[EX] Spazi di Banach

[Rigel1]

Sia \((\Omega, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio misurabile \(\sigma\)-finito, e sia \(M = M(\Omega)\) la famiglia delle (classi di equivalenza di) funzioni misurabili da \(\Omega\) in \(\mathbb{R}\).
Definiamo lo spazio
\[
L = L(\Omega) := L^1(\Omega) + L^{\infty}(\Omega).
\]
Si chiede di dimostrare che:
1. \(L\) è il sottoinsieme delle funzioni \(u\in M\) tali che la quantità
\[
\|u\|_L := \inf\{\|f\|_1 + \|g\|_{\infty}:\ f,g\in M,\ f+g=u\}
\]
è finita. (Come di consueto \(\|\cdot\|_1\) e \(\|\cdot\|_{\infty}\) indicano la norma rispettivamente di \(L^1(\Omega)\) e \(L^{\infty}(\Omega)\).)

2. \(\|\cdot\|_L\) è una norma su \(L\) e \((L, \|\cdot\|_L)\) è uno spazio di Banach.

3. Vale l'uguaglianza
\[
\|u\|_L = \inf_{k>0} \left\{ k + \int_{\Omega} (|u| - k)^+ d\mu\right\},
\]
dove \(f^+ := \max\{f, 0\}\) indica la parte positiva della funzione \(f\).

4. Se \((u_n)\subset L\) e \(u\in L\), allora
\[
\|u_n-u\|_L \to 0 \qquad \Longleftrightarrow\qquad
\int_{\Omega}(|u_n-u|-k)^+ d\mu \to 0 \quad \forall k>0.
\]

[Sk_Anonymous]

Ho visto che questo problema è rimasto insoluto, quindi ho provato a risolverlo. 1 e 2 mi son sembrati standard (anche se comunque ci son dimostrazioni della completezza di certi spazi funzionali, tipo lo spazio di Sobolev omogeneo \(\omega^{l,p}(\Omega)\), che sono tutt'altro che standard...) quindi son passato a 4 che, sarò stupido, mi ha dato un po' di grattacapi. Farò uso di 3, che non ho (ancora) risolto.

\( (\Longleftarrow )\) sembra abbastanza facile: \(\forall \, \bar{k} > 0 \) (fissato) si ha che \(\forall \, \epsilon (\bar{k})> 0\) esiste \(N(\epsilon,\bar{k}) \in \mathbb{N}\) tale che \(\forall \, n \ge N(\epsilon,\bar{k}) \) vale \[\int_\Omega (|u-u_n| - \bar{k})^{+} \, d \mu < \epsilon(\bar{k}).\]Pertanto \[\|u-u_n\|_L = \inf_{k > 0} \left\{ k + \int_\Omega (|u-u_n| - k)^{+} \, d \mu \right\} \le \bar{k} + \int_\Omega (|u-u_n| - \bar{k})^{+} \, d \mu \le \bar{k} + \epsilon(\bar{k})\]e si conclude per l'arbitrarietà di \(k\) e \(\epsilon(k)\).

\((\Longrightarrow)\) invece è più diabolico: il punto è che per ogni \(\bar{n}\) fissato è \[\|u-u_\bar{n}\|_L = \inf_{k > 0} \left\{ k + \int_\Omega (|u-u_\bar{n}| - k)^{+} \, d \mu \right\} \]e non è detto che esista un \(k(\bar{n})\) per cui la norma sia realizzata; per le proprietà degli estremi inferiori possiamo però "andarci vicini a piacimento" (fosse così anche con le ragazze...). Nella fattispecie scelgo \(k(\bar{n})\) (positivo) tale che \[\left| \|u-u_\bar{n}\|_L - k(\bar{n}) - \int_\Omega (|u-u_\bar{n}| - k(\bar{n}))^{+} \, d \mu \right| \le 1/\bar{n} \qquad (*). \]Si ha pertanto una successione \(k(n)\) che converge a \(0\) (perché \( \|u - u_n\|_L \to 0\)); osservo inoltre che da \((*)\) segue che \[ \int_\Omega (|u-u_n| - k(n))^{+} \, d \mu \le \|u - u_n \|_L + k(n) + 1/n \to 0 \]per \(n \to \infty\). Sia ora \(k \in (0,k(1)]\); si avrà che \(k(j)\bar{j}\) \[(|u-u_j| - k)^+ \le (|u-u_j| - k(j))^+ \]quasi ovunque. Sfruttando la monotonia dell'integrale di Lebesgue si ottiene pertanto \[\int_\Omega (|u-u_j| - k)^+ \, d \mu \le \int_\Omega (|u-u_j| - k(j))^+ \, d \mu \le \|u - u_j\|_L + k(j) + 1/j\]che porge la tesi.

Edit. L'assunzione \(k \in (0,k(1)]\) può essere fatta cadere: l'argomento sembra valido per ogni \(k>0\).

Rigel, se passi di qui mi piacerebbe avere un feedback.

[gugo82]

Effettivamente i punti 1 e 2 sono semplici (il secondo è banalissimo).

Tuttavia ho anch'io qualche problema ad andare avanti col punto 3... Probabilmente si dovrà usare la $\sigma$-finitezza, ma non vedo il modo.

La soluzione di 4 mi sembra giusta (a meno di mie sviste).

[Sk_Anonymous]

Ciao gugo, grazie per l'intervento.

"gugo82":[...] Tuttavia ho anch'io qualche problema ad andare avanti col punto 3... Probabilmente si dovrà usare la $\sigma$-finitezza, ma non vedo il modo. [...]

Pur'io mi ero impuntato lì, ma poi non c'avevo più pensato. Ora devo fare esami, magari ci ritorno tra qualche tempo.

[Rigel1]

Chiedo scusa, causa vacanze era un po' che non passavo di qui
Confesso che devo riguardarmi l'esercizio (dopo quattro anni nemmeno mi ricordo perché l'ho postato, probabilmente aveva a che fare con qualcosa di cui mi stavo occupando al tempo).
I primi punti sono effettivamente semplici; per il terzo appena ho un po' di tempo per ripensarci metto qualche hint.