[EX] Volume del simplesso unitario di $RR^N$
Un esercizio facile sugli integrali multipli e sulle formule di riduzione.
***
Con $"m"_N(E)$ intendo la misura di Lebesgue di una parte $E\subseteq RR^N$ misurabile; dalla teoria è noto che:
a) $\quad "m"_N (E)=\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N$
cosicché la misura di $E$ si può calcolare mediante l'integrale $N$-uplo della funzione identicamente $=1$ in $E$.
Da ciò e dal teorema del cambiamento delle variabili segue che, per ogni $r >= 0$, la misura dell'insieme $r*E:=\{ rx, x\in E\}$ (corrispondente ad $E$ in un'omotetia di rapporto $r$) si può calcolare come segue:
b) $\quad "m"_N (r*E)="m"_N(E)*r^N$.
Infine, il teorema di Fubini implica che è sempre possibile scrivere:
$\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N=\int_("proj"_N(E)) \{ \int_(E_(x_N)) " d"x_1\ldots " d"x_(n-1)\}" d"x_N$
ove $"proj"_N (E)$ è la proiezione di $E$ sullo $N$-asse coordinato (ossia $"proj"_N(E):=\{ xi \in RR: exists (x_1,\ldots ,x_(N-1)) \in RR^(N-1): (x_1,\ldots ,x_(N-1),xi)\in E\}$) ed $E_(x_N)$ è la sezione di $E$ determinata dall'iperpiano passante per $(0,\ldots, 0,x_N)$ ortogonale allo $N$-esimo asse coordinato; pertanto si ha:
c) $\quad "m"_N (E)=\int_("proj"_N(E)) "m"_(N-1) (E_(x_N))" d"x_N$.
***
Problema:
Sia $N\in NN$ e scegliamo di denotare con $Delta^N$ lo $N$-simplesso, ossia la parte di $RR^N$ definita come segue:
$\quad Delta^N:=\{ (x_1,\ldots ,x_N)\in RR^N: x_1,\ldots x_n >=0 " e " \sum_(i=1)^N x_i<= 1\}$;
evidentemente, per $N=1$ si ha $Delta^1=[0,1]$, mentre per $N=2,3$, $Delta^N$ è, rispettivamente, il triangolo isocele rettangolo con cateti di lunghezza unitaria giacenti sui semiassi positivi e la piramide triangolare retta avente per vertici i punti $o=(0,0,0),"e"_1=(1,0,0),"e"_2=(0,1,0), "e"_3=(0,0,1)$.
Ricordando note formule di Geometria Elementare, si calcolano facilmente i valori di $"m"_N(Delta^N)$ per $N=1,2,3$ e ci si riesce a fare anche un'idea della formula generale per la misura dello $N$-simplesso.
Determinare, al variare di $N$, il valore di $"m"_N(Delta^N)$ e confermare o confutare l'intuizione indotta dal calcolo dei primi tre valori di $"m"_N(Delta^N)$.
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Con $"m"_N(E)$ intendo la misura di Lebesgue di una parte $E\subseteq RR^N$ misurabile; dalla teoria è noto che:
a) $\quad "m"_N (E)=\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N$
cosicché la misura di $E$ si può calcolare mediante l'integrale $N$-uplo della funzione identicamente $=1$ in $E$.
Da ciò e dal teorema del cambiamento delle variabili segue che, per ogni $r >= 0$, la misura dell'insieme $r*E:=\{ rx, x\in E\}$ (corrispondente ad $E$ in un'omotetia di rapporto $r$) si può calcolare come segue:
b) $\quad "m"_N (r*E)="m"_N(E)*r^N$.
Infine, il teorema di Fubini implica che è sempre possibile scrivere:
$\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N=\int_("proj"_N(E)) \{ \int_(E_(x_N)) " d"x_1\ldots " d"x_(n-1)\}" d"x_N$
ove $"proj"_N (E)$ è la proiezione di $E$ sullo $N$-asse coordinato (ossia $"proj"_N(E):=\{ xi \in RR: exists (x_1,\ldots ,x_(N-1)) \in RR^(N-1): (x_1,\ldots ,x_(N-1),xi)\in E\}$) ed $E_(x_N)$ è la sezione di $E$ determinata dall'iperpiano passante per $(0,\ldots, 0,x_N)$ ortogonale allo $N$-esimo asse coordinato; pertanto si ha:
c) $\quad "m"_N (E)=\int_("proj"_N(E)) "m"_(N-1) (E_(x_N))" d"x_N$.
