Fibonacci e sezione aurea

[esmiro]

Ciao a tutti,
vi sfido a risolvere il seguente problema, tratto dal libro di Mario Livio sulla sezione aurea.

La serie di Fibonacci è una serie in cui ogni numero è uguale alla somma dei due numeri che lo precedono (i primi due numeri della serie sono invece uguali a 1):

\[ 1 \ \ 1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 5 \ \ 8 \ \ 13 \ \ 21 \ \ ... \]

La sezione aurea è una costante $\phi$ che si ottiene con la seguente costruzione:
Prendete un segmento $AC$ e dividetelo in due segmenti $AB$ e $BC$ in modo che $AB:BC=AC:AB$.

La sezione aurea è definita come
\[ \phi=\frac{AB}{BC} \]
è irrazionale e vale circa 1.618.

PROBLEMA

Siete in grado di dimostrare che il rapporto tra un numero della serie di Fibonacci e il suo precedente tende a $\phi$ ?

Buon fine settimana a tutti!
Esmiro

[Gi81]

Sia $a_n:= F_(n+1)/F_n$, dove $F_n$ è l'$n$-esimo numeri di Fibonacci.
Vogliamo dimostrare che $lim_(n->+oo) a_n= varphi:= (1+sqrt5)/2$
(nota a margine: sappiamo che $varphi$ è l'unica soluzione positiva dell'equazione $x^2-x-1=0$)

Notiamo che per ogni $n in NN$ si ha $1<=a_n<=2$ e $a_n=1+1/(a_(n-1))$.
Da questo si ottengono le seguenti:
$a_(n+2)= 1+a_n/(a_n +1)$

$a_(n+2)= 1+1/(a_(n+1))= 1+1/(1+1/a_n)= 1+1/((a_n+1)/a_n)= 1+a_n/(a_n +1)$

$a_(n+2) a_n >varphi$

$a_(n+2) a_n/(a_n+1)< a_n-1 <=> a_n<(a_n)^2 -1 <=> (a_n)^2-a_n -1>0 <=> a_n> \varphi$

$a_(n+2)> \varphi <=> a_n >varphi$

$a_(n+2)> varphi <=> 1+a_n/(a_n +1) > varphi <=> -1/(a_n +1) >varphi-2 <=> a_n+1>1/(-varphi+2) <=> a_n> -1+1/(-varphi+2)$

Notiamo che $(varphi+1)(varphi-2)=varphi^2-varphi-2= -1$,
dunque $-1+1/(-varphi+2)= -1 +(varphi+1)/[-(varphi+1)(varphi-2)]= -1+varphi+1 = varphi$

Ora, poichè $a_1=1 varphi$, si ha che
$(a_(2n))_n$ è una sottosuccessione crescente, mentre $(a_(2n+1))_n$ è sottosuccessione decrescente.
Quindi entrambe le sottosuccessioni ammettono limite, che sarà in entrambi i casi un numero reale in $[1,2]$
Se si dimostra che in entrambi i casi il limite è proprio $varphi$, abbiamo finito.
Sia $l in [1,2]$ il limite della sottosuccessione $(a_(2n))_n$
Allora $l=lim_{n->+oo}a_(2n+2) = lim_{n->+oo} (1+a_(2n)/(1+a_(2n)) )= 1+l/(1+l)$.
Dunque $l=1+l/(1+l)=>(l-1)(l+1)=l=> l^2-l-1=0=> l=varphi$
(analogamente per l'altra sottosuccessione)

[esmiro]

Ottimo, bravissimo e velocissimo.

Esmiro

[Studente Anonimo]

Siano [tex]a > b[/tex] le due soluzioni di [tex]x^2=x+1[/tex]. Si vede per induzione che [tex]a^n = F_na+F_{n-1}[/tex] e [tex]b^n = F_nb+F_{n-1}[/tex] per [tex]n \geq 1[/tex], dove [tex]F_0=0[/tex], [tex]F_1=1[/tex] e [tex]F_{m+2} = F_m+F_{m+1}[/tex].

