[EX] - Una somma di seni
Esercizio carino dedicato agli studenti che stanno preparando l'esame di Analisi I.
Esercizio. Calcolare \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) + \sin \left(2 \frac{\pi}{n}\right) + \dots + \sin \left( n \frac{\pi}{n} \right)}{n} \]
Esercizio. Calcolare \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) + \sin \left(2 \frac{\pi}{n}\right) + \dots + \sin \left( n \frac{\pi}{n} \right)}{n} \]
Risposte
$(sin(pi/n)+sin(2pi/n)+...+sin(npi/n))/n~~(pi/n+2pi/n+...+npi/n)/n=(pi/n(1+2+...+n))/n=pi/n^2(n(n+1))/(2)$
$pi/n^2(n(n+1))/(2)=pi/2(n^2+n)/n^2~~pi/2$
$pi/n^2(n(n+1))/(2)=pi/2(n^2+n)/n^2~~pi/2$
Mi pare di no. Il seguente passaggio non va bene
Chi ti dice che \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\left| \sin \left(k \frac{\pi}{n} \right) - k \frac{\pi}{n} \right|=0\]
?
"DKant10":
$(sin(pi/n)+sin(2pi/n)+...+sin(npi/n))/n~~(pi/n+2pi/n+...+npi/n)/n$ [...]
Chi ti dice che \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\left| \sin \left(k \frac{\pi}{n} \right) - k \frac{\pi}{n} \right|=0\]
?
Si dimostra (più o meno facilmente 
) che quella sommatoria è uguale a $cot(pi/{2n})$ e pertanto il limite L cercato sarà :
$L=\lim_{n->\infty}[\cos({pi}/{2n})\cdot(pi/{2n})/{sin(pi/{2n})} cdot 2/{pi}]=1\cdot 1\ cdot 2/{pi}=2/{pi}$
) che quella sommatoria è uguale a $cot(pi/{2n})$ e pertanto il limite L cercato sarà :$L=\lim_{n->\infty}[\cos({pi}/{2n})\cdot(pi/{2n})/{sin(pi/{2n})} cdot 2/{pi}]=1\cdot 1\ cdot 2/{pi}=2/{pi}$
Provo a "riscattare" l'intervento non corretto fatto in precedenza,
fornendo una mia dimostrazione della identità goniometrica:
$\sum_{k=1}^{n}sin(kpi/n)=cot(pi/{2n})$, in altri termini dell'identità:
$sin(pi/{2n})\sum_{k=1}^{n}sin(kpi/n)=cos(pi/{2n})$.
Allora, lavorando sul primo membro:
$sin(pi/{2n})\sum_{k=1}^{n}sin(kpi/n)=sin(pi/{2n}){sin(pi/n)+sin(2pi/n)+...+sin((n-1)pi/n)+sin(npi/n)}=$
$=sin(pi/{2n}){sin(2pi/(2n))+sin(4pi/(2n))+...+sin(2(n-1)pi/(2n))+sin(2npi/(2n))}=$
$sin(pi/{2n})sin(2pi/(2n))+sin(pi/{2n})sin(4pi/(2n))+...+sin(pi/{2n})sin(2(n-1)pi/(2n))+sin(pi/{2n})sin(2npi/(2n))$
Usando la terza formula di Werner:
$=1/2{(cos(pi/(2n))-cos(3pi/(2n)))+(cos(3pi/(2n))-cos(5pi/(2n)))+...+$ $+(cos((2n-3)pi/(2n))-cos((2n-1)pi/(2n)))+(cos((2n-1)pi/(2n))-cos((2n+1)pi/(2n)))}=$
I termini "al centro" si elidono, quindi:
$=1/2{(cos(pi/(2n))-cos(((2n+1)pi/(2n)))}=1/2{(cos(pi/(2n))-cos(pi+pi/(2n))}=$
$1/2{(cos(pi/(2n))+cos(pi/(2n))}=cos(pi/(2n))$
fornendo una mia dimostrazione della identità goniometrica:
$\sum_{k=1}^{n}sin(kpi/n)=cot(pi/{2n})$, in altri termini dell'identità:
$sin(pi/{2n})\sum_{k=1}^{n}sin(kpi/n)=cos(pi/{2n})$.
Allora, lavorando sul primo membro:
$sin(pi/{2n})\sum_{k=1}^{n}sin(kpi/n)=sin(pi/{2n}){sin(pi/n)+sin(2pi/n)+...+sin((n-1)pi/n)+sin(npi/n)}=$
$=sin(pi/{2n}){sin(2pi/(2n))+sin(4pi/(2n))+...+sin(2(n-1)pi/(2n))+sin(2npi/(2n))}=$
$sin(pi/{2n})sin(2pi/(2n))+sin(pi/{2n})sin(4pi/(2n))+...+sin(pi/{2n})sin(2(n-1)pi/(2n))+sin(pi/{2n})sin(2npi/(2n))$
Usando la terza formula di Werner:
$=1/2{(cos(pi/(2n))-cos(3pi/(2n)))+(cos(3pi/(2n))-cos(5pi/(2n)))+...+$ $+(cos((2n-3)pi/(2n))-cos((2n-1)pi/(2n)))+(cos((2n-1)pi/(2n))-cos((2n+1)pi/(2n)))}=$
I termini "al centro" si elidono, quindi:
$=1/2{(cos(pi/(2n))-cos(((2n+1)pi/(2n)))}=1/2{(cos(pi/(2n))-cos(pi+pi/(2n))}=$
$1/2{(cos(pi/(2n))+cos(pi/(2n))}=cos(pi/(2n))$
Posto \( \displaystyle \Delta x= \frac{\pi}{n}\) abbiamo anche
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) + \sin \left(2 \frac{\pi}{n}\right) + \dots + \sin \left( n \frac{\pi}{n} \right)}{n} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n \sin\left( \frac{k \pi}{n}\right) \Delta x=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x)dx=\frac{2}{\pi}\)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) + \sin \left(2 \frac{\pi}{n}\right) + \dots + \sin \left( n \frac{\pi}{n} \right)}{n} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n \sin\left( \frac{k \pi}{n}\right) \Delta x=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x)dx=\frac{2}{\pi}\)
Non vorrei sbagliare ma mi pare che nella sommatoria di totissimus vada scritto $infty$ al posto di n. Altrimenti salta il concetto di integrale definito.
Avevo sbadatamente omesso \( \lim_{n \to \infty} \)
Adesso va bene. Bella dimostrazione, comunque...
"totissimus":
Posto \( \displaystyle \Delta x= \frac{\pi}{n}\) abbiamo anche
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) + \sin \left(2 \frac{\pi}{n}\right) + \dots + \sin \left( n \frac{\pi}{n} \right)}{n} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n \sin\left( \frac{k \pi}{n}\right) \Delta x=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x)dx=\frac{2}{\pi}\)
La stessa a cui pervenni io, ai tempi.
@Delirium: Scusami non l'avevo letta.
@totissimus: guarda che non l'ho scritta da nessuna parte
Con "ai tempi" mi riferivo all'anno scorso, quando mi venne sottoposto l'esercizio. Era solo una constatazione.
Con "ai tempi" mi riferivo all'anno scorso, quando mi venne sottoposto l'esercizio. Era solo una constatazione.
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