrato corrisponde a un'equazione. Quindi abbiamo nove incognite e sei equazioni. Se risolviamo il sistema con Wolfram Alpha troviamo [tex]f(x)=0[/tex] (non so cosa succede se lo risolviamo a mano)
A proposito dove l'hai pescato questo problema? Puoi dare una fonte?
Funziona anche per il triangolo equilatero, il disegno è questo:
Complimenti, sono sostanzialmente equivalenti alle soluzioni che avevo pensato io, solo che ho risolto i sistemi a mano.
Per il quadrato, se sommo i valori della funzione nei vertici dei quattro quadratini (per brevità indico $f(a)$ semplicemente con $a$):
$(a+h+x+e)+(h+d+g+x)+(g+c+f+x)+(b+e+x+f)=0$
$(a+b+c+d) + 2(e+f+g+h) + 4x = 0$
ed essendo $abcd$ ed $efgh$ dei quadrati, resta $x=0$.
Analogamente per il triangolo equilatero, se si sommano i valori in tutti i vertici dei triangolini, ciascun vertice dell'esagono viene sommato 2 volte, mentre il centro 6 volte.
Idea per il caso generale (non dimostrazione):
La fonte non la so, la parte del quadrato mi è stata proposta da un amico, che probabilmente lo ha letto su qualche altro forum. L'estensione ad altri poligoni è stata una mia curiosità.
Per il quadrato, se sommo i valori della funzione nei vertici dei quattro quadratini (per brevità indico $f(a)$ semplicemente con $a$):
$(a+h+x+e)+(h+d+g+x)+(g+c+f+x)+(b+e+x+f)=0$
$(a+b+c+d) + 2(e+f+g+h) + 4x = 0$
ed essendo $abcd$ ed $efgh$ dei quadrati, resta $x=0$.
Analogamente per il triangolo equilatero, se si sommano i valori in tutti i vertici dei triangolini, ciascun vertice dell'esagono viene sommato 2 volte, mentre il centro 6 volte.
Idea per il caso generale (non dimostrazione):
La fonte non la so, la parte del quadrato mi è stata proposta da un amico, che probabilmente lo ha letto su qualche altro forum. L'estensione ad altri poligoni è stata una mia curiosità.
Eccola qui la fonte ! E rimanda a questo per quanto riguarda i poligoni regolari generici.
L'ho trovata qui.
L'ho trovata qui.
Interessante, adesso sappiamo la risposta nel caso generale. E l'ultima fonte fornisce un aiuto che potrebbe rivelarsi utile.
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