[EX] "Il" criterio di convergenza assoluta

[gugo82]

L'articolo determinativo nel titolo non è un caso.

Si sà che i più noti criteri di convergenza/divergenza per le serie positive (e.g., i criteri di d'Alembert, di Cauchy, di Raabe, di Bertrand e di Gauss) hanno tutti almeno un caso dubbio, cioè esiste un'eventualità che rende tali criteri totalmente inconclusivi.
Tuttavia c'è un criterio di convergenza che non ha alcun caso dubbio... E proprio a tale criterio è dedicato questo thread.

***

Esercizio:

1. Dimostrare il seguente criterio di convergenza/divergenza:

Sia \(\sum a_n\) una serie a termini positivi.

(Kc) Se esistono una successione di numeri positivi \((t_n)\) ed un numero \(\tau >0\) tali che:
\[
\tag{A} t_n\ \frac{a_n}{a_{n+1}} -t_{n+1} \geq \tau
\]
per ogni indice \(n\) sufficientemente grande, allora la serie \(\sum a_n\) converge.

(Kd) Se esiste una successione di numeri positivi \((t_n)\) tale che:
\[
\tag{B} t_n\ \frac{a_n}{a_{n+1}} -t_{n+1}\leq 0
\]
per ogni indice \(n\) sufficientemente grande e \(\sum 1/t_n\) diverge, allora la serie \(\sum a_n\) diverge positivamente.

2. Provare il seguente teorema di caratterizzazione delle serie positive convergenti:

Sia \(\sum a_n\) una serie positiva.
Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

(i) \(\sum a_n\) converge;

(ii) \(\sum a_n\) può essere maggiorata con una serie positiva convergente;

(iii) esistono una successione di numeri positivi \((t_n)\) ed un numero \(\tau >0\) che soddisfano la (A).

3. Infine, provare la seguente caratterizzazione delle serie positive divergenti:

Sia \(\sum a_n\) una serie positiva.
Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

(j) \(\sum a_n\) diverge;

(jj) \(\sum a_n\) può essere minorata con una serie positiva divergente;

(jjj) esiste una successione di numeri positivi \((t_n)\) che soddisfa la (B).

***

I teoremi ai punti 2 e 3 mostrano che le serie positive convergenti [risp. divergenti] sono tutte e sole quelle che soddisfano il criterio di convergenza (Kc) [risp. il criterio di divergenza (Kd)].
Pertanto il criterio dimostrato al punto 1, contrariamente agli altri criteri noti, non ha alcun caso dubbio.
Conseguentemente, il criterio (Kc) caratterizza le serie positive assolutamente convergenti e, perciò, non ha alcun caso dubbio.

[Rigel1]

Non mi torna (Kd). Poiché \(a_n > 0\), basta scegliere \(t_n = 1/a_n\) e (Kd) è soddisfatta.
Ad esempio, se \(a_n = \frac{1}{n^2}\), basta scegliere \(t_n = n^2\), o sbaglio?

[gugo82]

Certo Righello, hai ragione.
Ieri notte mi sono dimenticato una condizione (i.e., \(\sum_{n=0}^\infty 1/t_n =\infty\)); ora correggo.

[gugo82]

"gugo82":1. Dimostrare il seguente criterio di convergenza/divergenza:

Sia \(\sum a_n\) una serie a termini positivi.

(Kc) Se esistono una successione di numeri positivi \((t_n)\) ed un numero \(\tau >0\) tali che:
\[
\tag{A} t_n\ \frac{a_n}{a_{n+1}} -t_{n+1} \geq \tau
\]
per ogni indice \(n\) sufficientemente grande, allora la serie \(\sum a_n\) converge.

(Kd) Se esiste una successione di numeri positivi \((t_n)\) tale che:
\[
\tag{B} t_n\ \frac{a_n}{a_{n+1}} -t_{n+1}\leq 0
\]
per ogni indice \(n\) sufficientemente grande e \(\sum 1/t_n\) diverge, allora la serie \(\sum a_n\) diverge positivamente.

