[EX] Triangoli e probabilità
Per chi ha voglia di cimentarsi, propongo il seguente simpatico problemino.
Esercizio. Sia $\Delta$ un triangolo. Si scelgano quattro punti a caso (e indipendentemente) dentro $\Delta$. Calcolare la probabilità che nessuno di questi quattro punti stia nel triangolo formato dai punti rimanenti.
Esercizio. Sia $\Delta$ un triangolo. Si scelgano quattro punti a caso (e indipendentemente) dentro $\Delta$. Calcolare la probabilità che nessuno di questi quattro punti stia nel triangolo formato dai punti rimanenti.
Risposte
Il problema è invariante per trasformazioni affini, quindi si può considerare il triangolo che si preferisce.
Sicuramente considerare un triangolo comodo semplifica alcuni conti, poiché il supporto delle varabili uniformi diventa geometricamente più facile da descrivere. Tuttavia, sempre per il calcolo di quel complicato valore atteso bisogna passare... forse c'è un modo più furbo... ci penserò su!
Suggerisco questa soluzione, sperando che sia corretta.
Sia $q$ la probabilità che scelti casualmente e indipendentemente quattro punti $P_1,P_2,P_3,P_4$ dentro un triangolo $ABC$ almeno uno di essi cada dentro il triangolo dei rimaneti tre punti. Si suppone che le distribuzioni di probabilità siano uniformi dentro il triangolo. A questo punto la probabilità $p$ del problema proposto sarà $p=1-q$.
Possiamo scrivere $q_=4q'$ essendo $q'$ la probabilità che $P_4$ cada dentro $P_1P_2P_3$.
Possiamo scrivere $q'=q'_{AB}+q'_{AC}+q'_{BC}$ dove $q'_{AB}$ è la probabilità che $P_4$ cada dentro $P_1P_2P_3$ se la retta $P_1P_2$ interseca il lato $AB$; analogo significato hanno le rimaneti due probabilità.
Andiamo dunque a calcolare $q'_{CD}$.
Scelti i punti $P_1,P_2,P_3$, la probabilità che $P_4$ cada dentro $P_1P_2P_3$ èuguale a $\frac{S(P_1,P_2,P_3)}{\Delta}$
dove $\Delta$ è l'area di $ABC$ e $S(P_1,P_2,P_3)$ è l'area di $P_1P_2P_3$
Ponendo per brevità $dP_i$ il differenziale d'area spazzolato dal punto $P_i$ possiamo scrivere
\( q'_{CD}=\int\int\int\int S(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})\frac{dP_{1}}{\Delta}\frac{dP_{2}}{\Delta}\frac{dP3}{\Delta}=\frac{1}{\Delta^{4}}\int\int\left|P_{1}P_{2}\right|dP1dP2\int\int h(P_{1},P_{2},P_{3})dP3\)
dove $|P_1P_2|$ è la distanza tra i punti $P_1,P_2$ e $h(P_3,P_1,P_2)$ è la distanza di $P_3$ dalla retta $P_1P_2$
Riconosciamo subito che \( M=\int\int h(P_{1},P_{2},P_{3})dP3\) è il momento del triangolo rispetto alla retta \( P_1P_2\) che si calcola in modo elementare.
Scegliendo un sistema di riferimento con origine in $C$, asse delle ascisse $CB$ e il punto $A$ nel primo quadrante, ricaviamo subilto le coordinate dei punti:
$C=(0,0), B=(a,0), A=(b cos \gamma, b sin \gamma), M=(\lambda,0),N=(\mu cos \gamma, \mu sin \gamma)$
In figura abbiamo:
\(\overline{AC}=b,\overline{AB}=c,\overline{BC}=a,A\hat{C}B=\gamma,\overline{CN}=\mu,\overline{CM}=\lambda,\overline{MN}=d\)
L'equazione della retta $P_1P_2$ risulta essere \( (\mu sin \gamma )x+(\lambda-\mu cos \gamma)y-\lambda \mu sin \gamma=0\)
Calcoliamo il momento $M_1$ del triangolo $ACB$:
Area: $S_1= \frac{1}{2}mulambda \sin \gamma$
Baricentro : \(\displaystyle G_1=\left( \frac{\lambda+\mu cos\gamma}{3},\frac{\mu sin \gamma}{3}\right)\)
