[EX] Un'espressione insiemistica per la funzione inversa
Dopo l'ultimo problema difficile che ho postato (qui; ancora nessuno ha tentato una risposta), mi rifaccio con un esercizio elementare sulle funzioni monotone continue.
Studenti dei primi anni, fatevi sotto!
***
Esercizio:
Siano [tex]$I$[/tex] un intervallo aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] strettamente monotona e continua.
1. Dimostrare che per ogni [tex]$y\in f(I)$[/tex] risulta:
(a) [tex]$f^{-1} (y) =\begin{cases} \sup \{ x\in I:\ f(x)>y\} &\text{, se $f$ è decrescente}\\ \inf \{ x\in I:\ f(x)>y\} &\text{, se $f$ è crescente}\end{cases}$[/tex].
2. Se si lascia cadere l'ipotesi di stretta monotonia (mantenendo però la monotonia), la funzione [tex]$f^{-1}$[/tex] non è, in generale, definibile; tuttavia si provi che il secondo membro di (a) definisce ancora una funzione [tex]$\varphi : f(I)\to I$[/tex] (detta inversa generalizzata di [tex]$f$[/tex]) che conserva la stessa monotonia di [tex]$f$[/tex].
3. Si provi che, in ogni caso, l'inversa generalizzata [tex]$\varphi$[/tex] di [tex]$f$[/tex] risulta continua nei punti [tex]$y \in f(I)$[/tex] tali che [tex]$\{ x\in I:\ f(x)=y\}$[/tex] è costituito da al più un elemento.
4. Che tipo di discontinuità presenta l'inversa generalizzata [tex]$\varphi$[/tex] di [tex]$f$[/tex] nei punti [tex]$y\in f(I)$[/tex] che non verificano la condizione di cui al punto 3.?
Studenti dei primi anni, fatevi sotto!
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Esercizio:
Siano [tex]$I$[/tex] un intervallo aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] strettamente monotona e continua.
1. Dimostrare che per ogni [tex]$y\in f(I)$[/tex] risulta:
(a) [tex]$f^{-1} (y) =\begin{cases} \sup \{ x\in I:\ f(x)>y\} &\text{, se $f$ è decrescente}\\ \inf \{ x\in I:\ f(x)>y\} &\text{, se $f$ è crescente}\end{cases}$[/tex].
2. Se si lascia cadere l'ipotesi di stretta monotonia (mantenendo però la monotonia), la funzione [tex]$f^{-1}$[/tex] non è, in generale, definibile; tuttavia si provi che il secondo membro di (a) definisce ancora una funzione [tex]$\varphi : f(I)\to I$[/tex] (detta inversa generalizzata di [tex]$f$[/tex]) che conserva la stessa monotonia di [tex]$f$[/tex].
3. Si provi che, in ogni caso, l'inversa generalizzata [tex]$\varphi$[/tex] di [tex]$f$[/tex] risulta continua nei punti [tex]$y \in f(I)$[/tex] tali che [tex]$\{ x\in I:\ f(x)=y\}$[/tex] è costituito da al più un elemento.
4. Che tipo di discontinuità presenta l'inversa generalizzata [tex]$\varphi$[/tex] di [tex]$f$[/tex] nei punti [tex]$y\in f(I)$[/tex] che non verificano la condizione di cui al punto 3.?
Risposte
Up!
Inizio io anche se sono scarso in analisi (quindi ogni precisazione è gradita)...
1) Supponiamo $f$ crescente (l'altro caso è analogo): innanzitutto $y \in f(I)$ e $f$ è strettamente crescente quindi iniettiva, che implica che $f^(-1)(y) = x_0 \in I$ è un singolo valore.
Sia $A$ = ${ x\in I:\ f(x)>y\}$ e sia $\bar x$ = $text{inf}A$. Sappiamo già che $f(x_0) = y$ e quindi, per la monotonia di $f$, $x_0$ è un minorante dell'insieme $A$ ovvero $x_0 \leq \bar x$.
Per assurdo $x_0 < \bar x$ e sia $B_\epsilon := (x - \epsilon, x+\epsilon)$ un intervallo di centro $x$ tutto contenuto nell'intervallo $I$*, e prendiamo $z \in B_\epsilon$ t.c. $x_0 < z < \bar x$ (ad esempio possiamo prendere $z = min( (x_0 +\bar x)/2, x + \epsilon/2)$).
Esiste quindi $f(z)$ e da $x_0 < z$ segue che $y = f(x_0) < f(z) \rarr z \in A$, ma $z < \barx$ assurdo.
* Ho supposto che l'intervallo $I = (a, b)$ fosse aperto perchè altrimenti prendendo $y = f(b)$ l'insieme $A$ sarebbe vuoto.
1) Supponiamo $f$ crescente (l'altro caso è analogo): innanzitutto $y \in f(I)$ e $f$ è strettamente crescente quindi iniettiva, che implica che $f^(-1)(y) = x_0 \in I$ è un singolo valore.
Sia $A$ = ${ x\in I:\ f(x)>y\}$ e sia $\bar x$ = $text{inf}A$. Sappiamo già che $f(x_0) = y$ e quindi, per la monotonia di $f$, $x_0$ è un minorante dell'insieme $A$ ovvero $x_0 \leq \bar x$.
Per assurdo $x_0 < \bar x$ e sia $B_\epsilon := (x - \epsilon, x+\epsilon)$ un intervallo di centro $x$ tutto contenuto nell'intervallo $I$*, e prendiamo $z \in B_\epsilon$ t.c. $x_0 < z < \bar x$ (ad esempio possiamo prendere $z = min( (x_0 +\bar x)/2, x + \epsilon/2)$).
Esiste quindi $f(z)$ e da $x_0 < z$ segue che $y = f(x_0) < f(z) \rarr z \in A$, ma $z < \barx$ assurdo.
* Ho supposto che l'intervallo $I = (a, b)$ fosse aperto perchè altrimenti prendendo $y = f(b)$ l'insieme $A$ sarebbe vuoto.
2) Sia $phi: f(I) \rarr I$ t.c. $phi(y) = \text{inf}{x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y}$; poichè $f$ è una funzione continua su un intervallo aperto, $f(I)$ è un intervallo aperto e quindi preso $y \in f(I)$ esiste $B_epsilon(y) \sub f(I)$ e quindi l'insieme su cui facciamo l'$text{inf}$ è non vuoto.
A questo punto, siano $y_0, y_1 \in f(I)$ t.c. $y_0 \leq y_1$. Ma allora ${x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_0} supe {x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_1}$ e perciò $phi(y_0) = \text{inf}{x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_0} \leq \text{inf}{x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_1} = phi(y_1)$ in quanto sto facendo l'$text{inf}$ su un insieme più piccolo.
[size=59]Scappo a studiare probabilità![/size]
A questo punto, siano $y_0, y_1 \in f(I)$ t.c. $y_0 \leq y_1$. Ma allora ${x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_0} supe {x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_1}$ e perciò $phi(y_0) = \text{inf}{x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_0} \leq \text{inf}{x \in I$ $\text{t.c.} f(x) > y_1} = phi(y_1)$ in quanto sto facendo l'$text{inf}$ su un insieme più piccolo.
[size=59]Scappo a studiare probabilità![/size]
Ok, Gatto!
Grazie per aver segnalato il problema dell'intervallo: ora correggo.
Grazie per aver segnalato il problema dell'intervallo: ora correggo.
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