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Problema:
Sia $N\in NN$ e scegliamo di denotare con $Delta^N$ lo $N$-simplesso, ossia la parte di $RR^N$ definita come segue:
$\quad Delta^N:=\{ (x_1,\ldots ,x_N)\in RR^N: x_1,\ldots x_n >=0 " e " \sum_(i=1)^N x_i<= 1\}$;
evidentemente, per $N=1$ si ha $Delta^1=[0,1]$, mentre per $N=2,3$, $Delta^N$ è, rispettivamente, il triangolo isocele rettangolo con cateti di lunghezza unitaria giacenti sui semiassi positivi e la piramide triangolare retta avente per vertici i punti $o=(0,0,0),"e"_1=(1,0,0),"e"_2=(0,1,0), "e"_3=(0,0,1)$.
Ricordando note formule di Geometria Elementare, si calcolano facilmente i valori di $"m"_N(Delta^N)$ per $N=1,2,3$ e ci si riesce a fare anche un'idea della formula generale per la misura dello $N$-simplesso.
Determinare, al variare di $N$, il valore di $"m"_N(Delta^N)$ e confermare o confutare l'intuizione indotta dal calcolo dei primi tre valori di $"m"_N(Delta^N)$.
Risposte
Gugo82 non capisco (che novità 
) quando scrivi:
Così descritta, la sezione mi risulta un punto (?!). Probabilmente ho preso una cantonata, scusami
) quando scrivi:
$E_{x_N}$ è la sezione di $E$ determinata dall'iperpiano passante per $(0,...,0,x_N)$ ortogonale allo $N$-esimo asse coordinato
Così descritta, la sezione mi risulta un punto (?!). Probabilmente ho preso una cantonata, scusami
Esempio, così tagliamo la testa al toro ed eliminiamo le difficoltà notazionali.
Sia $E$ il triangolo in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
line([0,0], [1,2]);
line([1,2], [3,0]);
line([3,0], [0,0]);
text([1,0.75],"E");[/asvg]
La sezione di $E$ determinata da $x_2=1$, detta $E_1$, è il segmento che nella figura seguente è tracciato in rosso:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
line([0,0], [1,2]);
line([1,2], [3,0]);
line([3,0], [0,0]);
stroke="red";
line([0.5,1],[2,1]);
text([1.25,1],"E1",below);[/asvg]
In generale, fissato $x_N=xi_N$, la sezione $E_(xi_N)$ è l'insieme $\{ (x_1,\ldots ,x_N) \in E: x_N=xi_N \}$ costituito dai punti di $E$ che giacciono sull'iperpiano d'equazione $x_N=xi_N$.
Il problema del post precedente è che avrei dovuto cambiare il nome della variabile d'integrazione per non scrivere $E_(x_N)$, però non me la sono sentita... Insomma, difficoltà notazionale.
P.S.: "Ortogonale" è riferito ad "iperpiano", nel passo che riporti.
Sia $E$ il triangolo in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
line([0,0], [1,2]);
line([1,2], [3,0]);
line([3,0], [0,0]);
text([1,0.75],"E");[/asvg]
La sezione di $E$ determinata da $x_2=1$, detta $E_1$, è il segmento che nella figura seguente è tracciato in rosso:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
line([0,0], [1,2]);
line([1,2], [3,0]);
line([3,0], [0,0]);
stroke="red";
line([0.5,1],[2,1]);
text([1.25,1],"E1",below);[/asvg]
In generale, fissato $x_N=xi_N$, la sezione $E_(xi_N)$ è l'insieme $\{ (x_1,\ldots ,x_N) \in E: x_N=xi_N \}$ costituito dai punti di $E$ che giacciono sull'iperpiano d'equazione $x_N=xi_N$.
Il problema del post precedente è che avrei dovuto cambiare il nome della variabile d'integrazione per non scrivere $E_(x_N)$, però non me la sono sentita... Insomma, difficoltà notazionale.