Supponiamo che sia vera la (Kc).
Allora per ogni \(n\) si ha:
\[
\tau\ a_{n+1}\leq t_n\ a_n -t_{n+1}\ a_{n+1}
\]
sicché, sommando per \(n=0,\ldots ,N\), si trova:
\[
\tau\ \sum_{n=0}^N a_{n+1}\leq \sum_{n=0}^N t_n\ a_n -t_{n+1}\ a_{n+1} = t_0\ a_0 - t_{N+1}\ a_{N+1} \leq t_0\ a_0
\]
e:
\[
\sum_{n=0}^{N+1} a_n \leq \left(1+\frac{t_0}{\tau}\right) a_0\; ;
\]
conseguentemente la serie \(\sum a_n\) converge (perché ha le somme parziali limitate superiormente).

Viceversa, supponiamo che valga (Kd).
Procedendo in modo del tutto analogo al precedente, si trova:
\[
t_n\ a_n \leq t_{n+1}\ a_{n+1}
\]
ossia:
\[
\frac{\frac{1}{t_{n+1}}}{\frac{1}{t_n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_n}\; ;
\]
da ciò segue che la serie \(\sum a_n\) diverge, perché ha i rapporti tra termini successivi maggiori dei rapporti tra termini successivi della serie divergente \(\sum 1/t_n\)*.


__________
* Ciò è un corollario del criterio di d'Alembert.
Più precisamente, se le due serie a termini positivi \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) sono tali che \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\leq \frac{a_{n+1}}{a_n}\) (definitivamente) allora se \(\sum b_n\) diverge [risp. \(\sum a_n\) converge] anche \(\sum a_n\) diverge [risp. \(\sum b_n\) converge]

[theras]

Ciao,Gugo
(che piacere vederti,di tanto in tanto)!
Il metodo per dimostrare la (Kc) è analogo a quello che avevo usato io quando,
dopo aver beccato questa tua interessantissima "chicca",ho voluto sfruttarla per darti un saluto un pò più "tecnico";
in effetti io avevo dimostrato,
traendo ispirazione dalle serie telescopiche e partendo dall'hp più "comoda" che la dis. ipotizzata fosse vera in tutto $NN$
(tanto poi c'è il vattelapesca delle serie che si comportano come quelle da esse estratte troncandone un numero finito di termini..),che
$S_n=sum_(i=1)^na_i=a_1+1/tau(taua_2+cdots+taua_n)<=a_1+1/tau[(t_1a_1-t_2a_2)+cdots+(t_(n-1)a_(n-1)-t_na_n)]=$
$=a_1+1/tau(t_1a_1-t_na_n)$ $AAn in NN$,
e poi avevo dedotto,sempre dalla (Kc),che $t_na_n-t_(n+1)a_(n+1)>=(taua_(n+1)>=)0$ $AAn in NNrArr{t_na_n}_(n in NN)$ è non crescente e dunque tendente al suo inf:
ma tale estremo inferiore non può essere $-oo$,dato che un minorante di quella succ. è certo $0$,
e dunque la successione ${S_n}_(n in NN)$
(notoriamente crescente,e dunque regolare,nell'Hp di positività di tutti gli $a_n$..)
è maggiorata da una successione convergente e pertanto converge.
Per la (Kd),invece,ho dedotto per induzione
(va beh l'avrei lasciata al lettore,lo confesso )
che in quella hp si avrà
$a_n>=a_1t_1/t_n$ $AAn in NNrArrS_n>=a_1+a_1t_1/t_2+cdotst_1/t_n=$
$=a_1t_1(1/t_1+1/t_2+cdots+1/t_n)=a_1t_1S'_n$ $AAn in NNrArrEElim_(n to oo)S_n=+oo$
(dato che la ${S'_n}_(n in NN)$ è la succ delle somme parziali della serie di termine generale$1/(t_n)$,
che diverge per hp);
naturalmente non m'hai poi dato il piacere di risponderti prima che lo facessi tu,ma d'altronde si sà:
è un rischio che si corre a svolgere,con troppa minuzia,
esercizi proposti da matematici del tuo(indipendentemente da tutto)benedetto Talento!
Saluti dal web.