La distanza tra il baricentro $G1$ e la retta $MN$ risulta dopo semplici calcoli che ometto: \( d1=\frac{\lambda \mu \sin \gamma}{3d}\) e quindi otteniamo il momento \( \displaystyle M_1=\frac{\lambda^2\mu^2}{6d}\sin^2 \gamma\)
Passiamo al triangolo $AMN$:
Area :\( \displaystyle S_2=\frac{1}{2}(b-\mu)sin \gamma\)
Baricentro : \( \displaystyle G_2=\left (\frac{b cos \gamma+\lambda+\mu cos \gamma}{3},\frac{b+\mu}{3}sin \gamma\right)\)
distanza \( \displaystyle d_2 =\frac{\lambda (b-\mu)sin \gamma}{3d}\)
Momento :\( \displaystyle M_2 = \frac{\lambda^2 (b-\mu)^2 sin^2 \gamma}{6d}\)
Passiamo al triangolo $ABM$
Area: \( \displaystyle S_3 = Area(ABC)-Area(ACM)=\frac{b(a-\lambda)sin \gamma}{2}\)
Baricentro : \( \displaystyle G_3=\left( \frac{\lambda+a+b cos \gamma}{3},\frac{b sin \gamma}{}\right)\)
Distanza ; \( \displaystyle d_3=\frac{(a\mu+\lambda b-2\lambda \mu)sin \gamma}{3d}\)
Momento: \( \displaystyle M_3 =\frac{sin^2 \gamma }{6d} b(a-\lambda)(a\mu+b\lambda-2\lambda\mu)\)
Il momento totale è:
\( \displaystyle M(\lambda,\mu)=M_1+M_2+M_3=\frac{(2\lambda^2\mu^2+a^2b\mu+ab^2\lambda-3ab\lambda\mu)sin^2 \gamma}{6d}\)
Quindi:
\( q'_{CD}=\frac{1}{\Delta^{4}}\int\int\left|P_{1}P_{2}\right|M(\lambda,\mu)dP_{1}dP_{2}\)
Poniamo \( P_i=(x_i,y_i), \overline{MP_i}=s_i\)
Dalla figura si ricava facilmente che:
\( \displaystyle x_i=\lambda+s_i(\mu cos \gamma-\lambda),y_i=s_i\mu sin \gamma\) con \( 0\leq s_i\leq 1\), \( 0\leq \lambda \leq a\), \( 0\leq \mu\leq b\)
e quindi:
\(\displaystyle
\frac{\partial\left(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\right)}{\partial\left(\lambda,\mu,s_{1},s_{2}\right)}=\left|\begin{array}{cccc}
1-s_{1} & s_{1}\cos\gamma & \mu\cos\gamma-\lambda & 0\\
1-s_{2} & s_{2}\cos\gamma & 0 & \mu\cos\gamma-\lambda\\
0 & s_{1}\sin\gamma & \mu\sin\gamma & 0\\
0 & s_{2}\sin\gamma & 0 & \mu\sin\gamma
\end{array}\right|=\left(s_{2}-s_{1}\right)\lambda\mu\sin^{2}\gamma
\)
Quindi:
\( \displaystyle dP_1dP_2=dx_1dy_1dx_2 dy_2=|s_1-s_2|d\lambda d\mu d s_1 ds_2\)
Inoltre come facilmente si evince, abbiamo : \( \displaystyle |p_1P_2|=|s_1-s_1|d\).
Adesso otteniamo facilmente:
\(\displaystyle
q'_{CD}=\frac{1}{\Delta^{4}}\int\int\int\int\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}\frac{\sin^{4}\gamma}{6}\left(2\lambda^{2}\mu^{2}+a^{2}b\mu+ab^{2}\lambda-2ab\lambda\mu\right)\lambda\mu d\lambda d\mu ds_{1}ds_{2}=\)
\(\displaystyle \frac{\sin^{4}\gamma}{6\Delta^{4}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}ds_{1}ds_{2}\int_{\lambda=0}^{a}\int_{\mu=0}^{b}\left(2\lambda^{2}\mu^{2}+a^{2}b\mu+ab^{2}\lambda-2ab\lambda\mu\right)\lambda\mu d\lambda d\mu
\)
Con calcoli elementari ricaviamo:
\(\displaystyle
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}ds_{1}ds_{2}=\frac{1}{6}
\)
\(\displaystyle
\int_{\lambda=0}^{a}\int_{\mu=0}^{b}\left(2\lambda^{2}\mu^{2}+a^{2}b\mu+ab^{2}\lambda-2ab\lambda\mu\right)\lambda\mu d\lambda d\mu=\frac{a^4b^4}{16}
\)
e
\( \displaystyle q'_{CD}=\frac{\sin^{4}\gamma}{6\Delta^{4}}\frac{a^{4}b^{4}}{16}\frac{1}{6}=\frac{1}{36\Delta^{4}}\left(\frac{ab\sin\gamma}{2}\right)^{4}=\frac{1}{36\Delta^{4}}\Delta^{4}=\frac{1}{36}\)
Quindi abbiamo anche \( \displaystyle q'_{AB}=q'_{AC}=\frac{1}{36}\)
e quindi \( \displaystyle q'=\frac{1}{12}\) e \(\displaystyle q=4q'=\frac{1}{3}\) e infine \(\displaystyle p=1-q=\frac{2}{3}\).
