[EX] Studio di un operatore in $l^2$

[gugo82]

Come al solito, sia [tex]$\ell^2=\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] lo spazio delle successioni reali bilatere [tex]$x=(x_n)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex] tali che:

[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n^2 <+\infty$[/tex];

tale spazio è di Hilbert con prodotto scalare:

[tex]$\langle x,y\rangle =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_ny_n$[/tex]

e norma indotta:

[tex]$\lVert x \rVert_2 =\left\{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n^2 \right\}^{\frac{1}{2}}$[/tex].

***

Esercizio:

Fissato [tex]$\theta \in ]0,1[$[/tex], per ogni [tex]$x=(x_n) \in \ell^2$[/tex] poniamo:

[tex]$Tx:= \big( \theta x_{n-1} +(1-\theta) x_{n+1} \big)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex].

1. Mostrare che [tex]$T$[/tex] è un operatore lineare continuo di [tex]$\ell^2$[/tex] in sé per ogni [tex]$\theta$[/tex]; inoltre calcolarne la norma operatoriale.

2. Esistono valori di [tex]$\theta$[/tex] per cui [tex]$T$[/tex] è compatto?

3. Studiare lo spettro di [tex]$T$[/tex].

4. Esistono valori di [tex]$\theta$[/tex] per i quali [tex]$T$[/tex] è autoaggiunto?

[gugo82]

Suggerimenti: 1. Le dimostrazioni della linearità e della continuità sono banali; per il calcolo della norma, dal ragionamento precedente un'idea la si ha, quindi basta ragionare su qualche successione semplice ed, eventualmente, usare un procedimento di limite per dimostrare che la supposta è giusta (cit. Carlo Pedersoli).
2. Provare ad approssimare in norma [tex]$T$[/tex] con una successione di operatori a rango finito.
3. Questo è un punto abbastanza "infame" e non l'ho ancora risolto.
4. Fare due conti.

Potrebbe essere inoltre utile notare che [tex]$T$[/tex] è combinazione convessa degli operatori [tex]$S$[/tex] e [tex]$D$[/tex], rispettivamente, shift a sinistra e shift a destra.

[fu^2]

due considerazioni in libertà sul problema agli autovalori (per lo spettro discreto), che mi è venuto in mente in quanto questo problema si può leggere come una camminata aleatoria su [tex]\mathbb{Z}[/tex] (gli altri punti devo scriverli bene con calma - in particolare la compattezza - , cosa che non riesco a fare ora causa esami...)

Consideriamo per un attimo il problema

[tex]Tx=x[/tex] che equivale a risolvere [tex]x_k=\theta x_{k-1}+ (1-\theta)x_{k+1}[/tex]

Allora si vede che la soluzione si può scrivere come

[tex]x_k=\begin{cases}A+B\left(\frac{\theta}{1-\theta}\right)^k &, \theta\neq 1-\theta \\ A+B\theta & , \theta=\frac{1}{2}\end{cases}[/tex]

Con A e B due opportune costanti.

nel caso [tex]\theta=\frac{1}{2}[/tex] si vede che tale soluzione non può stare nello spazio e quindi il problema è risolto. Nell'altro caso possiamo porre A=0 e notare che (sostanzialmente ricordando la convergenza della serie geometrica)

[tex]x_k=\begin{cases}\begin{cases}B\left(\frac{\theta}{1-\theta}\right)^k &, k\geq 0 \\
0 &, k< 0
\end{cases} &, \theta\leq 1-\theta \\
\begin{cases}B\left(\frac{1-\theta}{\theta}\right)^k &, k\leq 0 \\
0 &, k> 0
\end{cases} &, \theta\geq 1-\theta
\end{cases}[/tex]

Dove $B$ è un'opportuna costante di normalizzazione.

Se invece consideriamo per $\lambda\ne 0$ il problema [tex]Tx=\lambda x[/tex]?
Sappiamo che l'operatore ha norma unitario (almeno si mostra abbastanza facilmente che [tex]\mid\mid T\mid\mid \leq 1[/tex] e io voto che vale l'uguaglianza (*))e quindi [tex]\sigma(T)\subset B(0,1)[/tex] .