P.S.: "Ortogonale" è riferito ad "iperpiano", nel passo che riporti.
Mille grazie per il chiarimento 
Giusto?
Ma in realtà l'avevo già letto qualche tempo fa in un link di Fioravante Patrone..
Colgo l'occasione per rimbalzare la domanda e chiedere: direttamente dalla prova della Normale dell'anno scorso:
Si calcoli il volume del simplesso:
${x \in \RR^n | min(x_i)>=0, sum_i x_i=1}$
Come procedo? Io per punire il linguaggio improprio risponderei $0$!
In realtà c'è un po' di confusione circa la terminologia (almeno per me) riguardo i simplessi.
Per simplesso, di norma, si intende l'inviluppo convesso di (i.e. il più piccolo convesso contenente) $N+1$ punti affinemente indipendenti di $RR^N$; pertanto un simplesso è qualcosa di "pieno" ed ha misura di Lebesgue positiva. Nel mio caso avevo scelto gli $N+1$ punti del riferimento affine canonico di $RR^N$... Più indipendenti di così!
Tuttavia c'è anche chi chiama simplesso l'inviluppo di $N$ punti: in tal caso si ottiene un oggetto che giace su un iperpiano (come nel caso del tuo esercizio) e quindi ha misura nulla. Però in tal caso la misura $N-1$ dimensionale (insomma, l'"area di superficie") è non nulla e si può calcolare.
Infine, visto che il tuo esercizio chiedeva esplicitamente di calcolare il volume di un oggetto giacente su un iperpiano, anch'io avrei risposto $0$.
P.S.: Ad ogni modo la risposta è esatta.
Epperò il thread di FP sui simplessi me l'ero perso... Devo cercarlo.
Per simplesso, di norma, si intende l'inviluppo convesso di (i.e. il più piccolo convesso contenente) $N+1$ punti affinemente indipendenti di $RR^N$; pertanto un simplesso è qualcosa di "pieno" ed ha misura di Lebesgue positiva. Nel mio caso avevo scelto gli $N+1$ punti del riferimento affine canonico di $RR^N$... Più indipendenti di così!
Tuttavia c'è anche chi chiama simplesso l'inviluppo di $N$ punti: in tal caso si ottiene un oggetto che giace su un iperpiano (come nel caso del tuo esercizio) e quindi ha misura nulla. Però in tal caso la misura $N-1$ dimensionale (insomma, l'"area di superficie") è non nulla e si può calcolare.
Infine, visto che il tuo esercizio chiedeva esplicitamente di calcolare il volume di un oggetto giacente su un iperpiano, anch'io avrei risposto $0$.
P.S.: Ad ogni modo la risposta è esatta.
Epperò il thread di FP sui simplessi me l'ero perso... Devo cercarlo.
, mi hanno preceduto 
[size=75]Edit: migliorato l'italiano [/size]
@Mathematico:
ovviamente hai ragione tu.
Non correggo, tanto ci sei tu con la risposta giusta.
E il mio esercizio? Penso che se fossi stato in Normale a fare quella prova, avrei chiesto chiarimenti.
E avrei scritto: ok, secondo me è 0, però se vuoi calcolo la misura N-1 dimensionale, che fa...
quanto fa? come lo posso calcolare?
ovviamente hai ragione tu.
Non correggo, tanto ci sei tu con la risposta giusta.
E il mio esercizio? Penso che se fossi stato in Normale a fare quella prova, avrei chiesto chiarimenti.
E avrei scritto: ok, secondo me è 0, però se vuoi calcolo la misura N-1 dimensionale, che fa...
quanto fa? come lo posso calcolare?
Forse c'è qualche possibilità che sia la classica domanda trabocchetto...
Avresti fatto bene a chiedere chiarimenti.
Per l'area, si tratta di fare un altro paio di conti, secondo me.
P.S.: Ora che ho visto bene la risposta (ieri mi ero colpevolmente soffermato solo sui passaggi per l'integrale...), devo dire che ti sei saltato un esponente; ovviamente è $"m"_N(Delta^N)=1/N "m"_(N-1)(Delta^(N-1))$; pertanto la risposta esatta è quella data da Mathematico.