Spero di non avere commesso strafalcioni.
Forse si può ottenere il risultato in modo più semplice applicando la formula di Crofton.
Sia $q$ la probabilità che scelti casualmente e indipendentemente quattro punti $P_1,P_2,P_3,P_4$ dentro un triangolo $ABC$ almeno uno di essi cada dentro il triangolo dei rimaneti tre punti. Si suppone che le distribuzioni di probabilità siano uniformi dentro il triangolo. A questo punto la probabilità $p$ del problema proposto sarà $p=1-q$.
Possiamo scrivere $q_=4q'$ essendo $q'$ la probabilità che $P_4$ cada dentro $P_1P_2P_3$.
Possiamo scrivere $q'=q'_{AB}+q'_{AC}+q'_{BC}$ dove $q'_{AB}$ è la probabilità che $P_4$ cada dentro $P_1P_2P_3$ se la retta $P_1P_2$ interseca il lato $AB$; analogo significato hanno le rimaneti due probabilità.
Andiamo dunque a calcolare $q'_{CD}$.
Scelti i punti $P_1,P_2,P_3$, la probabilità che $P_4$ cada dentro $P_1P_2P_3$ èuguale a $\frac{S(P_1,P_2,P_3)}{\Delta}$
dove $\Delta$ è l'area di $ABC$ e $S(P_1,P_2,P_3)$ è l'area di $P_1P_2P_3$
Ponendo per brevità $dP_i$ il differenziale d'area spazzolato dal punto $P_i$ possiamo scrivere
\( q'_{CD}=\int\int\int\int S(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})\frac{dP_{1}}{\Delta}\frac{dP_{2}}{\Delta}\frac{dP3}{\Delta}=\frac{1}{\Delta^{4}}\int\int\left|P_{1}P_{2}\right|dP1dP2\int\int h(P_{1},P_{2},P_{3})dP3\)
dove $|P_1P_2|$ è la distanza tra i punti $P_1,P_2$ e $h(P_3,P_1,P_2)$ è la distanza di $P_3$ dalla retta $P_1P_2$
Riconosciamo subito che \( M=\int\int h(P_{1},P_{2},P_{3})dP3\) è il momento del triangolo rispetto alla retta \( P_1P_2\) che si calcola in modo elementare.
Scegliendo un sistema di riferimento con origine in $C$, asse delle ascisse $CB$ e il punto $A$ nel primo quadrante, ricaviamo subilto le coordinate dei punti:
$C=(0,0), B=(a,0), A=(b cos \gamma, b sin \gamma), M=(\lambda,0),N=(\mu cos \gamma, \mu sin \gamma)$
In figura abbiamo:
\(\overline{AC}=b,\overline{AB}=c,\overline{BC}=a,A\hat{C}B=\gamma,\overline{CN}=\mu,\overline{CM}=\lambda,\overline{MN}=d\)
L'equazione della retta $P_1P_2$ risulta essere \( (\mu sin \gamma )x+(\lambda-\mu cos \gamma)y-\lambda \mu sin \gamma=0\)
Calcoliamo il momento $M_1$ del triangolo $ACB$:
Area: $S_1= \frac{1}{2}mulambda \sin \gamma$
Baricentro : \(\displaystyle G_1=\left( \frac{\lambda+\mu cos\gamma}{3},\frac{\mu sin \gamma}{3}\right)\)
La distanza tra il baricentro $G1$ e la retta $MN$ risulta dopo semplici calcoli che ometto: \( d1=\frac{\lambda \mu \sin \gamma}{3d}\) e quindi otteniamo il momento \( \displaystyle M_1=\frac{\lambda^2\mu^2}{6d}\sin^2 \gamma\)
Passiamo al triangolo $AMN$:
Area :\( \displaystyle S_2=\frac{1}{2}(b-\mu)sin \gamma\)
Baricentro : \( \displaystyle G_2=\left (\frac{b cos \gamma+\lambda+\mu cos \gamma}{3},\frac{b+\mu}{3}sin \gamma\right)\)
distanza \( \displaystyle d_2 =\frac{\lambda (b-\mu)sin \gamma}{3d}\)
Momento :\( \displaystyle M_2 = \frac{\lambda^2 (b-\mu)^2 sin^2 \gamma}{6d}\)
Passiamo al triangolo $ABM$