Ne segue che [tex]F_n = \frac{a^n-b^n}{a-b}[/tex] e quindi [tex]\frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n} = \frac{a-b(b/a)^n}{1-(b/a)^n}[/tex] che tende ad [tex]a[/tex] perché [tex]|b/a| < 1[/tex].

[esmiro]

Ciao Martino,
la dimostrazione mi sembra giusta, bravo.

Esmiro

[Erasmus_First]

"esmiro":Ciao a tutti,
vi sfido [...]

"esmiro":La serie di Fibonacci è una serie in cui ogni numero è uguale alla somma dei due numeri che lo precedono (i primi due numeri della serie sono invece uguali a 1)[...]

Intendi la "successione" di Fibonacci.
In italiano ed in ambito matematico "serie" significa un'altra cosa.
La cosiddetta "successione di Fibonacci" è la subordinazione al dominio N dei soli naturali della "sequenza" definita sul dominio Z di tutti gli interi mediante la seguente legge di ricorrenza:
$F_0 = 0$; $F_1 = 1$; per ogni $n$ appartenente a Z $F_(n+2) = F_(n+1) + F_n$.
Questa sequenza non è che un caso particolare di "sequenza linearmente dipendente di ordine 2".
Scritto il termine corrente come funzione dell'indice, la sequenza ${F_n}$ risulta espressa da:
« Per ogni $n$ appartenente a Z $F_n = (((sqrt5 + 1)/2)^n - ((-sqrt5 + 1)/2)^n)/sqrt5$ ». (*)

NB: Ho scritto (apposta per questo mio intervento) una pagina (che vi mostro qui in formato PNG) sulle "sequenze linearmente dipendenti"

––> Sequenze linearmente dipendenti

"esmiro":La sezione aurea è una costante $\phi$ che si ottiene con la seguente costruzione:
Prendete un segmento $AC$ e dividetelo in due segmenti $AB$ e $BC$ in modo che $AB:BC=AC:AB$.

La sezione aurea è definita come
\[ \phi=\frac{AB}{BC} \]
è irrazionale e vale circa 1.618.

Non è corretto dire così!
Data una grandezza di data misura, non si confonda la sua "sezione aurea" (che è pure una grandezza omogenea con quella di cui è sezione aurea) con il "rapporto aureo" (che è il rapporto tra la misura della sezione aurea e la misura della data grandezza) né col suo reciproco (indicato qui con $\phi$).
L'etimologia di "sezione" indica che essa è – come dire? – un "ritaglio" di una data grandezza; e quindi di misura minore della misura della grandezza di cui è una "sezione".
Dato il segmento $\bar[AB]$, sia $C$ il punto interno ad $\bar[AB]$ tale che valga la proporzione:
$\bar[AB]$ sta ad $\bar[AC]$ come $\bar[AC]$ sta a $\bar[BC]$.
Allora $\bar[AC]$ è la sezione aurea di $\bar[AB]$.
Detta $a$ la lunghezza di $\bar[AB]$ e detta $x$ quella di $\bar[AC]$, la detta proporzione diventa:
$a : x = x : (a - x)$ <=> $x^2 = a(a-x)$ <=> $x^2 + ax - a^2 = 0$.
Non potendo essere $x < 0$, risulta dunque che il "rapporto aureo" è
$x/a = (sqrt5 - 1)/2 = 0,61803398874989...$.
Il suo reciproco (indicato qui con $\phi$) vale $a/x = 2/(sqrt5 - 1) = (sqrt5 + 1)/2 = 1 + x/a = 1,61803398874989...$.

"esmiro":PROBLEMA
Siete in grado di dimostrare che il rapporto tra un numero della serie di Fibonacci e il suo precedente tende a $\phi$ ?

