Francamente è troppo complicato ( per me !)

[Sk_Anonymous]

Sia:
\(\displaystyle a_n=\left (\prod_{k=0}^n \binom {n}{k}\right )^\frac{1}{n(n+1)} \)
Calcolare $lim_{n->+\infty}a_n$

il limite è $\sqrt e$

[Rigel1]

Si può procedere in questo modo:
\[
c_n := \prod_{k=1}^n \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right) = \frac{(n!)^n}{\left[\prod_{k=1}^n (k!)\right]^2}
= \frac{n^{n-2} (n-1)^{n-4} \cdots 2^{n-2n+2}}{n^{n-2} n^{n-4} \cdots n^{n-2n+2}}
\]
(notare che il denominatore dell'ultima frazione vale \(1\), poiché la somma degli esponenti è \(0\))
\[
= \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-4} \cdots \left(1-\frac{n-2}{n}\right)^{n-2n+2} .
\]
In particolare
\[
\log c_n = n \sum_{k=1}^{n-2} \left(1-\frac{2k-2}{n}\right) \log\left(1-\frac{k}{n}\right).
\]
e dunque
\[
\log a_n = \frac{1}{n(n+1)} \log c_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n-2} \left(1-\frac{2k-2}{n}\right) \log\left(1-\frac{k}{n}\right).
\]
Osserviamo che, a meno di infinitesimi, \(\log a_n\) coincide con le somme di Riemann della seguente funzione:
\[
I := \int_0^1 (1-2x) \log(1-x) dx = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(1-\frac{2k}{n}\right) \log\left(1-\frac{k}{n}\right).
\]
L'integrale può essere calcolato esplicitamente e vale \(1/2\), da cui si conclude \(\lim_n a_n = e^{1/2}\).

[Sk_Anonymous]

Lo sapevo io che non era "sciuè,sciuè"... Complimenti !

[theras]

Gli insegnanti come Rigel,nel mio lato della Trinacria,
vengono insigniti da un titolo tanto informale quanto sentito e "trasversale"
(l'ho udito per rivolgersi sia al Cassazionista sotto la cui illuminata egida si pongono,durante il tirocinio,
stuoli di giovani dottori in Giurispridenza che anelano alle vette più luminose delle professioni legali,
che al capocantiere capace d'un decisivo e veloce consiglio pratico davanti ai tanti problemi che comportano le costruzioni edili ):
quello di "Mastro",di Verghiana memoria
(che non sò dire se è così apprezzato ed usato come "onoreficenza" perchè sfruttato dal mio illustre concittadino in uno tra i più famosi capolavori del Verismo,o se è vero il contrario..chiedero al mio "mastru" di questioni del genere ).
Ciò detto,e colta l'occasione di ringraziarlo per la bella figura che ho immeritatamente fatto di recente traendo ispirazione da questa sua elegante abitudine,tra le tante che ci dà occasione d'apprezzare,
di trasformare ove possibile sommatorie in somme integrali alla Riemann,
provo a svolgere l'esercizio come se non avessi mai letto certi suoi post o non avessi avuto la fortuna d'imbattermi in cotanto Mastro,ed osservo che
$EElim_(n to oo)(sum_(k=0)^n log C_(n,k))/((n+1)n)=lim_(n to oo)(sum_(k=0)^(n+1) log C_(n+1,k)-sum_(k=0)^n log C_(n,k) )/((n+2)(n+1)-n(n+1))$(per quella sorto di Teorema del marchese sul discreto dovuto a Cesaro e Stoltz,nelle cui ipotesi ci troviamo in tutta evidenza..)$=..=lim_(n to oo)(sum_(k=0)^n"log"(n+1)/(n-k+1))/(2n+2)=..=lim_(n to oo)("log"((n+1)^(n+1))/((n+1)"!"))/(2n+2)=[(+oo)/(+oo)]$
(per le sembianze alla Bolt di $n^n$ nella corsa all'infinito ..)$=$
$=lim_(n to oo)("log" ((n+2)^(n+2))/((n+2)"!")-"log"((n+1)^(n+1))/((n+1)"!"))/([2(n+1)+2]-(2n+2))$(siamo di nuovo,per quanto appena detto,nelle hp del teorema testè richiamato)$=$
$=..=lim_(n to oo)("log"((n+2)^(n+1))/((n+1)^(n+1)))/2=..=1/2 rArrEElim_(n to oo)a_n=..=e^(1/2)=sqrt(e)$.
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

