[EX] - Un modello probabilistico di distribuzione dei figli

[Sk_Anonymous]

Questo mi è piaciuto un sacco. Ve lo propongo.

Si consideri il seguente modello di distribuzione dei figli nei nuclei familiari:
La probabilità che un nucleo familiare scelto a caso abbia \(\displaystyle n \) figli, con \(\displaystyle n \ge 0 \), è \(\displaystyle e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda ^{n}}{n !} \), dove \(\displaystyle \lambda>0 \). Supponiamo inoltre che ogni figlio sia maschio con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), indipendentemente da tutti gli altri figli. Fissato \(\displaystyle k \ge 0 \), sia \(\displaystyle A_{k} \) l'evento "il nucleo familiare scelto (a caso) ha esattamente \(\displaystyle k \) figli maschi".
Provare che \(\displaystyle P(A_{k})= e^{- \lambda / 2} \cdot \frac{ (\lambda /2)^k}{k!} \).

[wnvl]

\(\displaystyle P(A_{k})= P(k figli)P(k figli maschi|k figli)+P(k+1 figli)P(k figli maschi|k+1 figli)+P(k+2 figli)P(k figli maschi|k+2 figli)+... \)

\(\displaystyle = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{1}{2^k}+ e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k+1}}{k+1!}\cdot \frac{1}{2^{k+1}}\cdot(k+1)+ e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k+2}}{k+2!}\cdot \frac{1}{2^{k+2}}\cdot\frac{(k+2)!}{k!2!}... \)

\(\displaystyle = \frac{e^{-\lambda}}{k!} \left( \lambda^k \cdot \frac{1}{2^k}+ \frac{\lambda^{k+1}}{k+1}\cdot \frac{1}{2^{k+1}}\cdot(k+1)+ \lambda^{k+2}\cdot \frac{1}{2^{k+2}}\cdot\frac{1}{2!}... \right) \)

\(\displaystyle = \frac{e^{-\lambda} \cdot \left( \frac{\lambda}{2}\right)^{k}} {k!} \left( 1+ \frac{\lambda}{2}+ \frac{\lambda^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{1}{2!}... \right) \)

\(\displaystyle = \frac{e^{-\frac{\lambda}{2}} \cdot \left( \frac{\lambda}{2}\right)^{k}} {k!} \)

[Sk_Anonymous]

Bravo wnvl, mi pare che la soluzione sia corretta. Tuttavia devi aver fatto un po' di confusione con il LaTeX perché vedo la formula della prima riga troncata.

Io l'ho risolto praticamente come wnvl, soltanto con un po' di notazione compatta in più:

Considero l'evento \(\displaystyle B_{n}=\text{Il nucleo familiare scelto ha n figli} \) e noto che \[\displaystyle P(A_{k}|B_{n})=\binom{n}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k}=\binom{n}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{n}\]
Utilizzando poi la "formula di disintegrazione", si ha che
\[\displaystyle P(A_{k})=\sum_{n=0}^{\infty} P(A_{k}|B_{n})P(B_{n}) \]
Pertanto \[\displaystyle P(A_{k})=e^{-\lambda}\sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \frac{{\lambda}^{n}}{n!}=e^{-\lambda} \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} \frac{(\lambda /2)^{n}}{n!}=\]
\[\displaystyle =\frac{e^{-\lambda}}{k!} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{(\lambda /2)^{n}}{(n-k)!} =\frac{e^{-\lambda} (\lambda /2)^{k}}{k!} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{(\lambda /2)^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{e^{-\lambda} (\lambda /2)^{k}}{k!} e^{\lambda / 2}= \]
\[\displaystyle =e^{ - \lambda /2} \cdot \frac{(\lambda /2)^{k}}{k!} \]