In particolare questo problmea è equivalente a risolvere [tex]x_k= \frac{\theta}{\lambda}x_{k-1}+\frac{(1-\theta)}{\lambda}x_{k+1}[/tex], ma se come prima si cercano soluzioni del tipo [tex]x_k=B\left(\frac{\theta}{1-\theta}\right)^k[/tex] si conclude che deve essere $x_k=B/lambda$ per ogni $k$, ma questa soluzione non è accettabile.
Il tutto mi fa pensare che non ci possano essere soluzioni per tale equazione, ma non ho ancora una risposta certa.


Infine per il caso $\lambda=0$ otteniamo che l'equazione agli autovalori si può scrivere come [tex]x_{k+1}=-\frac{\theta}{1-\theta}x_{k-1}[/tex] che si risolve iterando il processo.
Dunque questa equazione ha soluzioni (date fissando opportunamente un termine iniziale $x_{k_0}$) sia nel caso in cui [tex]\theta >1-\theta[/tex] sia in quello opposto.


(*)si vede, se non ho sbagliato i conti, che $T$ è autoaggiunto per ogni scelta di $\theta$. Se è come penso io compatto (nei casi $\theta\ne 1/2$) allora la norma è proprio uno in quanto viene raggiunta da un autovalore.
Inversamente se la norma è uno per $theta=1/2$ l'operatore non può essere compatto, altrimenti l'autovalore 1 dovrebbe comparire nello spettro discreto, cosa che non accade.(*)

Questo per quanto riguarda lo spettro discreto. Per lo spettro continuo e residuo devo ancora pensarci... (nei casi in cui è compatto non ce nè bisogno, ma devo analizzare ancora questo dettaglio... )

spero di non aver scritto troppe cavolate e spero sia tutto chiaro

[gugo82]

Scusa, fu, ma la forma dei candidati autovettori l'hai trovata "a occhio" per [tex]$\lambda=1$[/tex]?
No, perchè io non c'ero riuscito a dir la verità.

Sul discorso relativo agli autovettori ho qualche dubbio, riassunto qui sotto.

Ad ogni modo, non sono d'accordo sul fatto che un vettore [tex]$x=(x_n)$[/tex] con:

[tex]$x_n=\begin{cases} B\left( \frac{\theta}{1-\theta}\right)^n &\text{, se $n\geq 0$} \\ 0 &\text{, se $n<0$}\end{cases}$[/tex]

per [tex]$\theta \leq \tfrac{1}{2}$[/tex] sia un autovettore relativo a [tex]$\lambda=1$[/tex]: difatti dovrebbe aversi:

[tex]$0=x_{-1}=(Tx)_{-1}=\theta x_{-2} +(1-\theta) x_0 =B(1-\theta)$[/tex],

che è possibile solo se [tex]$B=0$[/tex]; un'analoga obiezione vale per l'altro candidato autovettore per [tex]$\theta >\tfrac{1}{2}$[/tex].

Per aggiustare la faccenda, basta concludere così: "Gli unici candidati ad essere autovettori sono le successioni bilatere di termine generale [tex]$x_n:=B(\tfrac{\theta}{1-\theta})^n$[/tex] (con [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex]); però tali successioni stanno in [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] se e solo se [tex]$B=0$[/tex]; quindi [tex]$\lambda =1$[/tex] non è un autovalore".

Circa la norma operatoriale e l'autoaggiunzione di [tex]$T$[/tex], valgono le osservazioni seguenti:

Per quanto riguarda la norma, essa è effettivamente uguale ad [tex]$1$[/tex].
Infatti è evidente che:

[tex]$\lVert Tx\rVert_2 \leq \theta \lVert x\rVert_2 +(1-\theta) \lVert x\rVert_2 =\lVert x\rVert_2$[/tex],

sicché [tex]$\lVert T\rVert \leq 1$[/tex].

Ricordiamo che [tex]$\lVert T\rVert$[/tex] è la migliore costante in una disuguaglianza del tipo:

(*) [tex]$\forall x\in \ell^2 (\mathbb{Z}),\quad \lVert Tx\rVert_2\leq C\ \lVert x\lVert_2$[/tex];

pertanto, se vogliamo provare che [tex]$\lVert T \rVert =1$[/tex] dobbiamo provare che [tex]$C=1$[/tex] è la migliore costante in (*): per fare ciò basta far vedere che esiste una successione [tex]$(x^N)\subseteq \ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] tale che:

[tex]$\lim_N \frac{\lVert Tx^N\rVert_2}{\lVert x^N\rVert_2} =1$[/tex].