Avresti fatto bene a chiedere chiarimenti.
Per l'area, si tratta di fare un altro paio di conti, secondo me.
P.S.: Ora che ho visto bene la risposta (ieri mi ero colpevolmente soffermato solo sui passaggi per l'integrale...), devo dire che ti sei saltato un esponente; ovviamente è $"m"_N(Delta^N)=1/N "m"_(N-1)(Delta^(N-1))$; pertanto la risposta esatta è quella data da Mathematico.
Una volta determinato il volume del simplesso unitario $Delta^N$ viene spontaneo chiedersi se è possibile calcolare anche il volume di un simplesso qualsiasi.
***
Siano $x_0\,ldots, x_N \in RR^N$ $N+1$ punti affinemente indipendenti (cioè non tutti contenuti in uno stesso iperpiano).
Si chiama simplesso di vertici $x_0\,ldots, x_N$ l'inviluppo convesso dell'insieme $\{ x_0\,ldots, x_N \}$, ovvero il più piccolo insieme convesso (rispetto all'inclusione $\subseteq$) contenente tutti i punti $x_0\,ldots, x_N$.
Ad esempio, detti $o=(0,\ldots ,0), e_1=(1,0,\ldots,0),e_N=(0,\ldots ,0,1) \in RR^N$, è facile provare che $Delta^N$ è il simplesso di vertici $\{ o,e_1,\ldots ,e_N\}$.
Si noti che i simplessi di $RR^2$ ed $RR^3$ sono, rispettivamente, tutti e soli i triangoli non degeneri o tutte e sole le piramidi non degeneri a basi triangolari.
***
Problema:
Fissati $N+1$ punti affinemente indipendenti in $x_0,\ldots ,x_N \in RR^N$ e detto $S$ il simplesso avente vertici in tali punti, determinare la misura $"m"_N (S)$ al variare di $N$ ed $x_0,\ldots ,x_N$.
@ Gaal: quando parlavi di un post di FP sui simplessi, intendevi per caso questo (con link)?
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Siano $x_0\,ldots, x_N \in RR^N$ $N+1$ punti affinemente indipendenti (cioè non tutti contenuti in uno stesso iperpiano).
Si chiama simplesso di vertici $x_0\,ldots, x_N$ l'inviluppo convesso dell'insieme $\{ x_0\,ldots, x_N \}$, ovvero il più piccolo insieme convesso (rispetto all'inclusione $\subseteq$) contenente tutti i punti $x_0\,ldots, x_N$.
Ad esempio, detti $o=(0,\ldots ,0), e_1=(1,0,\ldots,0),e_N=(0,\ldots ,0,1) \in RR^N$, è facile provare che $Delta^N$ è il simplesso di vertici $\{ o,e_1,\ldots ,e_N\}$.
Si noti che i simplessi di $RR^2$ ed $RR^3$ sono, rispettivamente, tutti e soli i triangoli non degeneri o tutte e sole le piramidi non degeneri a basi triangolari.
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Problema:
Fissati $N+1$ punti affinemente indipendenti in $x_0,\ldots ,x_N \in RR^N$ e detto $S$ il simplesso avente vertici in tali punti, determinare la misura $"m"_N (S)$ al variare di $N$ ed $x_0,\ldots ,x_N$.
@ Gaal: quando parlavi di un post di FP sui simplessi, intendevi per caso questo (con link)?
@Gugo: si, intendevo quello.
Sono molto impacciato sugli integrali in genere, non riesco a dare risposta alla domanda postata da me qualche post fa.
Mi aiutereste?
Il punto è che non riesco a farlo neanche in dimensione 2. Qui il simplesso (con la definizione mia) è un segmento, quindi mi dovrebbe venire un integrale in una variabile. Ma come lo scrivo?
Sono molto impacciato sugli integrali in genere, non riesco a dare risposta alla domanda postata da me qualche post fa.
Mi aiutereste?
Il punto è che non riesco a farlo neanche in dimensione 2. Qui il simplesso (con la definizione mia) è un segmento, quindi mi dovrebbe venire un integrale in una variabile. Ma come lo scrivo?
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