[EX] Sui numeri complessi
Propongo il seguente esercizio dal Greene & Krantz, Function Theory of One Complex Variable*, che non sono ancora riuscito a capire come risolvere (perché ancora non sono riuscito a capire il contenuto geometrico della disuguaglianza).
***
Esercizio:
Dimostrare che esiste una costante universale \(c>0\), indipendente da \(N\), che gode della seguente proprietà:
È possibile determinare la migliore costante \(C\) che soddisfa la proprietà di cui sopra?**
Suggerimento (dato dal testo):
__________
* L'esercizio è il n° 57 del cap. 1. Più o meno lo stesso esercizio è proposto anche in Techniques of Problem Solving di Krantz, cap. 2.
** Col termine "migliore costante che soddisfa la proprietà di cui sopra" intendo il numero:
\[
C:= \sup \{ c>0:\ c \text{ gode della proprietà di cui sopra}\}.
\]
***
Esercizio:
Dimostrare che esiste una costante universale \(c>0\), indipendente da \(N\), che gode della seguente proprietà:
Per ogni insieme finito \(\{z_1,\ldots ,z_N\}\subset \mathbb{C}\) con \(\sum_{n=1}^N |z_n|\geq 1\), esiste un sottoinsieme \(\{ z_{n_1},\ldots ,z_{n_K}\}\subseteq\) \(\{z_1,\ldots ,z_N\}\) tale che:
\[
\left| \sum_{k=1}^K z_{n_k}\right|\geq c\; .
\]
È possibile determinare la migliore costante \(C\) che soddisfa la proprietà di cui sopra?**
Suggerimento (dato dal testo):
__________
* L'esercizio è il n° 57 del cap. 1. Più o meno lo stesso esercizio è proposto anche in Techniques of Problem Solving di Krantz, cap. 2.
** Col termine "migliore costante che soddisfa la proprietà di cui sopra" intendo il numero:
\[
C:= \sup \{ c>0:\ c \text{ gode della proprietà di cui sopra}\}.
\]
Risposte
Se non sei riuscito a risolvere il problema e ti interessa, ti suggerisco di dare un'occhiata al Rudin, R&CA, Lemma 6.3 (pag. 118 della mia edizione). 
@ Paolo90: Grazie per la segnalazione, Paolo... Tra l'altro, credo di non aver mai letto quel capitolo del "grande" Rudin.
Prego, gugo, figurati.
Aggiungo un po' di carne al fuoco, perché il problema ha una storia piuttosto affascinante. Come avrai visto, Rudin prova qualcosa di leggermente generale, e cioè dimostra che per ogni \( z_1, \ldots , z_N \in\mathbb C \) esiste un $S \subset \{1,2,\ldots, N\}$ t.c.
\[
\left\vert \sum_{j \in S} z_j \right\vert \ge \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^{N}\vert z_{j}\vert.
\]
Ebbene, Bourbaki (nel 1955) ha mostrato che la costante $c=\pi^{-1}$ è la migliore costante, ma che non può essere raggiunta. Sull'Amer. Math. Monthly 79 (1972), 905 e 80 (1973), 1139-1141, G. Bennett ne ha proposto un'altra versione.
Infine, e questo è interessante, un risultato del genere si può usare (oltre che per mostrare la finitezza di \( \vert \mu \vert \), dove $\mu$ è una misura complessa, che è quello che fa Rudin) per dimostrare il celebre lemma di Schur (che, tra le altre cose, ci dice che la convergenza debole in \(\ell^1\) equivale alla convergenza forte - in norma).
Aggiungo un po' di carne al fuoco, perché il problema ha una storia piuttosto affascinante. Come avrai visto, Rudin prova qualcosa di leggermente generale, e cioè dimostra che per ogni \( z_1, \ldots , z_N \in\mathbb C \) esiste un $S \subset \{1,2,\ldots, N\}$ t.c.
\[
\left\vert \sum_{j \in S} z_j \right\vert \ge \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^{N}\vert z_{j}\vert.
\]
Ebbene, Bourbaki (nel 1955) ha mostrato che la costante $c=\pi^{-1}$ è la migliore costante, ma che non può essere raggiunta. Sull'Amer. Math. Monthly 79 (1972), 905 e 80 (1973), 1139-1141, G. Bennett ne ha proposto un'altra versione.
Infine, e questo è interessante, un risultato del genere si può usare (oltre che per mostrare la finitezza di \( \vert \mu \vert \), dove $\mu$ è una misura complessa, che è quello che fa Rudin) per dimostrare il celebre lemma di Schur (che, tra le altre cose, ci dice che la convergenza debole in \(\ell^1\) equivale alla convergenza forte - in norma).
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