Intendi dire che, al tendere dell'indice $n$ a +[size=100]∞[/size], il rapporto $F_(n+1)/F_n$ tende a $(sqrt5 + 1)/2$.
Ricordando – V. più sopra la (*) – che:
« Per ogni $n$ appartenente a Z $F_n = (((sqrt5 + 1)/2)^n - ((-sqrt5 + 1)/2)^n)/sqrt5$ ».
la tesi da domostrare è pressoché immediata se si osserva che la sequenza di Fibonacci è la somma (termine a termine) di due progressioni geometriche di cui una è di ragione
$q = (sqrt5 + 1)/2 > 1$
(e quindi diverge al crescere di $n$) mentre l'altra è di ragione
$(-sqrt5 + 1)/2 = –1/q$ di modulo minore di 1 (e quindi è infinitesima al crescere di $n$, e perciò trascurabile nel calcolo del limite richiesto).
––––

[Erasmus_First]

Occhio!
Qui c'era una citazione dell'intero precedente mio messaggio ... quindi sostanzialmente un doppione, dovuto a chissà quale mia errata manovra.
Me ne sono accorto solo ora.
Non ho capito come potrei eliminarlo, (dato che è sbagliato).

Prego dunque il moderatore di eliminare questo messaggio!

Grazie dell'attenzione
––––

[esmiro]

Ciao Erasmus,
grazie delle precisazioni. Purtroppo non sono un matematico, quindi mi scuso per le inesattezze e le imprecisioni nei termini. In ogni caso, dalle risposte tue e degli altri utenti mi sembra di essere perlomeno riuscito a render chiaro il problema da risolvere. Cercherò, per quanto mi è possibile, di essere più preciso nei prossimi post.

Buona serata
Esmiro

[veciorik]

Cari matematici, è corretta questa dimostrazione ?

Riscrivo la relazione ricorsiva come $F_(n+1)=F_n+F_(n-1)$. Divido tutto per $F_n$ e passo al limite.

Ottengo $lim_(n->+oo) F_(n+1)/F_n=1+ lim_(n->+oo) F_(n-1)/F_n$.

Se $lim_(n->+oo) F_(n+1)/F_n=x>0$ credo di poter dire che $lim_(n->+oo) F_(n-1)/F_n=1/x$ oppure sbaglio ?

L'equazione risultante $x=1+1/x$ ha come unica soluzione positiva $x=(1+sqrt5)/2$.

[gugo82]

@ veciorik: Sarebbe corretta se mostrassi che il limite dei rapporti esiste finito e diverso da zero.

[veciorik]

Essendo la successione $F_n$ costruita sommando ricorsivamente termini positivi a partire da $F_1=1$ e $F_2=1$ essa è monotòna strettamente crescente quindi, considerando la relazione $F_(n+1)/F_n=1+F_(n-1)/F_n$, si deduce facilmente che $1
Va meglio così ?

PS: sono molto arrugginito dopo 35 di disuso della matematica.

[Erasmus_First]

Secondo me, la dimostrazione di veciorik è corretta.

"gugo82":@ veciorik: Sarebbe corretta se mostrassi che il limite dei rapporti esiste finito e diverso da zero.

Quel che chiedi ... è per me evidente!
Infatti, l'uguaglianza mostrata da veciorik comporta proprio che il rapporto $F_(n+1) /F_n > 1$ sia compreso tra 1 e 2.
La riscrivo.
$F_(n+1) /F_n = 1 + F_(n-1)/F_n$.
Vedi che per n > 1 il membro destro è maggiore di 1 ma non supera 2; tale deve essere allora anche il membro sinistro].
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P.S.
Oopps!
Mi accorgo solo ora che, nel frattempo, veciorik ha replicato dicendo le stesse cose che stavo per dire e dicendole anche molto meglio.
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Visto che son qua, e sempre a proposito di sequenze linearmente dipendenti e di ordine 2 (come è quella di Fibonacci) ossia del tipo:
Per ogni $n$ appartenente a Z $y_(n+2) = A·y_n + B·y_(n+1)$,
come devono esse $A$ e $B$ afinché la sequenza {$y_n$} sia il campionamento di una sinusoide ad intervalli uguali?
[In altre parole, come deve essere il polinomio caratteristico [oltre al fatto che deve essere di secondo grado] per far si che la sequenza coincida col campionamento di una sinusoide?]
E quand'è che una tale sequenza risulta anche periodica?

