[EX] Un esercizio "storico"

[gugo82]

Esercizio:

Siano \((a_n)\subseteq [0,1]\) una successione densa in \([0,1]\) ed \((A_n)\subseteq [0,\infty[\) tale che \(\sum \sqrt{A_n}\) sia convergente.
Dimostrare che l'insieme \(X\) dei punti di \([0,1]\) in cui la serie di funzioni:
\[
\sum \frac{A_n}{|x-a_n|}
\]
converge ha misura "piena" in \([0,1]\), i.e. mostrare che vale l'uguaglianza \(\mathcal{L}^1(X)=1=\mathcal{L}^1([0,1])\) (in cui \(\mathcal{L}^1(\cdot)\) denota la misura di Lebesgue sulla retta reale).

[Rigel1]

Ci provo.

Fissato \(\epsilon > 0\), per ogni \(n\in\mathbb{N}\) definiamo \(B^n_{\epsilon} := B(a_n, \epsilon \sqrt{A_n})\). Definiamo poi l'insieme \(X_{\epsilon} := [0,1]\setminus \bigcup_n B^n_{\epsilon}\); poiché \(\sum_n |B^n_{\epsilon}| \leq \epsilon A\) (dove \( A:= \sum_n \sqrt{A_n}\) ), avremo che \(|X| \geq 1 - \epsilon A\).
Abbiamo che
\[
\int_{X_{\epsilon}} \frac{A_n}{|x-a_n|} \, dx \leq \int_{[0,1]\setminus B^n_{\epsilon}} \frac{A_n}{|x-a_n|} \, dx
\leq \frac{A_n}{\epsilon\sqrt{A_n}} = \frac{1}{\epsilon}\, \sqrt{A_n}
\]
e, di conseguenza, la seguente serie è convergente:
\[
\sum_n \int_{X_{\epsilon}} \frac{A_n}{|x-a_n|} \, dx \leq \frac{A}{\epsilon}\,.
\]
In particolare questo implica che la serie \(\sum_n \frac{A_n}{|x-a_n|} \) converge quasi ovunque in \(X_{\epsilon}\).

Per concludere, posto \(\epsilon = 1/k\) con \(k\in\mathbb{N}^+\), per quanto detto sopra possiamo individuare una successione di insiemi \(Y_1\subset Y_2\subset Y_3\subset\ldots\) tali che \(|Y_k| \geq 1 - \frac{1}{k} A\) e la serie converga puntualmente su ciascuno di essi. Di conseguenza la serie converge anche nell'insieme di misura piena \(X = \bigcup_k Y_k\).

P.S.: da dove proviene la "storicità"?

[gugo82]

Dico anche la mia.

