$f=Id_X$?
Sia $X$ spazio topologico. Consideriamo una funzione $f: X \mapsto X$ tale che $\forall U \sube X$ aperto $f|_{U}$ è biunivoca. È vero che $f -= Id_X$?
Risposte
Scusa ma se l'unico aperto non vuoto è X (topologia banale) come fa ad essere vero?
Ho sbagliato a scrivere sub al posto di sube...corretto
Ripeto se la topologia è quella banale è falso. Ti suggerisco di fare gli esercizi prima di proporli 
@martino
Si vede sì
Forse vuoi dire
Sia $X$ spazio topologico di Hausdorff e $f:X to X$ continua e biiettiva tale che $f(U)=U$ per ogni aperto $U$ di $X$. Allora $f$ è l'identità. Non so se è vero ma mi sembra più ragionevole.
Forse vuoi dire
Sia $X$ spazio topologico di Hausdorff e $f:X to X$ continua e biiettiva tale che $f(U)=U$ per ogni aperto $U$ di $X$. Allora $f$ è l'identità. Non so se è vero ma mi sembra più ragionevole.
Non è vero per gli spazi non Hausdorff: sia \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico tale che
\[
X=\{a,b,c\}\\
\mathcal{T}=\{\emptyset,\{a\},X\},
\]
la permutazione di \(\displaystyle X\) che fissa \(\displaystyle a\) e scambia \(\displaystyle b\) e \(\displaystyle c\) soddisfa l'ipotesi di fissare gli aperti di \(\displaystyle X\) ma si tratta dell'identità.
\[
X=\{a,b,c\}\\
\mathcal{T}=\{\emptyset,\{a\},X\},
\]
la permutazione di \(\displaystyle X\) che fissa \(\displaystyle a\) e scambia \(\displaystyle b\) e \(\displaystyle c\) soddisfa l'ipotesi di fissare gli aperti di \(\displaystyle X\) ma si tratta dell'identità.
Come separo $b$ e $c$ con aperti disgiunti?
Mi sto facendo vecchio; volevo fornire un esempio a favore della versione di Martino, e invece ho scritto una cretinata (poi corretta)!
È necessario esplicitare l'ipotesi di continuità? Se è biiettiva su ogni aperto allora $f^{-1}(U)=U$ per ogni $U \sube X$ aperto...
Propongo un tentativo di dimostrazione, supponendo che la topologia sullo spazio sia non discreta (altrimenti l'affermazione è banalmente vera)
Supponiamo per assurdo che esista un aperto $U$ tale che $f|_{U}!=Id_X$ allora esiste un punto $a \in U$ tale che $f(a)!=a$ e $f(a) \in U$ per biiettività, per ipotesi $X$ è di Hausdorff quindi esistono due aperti $A$ e $B$ disgiunti tali che $a \in A$ e $f(a) \in B$ inoltre $f|_{A}$ è biiettiva dunque $f(a) \in A$ quindi $f(a) \in A nn B= O/$ assurdo...
Il lemma di dan95-Martino
Supponiamo per assurdo che esista un aperto $U$ tale che $f|_{U}!=Id_X$ allora esiste un punto $a \in U$ tale che $f(a)!=a$ e $f(a) \in U$ per biiettività, per ipotesi $X$ è di Hausdorff quindi esistono due aperti $A$ e $B$ disgiunti tali che $a \in A$ e $f(a) \in B$ inoltre $f|_{A}$ è biiettiva dunque $f(a) \in A$ quindi $f(a) \in A nn B= O/$ assurdo...
Il lemma di dan95-Martino
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