Per [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex], consideriamo il vettore:

[tex]$x^N:=\sum_{k=1}^{N+1} e^k$[/tex],

ove [tex]$e^k:=(\delta_n^k)$[/tex] (il [tex]$\delta_n^k$[/tex] è di Kronecker): ovviamente è:

[tex]$Tx^N=\sum_{k=1}^{N+1} Te^k$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^N \theta e^{k-1} +(1-\theta) e^{k+1}$[/tex]
[tex]$=\theta e^0 +\theta e^1 +\sum_{k=2}^N e^k +(1-\theta) e^{N+1} +(1-\theta)e^{N+2}$[/tex]

e perciò:

[tex]$\frac{\lVert Tx^N\rVert_2}{\lVert x^N\rVert_2} =\sqrt{\frac{2\theta^2 +N-2 +2(1-\theta)^2}{N}}= \sqrt{1+\frac{4\theta (\theta -1)}{N}}$[/tex];

passando al limite la precedente si vede che:

[tex]$\lim_N \frac{\lVert Tx^N\rVert_2}{\lVert x^N\rVert_2} =1$[/tex],

che è quello che volevamo.

Per quanto riguarda l'autoaggiunzione mi sono perso i conti, ma mi pare che [tex]$T$[/tex] l'avevo trovato autoaggiunto solo per [tex]$\theta =\tfrac{1}{2}$[/tex]...
Infatti se non ricordo male avevo:

[tex]$\langle Tx,y\rangle = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big[ \theta x_{n-1} +(1-\theta) x_{n+1}\Big] y_n $[/tex]
[tex]$= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \theta x_{n-1}y_n +\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (1-\theta) x_{n+1} y_n$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \theta x_n y_{n+1} +\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (1-\theta) x_n y_{n-1}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n \Big[ \theta y_{n+1} + (1-\theta) y_{n-1}\Big]$[/tex]

quindi:

[tex]$T^*y:=\big( (1-\theta) y_{n-1} + \theta y_{n+1}\big)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex];

dall'espressione esplicita per [tex]$T^*$[/tex] segue che [tex]$T=T^*$[/tex] se e solo se [tex]$\theta =1-\theta$[/tex], ossia se [tex]$\theta =\tfrac{1}{2}$[/tex]. Non trovi?

[fu^2]

Si effettivamente non avevo fatto quella tua considerazione su $x_{-1}$. Dunque sugli autovettori posso concludere che hai ragione te

Comunque diciamo che le ho trovate ad occhio... Cioè in verità questi sono sistemi che vengono spesso fuori quando cerchi misure invarianti per passeggiate aleatorie a tempo discreto (i.e. catene di Markov).

Per essere più esplicito su come le ho trovate ecco qua due conti:

Noi vogliamo risolvere [tex]x_k=px_{k-1}+(1-p)x_{k+1}[/tex] (*) e supponiamo $k>0$.

ora ricordiamci che [tex]x_k=px_k+(1-p)x_k[/tex] e sostituendo in (*) otteniamo [tex]p\left(x_{k-1}-x_{k}\right) + (1-p)\left(x_{k+1}-x_{k}\right)=0[/tex]

e posto [tex]a_k=x_{k+1}-x_{k}[/tex] otteniamo [tex]a_{k}=\frac{p}{1-p}a_{k-1}[/tex]. Dunque fissato [tex]a_0[/tex] abbiamo che [tex]a_{k}=\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k}a_0[/tex] e dal momento che

[tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k=a_0\displaystile\sum_{k=0}^n\left(\frac{p}{1-p}\right)^k=(1-p)a_0\left(1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^{n+1}\right)[/tex]

ma dalla definizione abbiamo che

[tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k=-x_0+x_{n+1}[/tex] otteniamo

[tex]x_{n+1}=(x_0+(1-p)a_0)+(1-p)a_0\left(\frac{p}{1-p}\right)^{n+1}[/tex] conclusione: se rileggiamo con un pò di elasticità questa soluzione ci accorgiamo che a prescindere dal segno di $k$ (se fosse stato negativo dovevamo semplicemente riscrivere tutto al contrario ovviamente), [tex]x_n=A+B\left(\frac{p}{1-p}\right)^{n}[/tex] sono soluzioni dell'equazione (*).