Capperi ...
Resto letteralmente "atterrito" dalle geniali manipolazioni di theras. Eleverei un inno in suo onore...se sapessi scrivere come lui !
P.S.
C'è un seguito al quesito. Calcolare, se esiste, il limite seguente :
\(\displaystyle \lim_{n->+\infty}\frac{n(a_n-\sqrt e)}{ln(n)} \)
essendo $a_n$ il termine generale della successione di cui prima...
Anche per questa seconda parte lascio a voi l'onore e... l'onere della soluzione.
Io mi tiro fuori

[kobeilprofeta]

Ma se $lim_(n rightarrow +infty) a_n= sqrt (e)$, allora il numeratore su annulla e rimane $lim_(n rightarrow +infty) 0^-/ln n$ cioè $0^-$

[kobeilprofeta]

Ma se $lim_(n rightarrow +infty) a_n= sqrt (e)$, allora il denominatore su annulla e rimane $lim_(n rightarrow +infty) 1/ln n= 0^+$

[kobeilprofeta]

Ma se $lim_(n rightarrow +infty) a_n= sqrt (e)$, allora il denominatore su annulla e rimane $lim_(n rightarrow +infty) 1/ln n= 0^+$

[Sk_Anonymous]

Il limite del numeratore non è 0 ma $\infty\cdot 0$ che è a sua volta una forma indeterminata...
Ti sei dimenticata la "n" e l'hai scritto pure 3 volte ...
Come "profeta" dovresti registrarti un tantino meglio


[xdom="Paolo90"]Si può sapere che c'entrano la "politica" o la cronaca quotidiana? Vedi di attenerti alle regole; non fare il furbo.[/xdom]

[theras]

L'evento,se la tua ricostruzione è esaustiva e corrisponde alla verità dei fatti,è tanto grave, quanto incostituzionale ed inopportuno da discutere in questa sede:
si può sapere cosa c'entra col tuo rilancio
(sul quale ti rinnovo la sensazione che sia opportuno procedere con la stessa strategia di fondo suggerita in privato ed implicitamente in pubblico..),
e con l'errore di K. da te subito scovato?
Ma sopratutto è dato sapere perché con cadenza semestrale senti il bisogno d'alzare polveroni dal nulla?
Và beh,dico questo e poi mi taccio:
è un peccato(come d'altronde ogni guerra stupida dichiarata da persone intelligenti ed accettata da chi lo è altrettanto..)!
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

Certa gente, atterrita dal peso della verità, tenta di minimizzarne gli effetti invocando ipocritamente il rispetto delle regole. Un rispetto che ha tutto il sapore della paura di conoscere cosa accade dietro il muro della partigianeria! E adesso che dirà e soprattutto che farà quella gente? Io ne ho un'idea ( che magari non farò in tempo ad esporre) e voi ?

In attesa del peggio...mi premunisco e vi anticipo i miei più ...sentiti omaggi

[j18eos]

[ot]

"ciromario":...invocando ipocritamente il rispetto delle regole...

Perché esistono invocazioni sincere delle regole?

"ciromario":...Io ne ho un'idea ( che magari non farò in tempo ad esporre)...

Avresti potuta esporla nel precedente post, occasione sprecata.[/ot] Ora si può tornare a parlare di matematica, questo thread era partito così bene!

[Rigel1]

[xdom="Rigel"]@ciromario: sei già stato avvisato, in passato, del fatto che non tollero molto questo tipo di atteggiamento nelle sezioni da me moderate. Non mi interessa entrare nel merito della questione, come credo non interessi (in questa sede) alla maggioranza degli utenti di questo forum. Per parlare di politica, esistono forum appositi.[/xdom]

[theras]

"j18eos":Ora si può tornare a parlare di matematica, questo thread era partito così bene!