A ri-ciao.

[Gi81]

Se una successione è limitata, non necessariamente ha limite all'infinito.
Prendete la successione $b_n :=1/2+1/4 *(-1)^n$
(in pratica $b_n= 3/4$ se $n$ è pari, e $b_n= 1/4$ se $n$ è dispari)
Abbiamo $0+oo) b_n$

[Erasmus_First]

Come passa in fretta il tempo (quando si è ormai "vegliardi")!
Casco qui ... accidentalmente. Volevo infatti mettere un quiz su certe sucuccessioni che, in un qualche particolare senso, hanno a che fare con quella di Fibonacci. E allora mi son chiesto se in questo sito già ci fossero dei thread riguardanti (o riguardanti pure) la successione di Fibonacci – e dico "successioine" per intendere la restrizione della sequenza di Fibomacci ai soli indici non negativi–. Ho cercato con Google |matrematicamente.it Fibonacci| ed è saltato fuori questo thread (di cui mi ero dimenticato).

Ma visto che ci sono ... intendo aggiungere qualcosa (sperando che sia interessante).

"Gi8":Se una successione è limitata, non necessariamente ha limite all'infinito.
Prendete la successione $b_n :=1/2+1/4 *(-1)^n$
(in pratica $b_n= 3/4$ se $n$ è pari, e $b_n= 1/4$ se $n$ è dispari)
Abbiamo $0+oo) b_n$

Questo intervento a valle del mio discorso sulle "sequenze linearmente dipendenti" non l'ho capito.
Di modi con cui una successione non converge né diverge ... "haccene millanta "(che tutta notte canta)!
.........
Vedo che nessuno ha raccolto il mio "seminato" sulle sequanze con legge di ricorrenza lineare (di un certo ordine).
E nemmeno l'invito a dire quando una sequenza ${y_n}$ con legge di ricorrenza lineare di 2° ordine, cioè:
$∀n ∈ ZZ: y_(n+2) = A·y_(n+1) + B ·y_n$
è il campionamento ad intervalli regolari di una sinusoide.

Allora lo dico io!
«Quando $B = –1$ e $A = 2·k$ con $|k| < 1$»

Infatti con tali condizioni il polinomio caratteristico è
$x^2 –2k·x + 1$ (dove |k| <1)
e gli zeri del polinomio caratteristico
$x_1 = k + sqrt(k^2 - 1)$ e $x_2 = k - sqrt(k^2 - 1)$
sono complesso-coniugati di modulo 1 per cui, posto $A/2 = k = cos(φ)$ – e quindi $sqrt(k^2 - 1) = jsin(φ)$–, si ha in generale:
$y_n = M·e^(jnφ) + N·e^(-jnφ) = $, dove j è l'unità immaginaria, M ed N sono costanti e, se ${y_n}$ è reale, M ed N sono costanti complesso–coniugate. In questo caso $M+N$ è reale e $M-N$ è immaginario, per cui si ha anche:
$y_n = (H+K)cos(nφ) + j(H–K)sin(nφ) = Ccos(nφ) + Ssin(nφ)$ (dove $C = H+K$ ed $S = j(H - K)$ sono costanti reali).
D'altra parte:
$cos[(n+2)φ] +cos(nφ) =2·cos(φ)·cos(n+1)φ]$ ∧ $sin[(n+2)φ] +sin(nφ) =2·cos(φ)·sin(n+1)φ]$ ⇒
⇒ $C·cos[(n+2)φ] + S·sin[(n+2)φ] =2·cos(φ)·{C·cos[(n+1)φ] + S·sin[(n+1)φ]} – [C·cos(nφ) + S·sin(nφ)]$.

Ovviamente, se il rapporto $φ/π$ è razionale, la sequenza è anche periodica.
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L'aggiunta che intendo fare è un quiz ...
Ma è forse meglio che apra un nuovo thread apposito,
A leggerci là, allora!
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