Infine sull'autoaggiuntezza avevo fatto i tuoi stessi conti, ma ho scritto al contrario
[/spoiler]

[gugo82]

Carino il collegamento con le catene di Markov!
Cose che avevo studiacchiato tanto tempo fa ed avevo quasi rimosso... Grazie per avermele fatte ripescare.

Per l'autoaggiunzione, che dire se non: !

Per la compattezza avevo ragionato così:

Se l'operatore [tex]$T$[/tex] fosse compatto, il suo spettro sarebbe puramente puntuale e conterrebbe unicamente lo [tex]$0$[/tex] (perchè abbiamo appena visto che non ci sono autovalori [tex]$\neq 0$[/tex]).
Ma [tex]$\lambda=0$[/tex] non è un autovalore per nessun valore di [tex]$\theta$[/tex]: infatti se, per assurdo, supponessimo esista un autovettore [tex]$x=(x_n)\neq \mathfrak{o}$[/tex] associato a [tex]$\lambda=0$[/tex], esso dovrebbe avere gli elementi di posto pari e quelli di posto dispari in progressione geometrica, il che importerebbe [tex]$x\notin \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex].
Pertanto [tex]$T$[/tex] non è compatto per alcun valore di [tex]$\theta$[/tex].

Che te ne pare?
Mi viene da chiedere, nel caso la deduzione sia corretta, se ci si poteva arrivare mediante "interpolazione" (perchè gli shift a destra ed a sinistra non sono compatti e [tex]$T$[/tex] è una combinazione convessa di tali shift)...

Infine rimane aperta la questione sugli altri tipi di valori spettrali... Insomma, abbiamo stabilito che [tex]$\sigma_{\text{P}}(T)=\varnothing$[/tex], ma lo spettro continuo [tex]$\sigma_{\text{C}}(T)$[/tex] e lo spettro residuo [tex]$\sigma_{\text{R}} (T)$[/tex]* che fine fanno?


__________
* A chi non ricordasse le definizioni di [tex]$\sigma_{\text{C}}(T)$[/tex] e [tex]$\sigma_{\text{R}} (T)$[/tex] segnalo questo mio vecchio post.

[fu^2]

scusa Gugo una mia ignoranza...

Ma negli operatori compatti lo zero non è mica l'unico valore che può NON appartenere allo spettro discreto (per esempio si veda l'operatore di volterra(*): è compatto e ha un unico autovalore, lo zero, ma esso appartiene allo spettro continuo)... cioè [tex]\sigma(T)=\{0\}\cup \sigma_p(T)[/tex]?


(*) [tex]V(f)(x)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx[/tex] dove [tex]f\in L^2([0,1])[/tex]


oss: se [tex]$\theta=\frac{1}{2}$[/tex] allora [tex]$T$[/tex] sicuramente non è compatto. Infatti in questo caso, essendo autoaggiunto, se fosse compatto esisterebbe un autovalore che eguaglierebbe la sua norma (1), ma abbiamo mostrato che così non può essere, contraddizione.

[gugo82]

E pure hai ragione fu^2.
In effetti è un po' che non bazzico la teoria spettrale, quindi non mi ricordo bene tutto.

Quindi c'è ancora da lavorare...

[gugo82]

Per la compattezza basta fare due conti.

Fissiamo la successione [tex]$(e^k) \subseteq \ell^2$[/tex] e consideriamo la successione delle immagini [tex]$(Te^k)\subseteq \ell^2$[/tex]: evidentemente si ha:

[tex]$\lVert Te^k-Te^h\rVert_2^2=\begin{cases} 0 &\text{, se $k=h$} \\ \theta^2+ (1-\theta)^2 +1 &\text{, se $k=h+2$ o $h=k+2$} \\ 2\theta^2+ 2(1-\theta)^2\end{cases}$[/tex]

quindi:

[tex]$\lVert Te^k -Te^h\rVert_2^2\geq \theta^2+ (1-\theta)^2 >0$[/tex];

conseguentemente da [tex]$(Te^k)$[/tex] non si estrae alcuna successione di Cauchy e, visto che [tex]$(e^k)$[/tex] è limitata, ciò significa che [tex]$T$[/tex] non è compatto.