Mi troveresti d'accordo,se non fosse che per me inizia a diventare problematica l'evidente potenzialità che,
dietro ognuno dei pur ottimi quesiti proposti da Ciro Mario Vittorio Karl De Polemica,
possa sempre celarsi l'evenienza d'una bagarre per me tanto sterile quanto inaccettabile
(sopratutto perché non posso far a meno di confrontare queste polemiche,che fà scattare per ragioni di fondo a me incomprensibili,
con gli effetti positivi che i suoi quesiti,e le sue osservazioni tecniche spesso brillanti,sono in grado di far scaturire);
comunque,nello specifico,avevo pensato d'usare Cesaro e l'uguaglianza
$(a_n-sqrt(e))=(e^("log"a_n)-e^(1/2))/("log"a_n-1/2)*("log"a_n-1/2)$ $AA n in NN$(1):
solo che i conti,simili alle manipolazioni svolte in precedenza,si fanno ad occhio lunghetti e sospettabili di "circolarità",
e dunque stavo vagliando di batter la strada della verifica,per confronto asintotico con una serie opportuna
(quella di termine generale $1/(n^2"log"n)$ mi pare vada bene proprio grazie a Cesaro..),
della convergenza di $sum_(n=0)^(+oo)(a_n-sqrt(e))/("log"n)$ e dell'applicazione su essa del teorema di Hadamard
(i.e. quella comoda condizione necessaria alla convergenza d'una serie numerica che assicura come,
se $sum_(n=n_0)^(+oo)b_n$ è una serie numerica convergente di termine generale non crescente,allora $EElim_(n to +oo) nb_n=0$).
La vera difficoltà di fondo che cerco d'aggirare,è chiaro,stà nello stimare l'ordine d'infinitesimo di $a_n-sqrt(e)$;
magari la risposta è nascosta dietro la (1),ma(forse per stanchezza,sebbene non mi scusa..)non riesco a vederla:
se qualcuno,percorrendo questa strada,arriva da qualche parte,faccia magari un fischio che lo vengo a prendere in livrea
(o meglio,visto l'anniversario in corso,con la maglia di Milito addosso )!
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

Lasciamo stare j18eos che non capisce il significato del termine "ipocritamente" e in quale contesto sia inserito. E nemmeno ho voglia di spiegarglielo. Ma è Rigel che impressiona. Animato da ridicolo e grottesco senso ( meglio delirio ) di onnipotenza, "non tollera" che si parli di politica . Mentre una decina, non di più, di altri utenti si esercita (vedi sezione "Generale") nella "coraggiosa" arte di insultare l'avversario politico nella più totale assenza del benché minimo contraddittorio...E'' quello che si chiama "vincere facile" !!
E così accade che theras, poverino, si affanni a riportare la discussione sul piano prettamente scientifico mentre Rigel, avendo sbirciato nel mio spoiler, si preoccupi che si parli male solo...di Berlusconi !
Per me la cosa finisce qui. Rigel può liberamente replicare. Da solo: è più comodo ...

[Rigel1]

"ciromario":Ma è Rigel che impressiona. Animato da ridicolo e grottesco senso ( meglio delirio ) di onnipotenza, "non tollera" che si parli di politica . Mentre una decina, non di più, di altri utenti si esercita (vedi sezione "Generale") nella "coraggiosa" arte di insultare l'avversario politico nella più totale assenza del benché minimo contraddittorio...E'' quello che si chiama "vincere facile" !!

Mi sembra chiaro che tu abbia difficoltà a capire l'italiano; provo a spiegarmi meglio. Ho scritto

...non tollero molto questo tipo di atteggiamento nelle sezioni da me moderate.

Di ciò che avviene nella sezione "Generale" (che comunque, già dal nome, dovrebbe farti capire che lì, forse, si può anche non parlare di matematica in senso stretto) non sono direttamente responsabile.
E mi sembra anche di avere spiegato che ci sono altri posti sicuramente più adatti per parlare di politica.