[EX] Un po' di Analisi Complessa

[gugo82]

Vedo che in questo periodo c'è un po' d'interesse per l'Analisi Complessa, quindi propongo questo esercizio (di cui non ho ancora la soluzione).

***

Esercizio:

Siano [tex]$Q:=\{z\in \mathbb{C}:\ 0\leq \text{Re}\, z,\text{Im}\, z\leq 1\}$[/tex] il quadrato unitario chiuso nel piano complesso, [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] un aperto contenente [tex]$Q$[/tex] ed [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] analitica.

Dimostrare che se:

[tex]$\begin{cases} f(1+z) -f(z) \text{ prende valori reali non negativi per } z=\imath y\text{, con } y\in [0,1] \\ f(z+\imath) -f(z) \text{ prende valori reali non negativi per } z=x\text{, con }x\in [0,1] \end{cases}$[/tex]

allora [tex]$f(z)$[/tex] è costante.

[gugo82]

Up.

Continuo a non avere la soluzione (non che l'abbia cercata, in questo periodo!).

[totissimus]

Nessuno ha interesse per questo problema ?

[Seneca1]

Io me n'ero interessato, ma con gli esami alle porte......

[Seneca1]

Piccolo contributo...

$f$ è olomorfa in un aperto che contiene il compatto $Q$, quindi si può usare l'identità di Cauchy:
\[\displaystyle \int_{\partial Q} f(\zeta) d \zeta = 0 \]
\[\displaystyle \int_{\partial Q} f(\zeta) d \zeta = \int_0^1 f(x) dx + i \int_0^1 f(1 + iy) dy + \int_1^0 f(x + i) dx + i \int_1^0 f(i y) dy = \]
\[\displaystyle = \int_0^1 [ f(x) - f(x + i) ] dx + i \int_0^1 [ f(1 + iy) - f(i y) ] dy = 0 \]
Poiché $f(x) - f(x + i) <= 0$ , $\forall x \in [0,1]$ e $f(1 + iy) - f(i y) >= 0$, $\forall y \in [0,1]$, perché valga l'uguaglianza scritta sopra è necessario che si abbia:
\[\displaystyle f(x) - f(x + i) = 0 \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;f(1 + iy) - f(i y) = 0 \]

Da qui non sono riuscito ancora a concludere niente.

[Paolo902]

Possibile (?) conclusione del ragionamento di Seneca:

Che cosa succede se consideriamo il prolungamento doppiamente periodico di $f$? Le condizioni trovate da Seneca ci suggeriscono di estendere in maniera analitica $f$ su tutto $\mathbb C$ definendo $f(z)=f(z+1)=f(z+i)$.

Ovviamente, $f$ resta limitata: è limitata sul compatto $Q$ per Weierstrass, quindi siccome la prolunghiamo per periodicità resta limitata ovunque. A questo punto, è immediato concludere utilizzando il sempreverde teorema di Liouville.