[EX] Un (poco noto) criterio di convergenza per le serie

[gugo82]

Esercizio:

1. Si provi il seguente criterio di convergenza:

Sia $f:[0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ una funzione decrescente (i.e. $x\leq y\ \Rightarrow \ f(x)\geq f(y)$).

i. Se risulta:
\[
\tag{1}
\limsup_{x\to +\infty} \frac{e^x\ f(e^x)}{f(x)} <1
\]
allora la serie a termini positivi $\sum f(n)$ converge.

ii. Se, invece, risulta:
\[
\tag{2}
\liminf_{x\to +\infty} \frac{e^x\ f(e^x)}{f(x)} >1
\]
allora la serie a termini positivi $\sum f(n)$ diverge.

2. È possibile generalizzare il criterio di cui sopra usando al posto dell'esponenziale qualche altra funzione?
In altre parole, è possibile determinare tutte e sole le funzioni \(a\in C^1([0,+\infty[)\) tali che gli enunciati i e ii rimangano veri sostituendo ad \(e^x\) la quantità \(a(x)\)?

[gugo82]

Suggerimenti: 1. i & ii. Esiste un \(\lambda <1\) [risp. \(\lambda = 1\)] tale che \(e^x\ f(e^x)\leq \lambda\ f(x)\) [risp. \(e^x\ f(e^x)\geq f(x)\)] per \(x\geq \bar{x}\), quindi anche:
\[
\int_{\bar{x}}^x e^t\ f(e^t)\ \text{d} t \leq \lambda\ \int_{\bar{x}}^x f(t)\ \text{d} t
\]
[risp. \(\int_{\bar{x}}^x e^t\ f(e^t)\ \text{d} t \geq \int_{\bar{x}}^x f(t)\ \text{d} t\)]; di qui, concludere che \(\int_0^\infty f(t)\ \text{d} t\) è finito [risp. non è finito] ed usare il Criterio di Convergenza Integrale.

2. Esaminare a fondo la dimostrazione di 1.

[Paolo902]

Comincio dal punto 1.

"gugo82":
1. Si provi il seguente criterio di convergenza:

Sia $f:[0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ una funzione decrescente (i.e. $x\leq y\ \Rightarrow \ f(x)\geq f(y)$).

i. Se risulta:
\[
\tag{1}
\limsup_{x\to +\infty} \frac{e^x\ f(e^x)}{f(x)} <1
\]
allora la serie a termini positivi $\sum f(n)$ converge.

Sia
\[
\limsup_{x\to +\infty} \frac{e^x\ f(e^x)}{f(x)} = l<1
\]

Ciò significa che
\[
\forall \varepsilon>0,\,\exists M > 0 : \quad x>M \Rightarrow \frac{e^x\ f(e^x)}{f(x)} \]

Prendendo \(\varepsilon \) sufficientemente piccolo, di modo che risulti \( \tilde{l} := l+\varepsilon \le 1\), possiamo scrivere
\[
e^xf(e^x) < \tilde{l}f(x)
\]
per ogni $x > M$. Per monotonia dell'integrale
\[
\int_M^{x} e^tf(e^t)dt \le \tilde{l}\int_M^x f(t)dt
\]
Cambiando variabile si ottiene
\[
\int_{e^M}^{e^x} f(s)ds \le \tilde{l}\int_M^x f(s)ds
\]

Ora per la monotonia di $f$, posso affermare che vale la seguente catena di disuguaglianze:
\[
f(e^x)(e^x-e^M) \le \int_{e^M}^{e^x} f(s)ds \le \tilde{l}\int_M^x f(s)ds \le \tilde{l} f(M)(x-M)
\]

A questo punto sono convinto che mandando $x \to +\infty$ si possa concludere che l'integrale improprio $\int_0^\infty f(s)ds$ converge e quindi avremmo la tesi per il criterio integrale. Solo che non vedo come giostrarmi con il limite...

Sono proprio fuori strada?
Grazie.

P.S. Non ho guardato il secondo post con i suggerimenti.

[Thomas16]

nemmeno io ho guardato i suggerimenti ma forse basta questa parola inglese per concludere il punto uno iniziando come Paolo: "iterate"...

spero sia un suggerimento sensato...

[gugo82]

@Paolo: No, non sei affatto in modalità jeep (ossia, fuoristrada! ), anzi...

Per terminare ti basterebbe tener presente che:
\[
\int_{e^M}^{e^x} = \int_{e^M}^M + \int_M^x+ \int_x^{e^x}
\]
e che \(f\) è positiva e che l'esponenziale è una funzione rapidamente crescente.

@Thomas: Non ho ancora ben capito il suggerimento... Nel senso, se davvero denoti una strada più facile di quella indicata o no.
Ci penserò sopra.

[Thomas16]

@Thomas: Non ho ancora ben capito il suggerimento... Nel senso, se davvero denoti una strada più facile di quella indicata o no.
Ci penserò sopra.

Ciao gugo.. non voglio rubare a Paolo90 l'utilità di concludere questo esercizio che ha iniziato (magari con qualche tuo aiuto)...

ad esercizio concluso discutiamo se è davvero possibile una soluzione diversa da quella che verrà proposta!