Area: \( \displaystyle S_3 = Area(ABC)-Area(ACM)=\frac{b(a-\lambda)sin \gamma}{2}\)
Baricentro : \( \displaystyle G_3=\left( \frac{\lambda+a+b cos \gamma}{3},\frac{b sin \gamma}{}\right)\)
Distanza ; \( \displaystyle d_3=\frac{(a\mu+\lambda b-2\lambda \mu)sin \gamma}{3d}\)
Momento: \( \displaystyle M_3 =\frac{sin^2 \gamma }{6d} b(a-\lambda)(a\mu+b\lambda-2\lambda\mu)\)
Il momento totale è:
\( \displaystyle M(\lambda,\mu)=M_1+M_2+M_3=\frac{(2\lambda^2\mu^2+a^2b\mu+ab^2\lambda-3ab\lambda\mu)sin^2 \gamma}{6d}\)
Quindi:
\( q'_{CD}=\frac{1}{\Delta^{4}}\int\int\left|P_{1}P_{2}\right|M(\lambda,\mu)dP_{1}dP_{2}\)
Poniamo \( P_i=(x_i,y_i), \overline{MP_i}=s_i\)
Dalla figura si ricava facilmente che:
\( \displaystyle x_i=\lambda+s_i(\mu cos \gamma-\lambda),y_i=s_i\mu sin \gamma\) con \( 0\leq s_i\leq 1\), \( 0\leq \lambda \leq a\), \( 0\leq \mu\leq b\)
e quindi:
\(\displaystyle
\frac{\partial\left(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\right)}{\partial\left(\lambda,\mu,s_{1},s_{2}\right)}=\left|\begin{array}{cccc}
1-s_{1} & s_{1}\cos\gamma & \mu\cos\gamma-\lambda & 0\\
1-s_{2} & s_{2}\cos\gamma & 0 & \mu\cos\gamma-\lambda\\
0 & s_{1}\sin\gamma & \mu\sin\gamma & 0\\
0 & s_{2}\sin\gamma & 0 & \mu\sin\gamma
\end{array}\right|=\left(s_{2}-s_{1}\right)\lambda\mu\sin^{2}\gamma
\)
Quindi:
\( \displaystyle dP_1dP_2=dx_1dy_1dx_2 dy_2=|s_1-s_2|d\lambda d\mu d s_1 ds_2\)
Inoltre come facilmente si evince, abbiamo : \( \displaystyle |p_1P_2|=|s_1-s_1|d\).
Adesso otteniamo facilmente:
\(\displaystyle
q'_{CD}=\frac{1}{\Delta^{4}}\int\int\int\int\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}\frac{\sin^{4}\gamma}{6}\left(2\lambda^{2}\mu^{2}+a^{2}b\mu+ab^{2}\lambda-2ab\lambda\mu\right)\lambda\mu d\lambda d\mu ds_{1}ds_{2}=\)
\(\displaystyle \frac{\sin^{4}\gamma}{6\Delta^{4}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}ds_{1}ds_{2}\int_{\lambda=0}^{a}\int_{\mu=0}^{b}\left(2\lambda^{2}\mu^{2}+a^{2}b\mu+ab^{2}\lambda-2ab\lambda\mu\right)\lambda\mu d\lambda d\mu
\)
Con calcoli elementari ricaviamo:
\(\displaystyle
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}ds_{1}ds_{2}=\frac{1}{6}
\)
\(\displaystyle
\int_{\lambda=0}^{a}\int_{\mu=0}^{b}\left(2\lambda^{2}\mu^{2}+a^{2}b\mu+ab^{2}\lambda-2ab\lambda\mu\right)\lambda\mu d\lambda d\mu=\frac{a^4b^4}{16}
\)
e
\( \displaystyle q'_{CD}=\frac{\sin^{4}\gamma}{6\Delta^{4}}\frac{a^{4}b^{4}}{16}\frac{1}{6}=\frac{1}{36\Delta^{4}}\left(\frac{ab\sin\gamma}{2}\right)^{4}=\frac{1}{36\Delta^{4}}\Delta^{4}=\frac{1}{36}\)
Quindi abbiamo anche \( \displaystyle q'_{AB}=q'_{AC}=\frac{1}{36}\)
e quindi \( \displaystyle q'=\frac{1}{12}\) e \(\displaystyle q=4q'=\frac{1}{3}\) e infine \(\displaystyle p=1-q=\frac{2}{3}\).
Spero di non avere commesso strafalcioni.
Forse si può ottenere il risultato in modo più semplice applicando la formula di Crofton.
...Possiamo scrivere q=4q' essendo q' la probabilità che P4 cada dentro ...nella mia ignoranza chiedo perchè non $q= 1-(1-q')^4$?
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