Chiamiamo \(D\) l'insieme dei punti in cui la serie non converge, cioé poniamo \(D:= [0,1]\setminus X\) in cui \(X\) è l'insieme di convergenza.
Euristicamente, se ci sono problemi di convergenza, essi si presentano intorno agli \(a_n\), perché lo \(n\)-esimo addendo non è limitato intorno ad \(a_n\).
Per tale motivo, scegliamo di "isolare" le singolarità \(a_n\) usando intervallini sufficientemente piccoli. In particolare, per ogni \(\varepsilon >0\), chiamiamo \(I_n(\varepsilon)\) l'intervallo centrato in \(a_n\) avente ampiezza \(2\varepsilon/A\), i.e.:
\[
I_n(\varepsilon) := \left] a_n-\frac{\varepsilon}{2A} \sqrt{A_n}, a_n + \frac{\varepsilon}{2A} \sqrt{A_n}\right[\; ,
\]
in cui \(A:=\sum_{n=0}^\infty \sqrt{A_n}\), e poniamo:
\[
D(\varepsilon) := \bigcup_{n=0}^\infty I_n(\varepsilon)\; ;
\]
se \(x\in [0,1]\) non appartiene a \(D(\varepsilon)\), esso non appartiene ad alcun \(I_n(\varepsilon)\) e perciò si ha:
\[
|x-a_n|\geq \frac{\varepsilon}{2A}\ \sqrt{A_n} \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{A_n}{|x-a_n|}\leq \frac{2A}{\varepsilon}\ \sqrt{A_n}
\]
per ogni \(n\) e dunque:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{A_n}{|x-a_n|} \leq \frac{2A}{\varepsilon}\ \sum_{n=0}^\infty \sqrt{A_n} =\frac{2A^2}{\varepsilon}<\infty\; ;
\]
conseguentemente, ogni punto di \([0,1]\setminus D(\varepsilon)\) è un punto di convergenza per la serie assegnata e perciò \(D\subseteq D(\varepsilon)\) per ogni \(\varepsilon >0\).
Ora, per le proprietà della misura si ha:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}^1(D(\varepsilon)) &\leq \sum_{n=0}^\infty \mathcal{L}^1(I_n(\varepsilon))\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{\varepsilon}{A}\ \sqrt{A_n}\\
&= \varepsilon\; ,
\end{split}
\]
sicché \(D\) è contenuto in insiemi di misura arbitrariamente piccola; perciò \(D\) è misurabile ed ha misura nulla.

La storicità dell'esercizio è legata a questioni di teoria della misura. Spiego brevemente.

Nella sua tesi di dottorato del 1894 E. Borel sviluppò (basandosi su un'idea di Cantor) una tecnica di prolungamento analitico oltre certi insiemi di singolaritàper alcune funzioni complesse di più variabili definite mediante serie. Se si considerano le funzioni di una sola variabile, esse sono del tipo presentato nell'esercizio, i.e.:
\[
\tag{1}
f(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{A_n}{|z-a_n|}
\]
(con \(z\in \mathbb{C}\), \((A_n),(a_n)\subset \mathbb{C}\) e \(\sum |A_n|<\infty\)), in cui le singolarità \((a_n)\) appartengono ad una curva convessa chiusa \(\Gamma \subset \mathbb{C}\).
Il punto fondamentale della tecnica, detto rozzamente, è che esiste un insieme più che numerabile di punti su \(\Gamma\) in cui la serie a secondo membro di (1) converge e ciò consente, in qualche modo, di "scavalcare" le singolarità.

Si pose quasi naturalmente il problema di determinare "come fosse fatto" l'insieme dei punti di convergenza della serie in (1) ed in quelle più generali. Tale problema fu affrontato da Borel in una serie di lezioni all'Ecole Normale nell'anno 1896/'97, lezioni che furono pubblicate nel 1898 nella monografia Leçons sur la Théorie des Fonctions (in particolare, l'esempio (1) è alle pagg. 63-69). Per descrivere le proprietà di un insieme di tal fatta, Borel descrive nei primi capitoli delle sue Leçons le relazioni che intercorrono tra insiemi numerabili, perfetti e trascurabili nello spirito della Teoria della Misura che si svilupperà compiutamente di lì a poco, a partire dai lavori di Lebesgue (la cui tesi di dottorato, Intégrale, longueur, aire del 1903, dedicata proprio a questo argomento, fu supervisionata dallo stesso Borel).

[dissonance]

C'era già il dottorato a fine Ottocento? Pensavo fosse una invenzione molto più recente.

[gugo82]

@ dissonance: Hai ragione, forse ho azzardato una traduzione inesatta di doctoral dissertation; probabilmente, e qui azzardo di nuovo, si tratta di una tesi di abilitazione allo svolgimento della ricerca o di abilitazione all'insegnamento universitario (come le habilitationsschrift tedesche)... Tuttavia, non sono a conoscenza di come funzionasse, ad inizio '900, il sistema di abilitazione all'insegnamento universitario, né trovo informazioni in merito sui libri che posseggo (o su internet).
Chiunque possa chiarire la faccenda si senta libero di intervenire.