[theras]

Avrei dovuto fare un edit al mio post precedente,
ma ho preferito sottoporre alla dovuta attenzione i secondi punti delle proposizioni in questione
(più tecnicamente semplici dei precedenti,ma altrettanto decisivi nel tuo discorso d'insieme..);
parto ora col dimostrare che:
1)(i)$rArr$(ii).
Basta porre $b_n=a_n+1/(n^2)$ $AAn in NN$,ed il gioco è fatto..
2)(ii)$rArr$(iii).
Nell'ipotesi fatta la serie di termine generale $a_n$,
per un noto(ed a mio modo di vedere importantissimo..)teorema del confronto sulle serie numeriche,
è convergente;
dettane allora,rispettivamente,S($ne0$..)la somma ed ${S_n}_(n in NN)$ la succ. delle somme parziali ad essa associata,
fissiamo a piacere $tauin(0,1/(S^2)]$,
per poi porre $t_n=1/(S_na_n)$ $AAn in NN$ e notare che:
$t_n(a_n)/(a_(n+1))-t_(n+1)=1/(S_na_(n+1))-1/(S_(n+1)a_(n+1))=(S_(n+1)-S_n)/(S_nS_(n+1)a_(n+1))=(a_(n+1))/(S_nS_(n+1)a_(n+1))=1/(S_nS_(n+1))$ $AAn in NNrArr$
$rArrEElim_(n to oo)(t_n(a_n)/(a_(n+1))-t_(n+1))=1/(S^2)>=taurArr$(iii)
(per il teorema della permanenza del segno generalizzato..)!
3)(iii)$rArr$(i).
Già verificato,e dunque non mi ripeto:
non certo per spirito di sintesi,ma solo perchè corro il rischio di veder spuntare qualcuno che m'ha
bruciato sul tempo .
Per l'altra c.n.s. la tecnica dimostrativa è analoga:
nell'unica un pò più complicata basterà porre $t_n=(S_n)/(a_n)$ $AAn in NN$.
Ora,G.,il mio "arrivederci" è completo(sperando di non aver fatto e/orrori ):
vorrei aggiungere altro ma,in fondo,l'ho già fatto
(e m'è costato anche un rimprovero,per la mia dabbenaggine nel non aver subito trovato il tuo sticky ben nascosto e la mia incapacità di gestire il dispiacere di non averti salutato a dovere),
e per una volta non mi dilungherò .
Saluti dal web,Marco.
Edit:
non è che forse,se questa tecnica è corretta,la caratterizzazione che ti premeva non ha bisogno del passaggio intermedio della (ii)?

[gugo82]

Recupero fuori tempo massimo (scusandomi con theras e con chi seguiva il thread).

@ theras: Mi pare tutto giusto.

***

Un po' di storia del problema, adesso.

Il criterio di convergenza testé enunciato è detto criterio di Kummer, dal matematico tedesco Ernst E. Kummer (1810 – 1893) che lo dimostrò per primo [1], sotto ipotesi un po' più restrittive di quelle enunciate (le quali furono individuate come superflue da Ulisse Dini [2]).
Visto che la dimostrazione di Kummer era sufficientemente complicata, tale criterio rimase semisconosciuto per parecchio tempo; esso venne "riscoperto" in tempi posteriori da diversi autori, tanto che nel 1888 ci fu una vera e propria disputa sulla paternità del teorema.
La prima dimostrazione semplice del criterio è probabilmente quella dovuta ad Otto Stolz, reperibile nelle sue Lezioni di Aritmetica Generale [3].
Il fatto che il criterio di Kummer sia equivalente alla convergenza od alla divergenza (e, perciò, esso non ammette casi dubbi) è stato notato solo recentemente da Tong [4]. Per questo motivo esso è il criterio di convergenza per serie numeriche più generale possibile, al pari del criterio di convergenza di Cauchy.

Ques'utlimo fatto giustifica l'articolo determinativo nel titolo del thread.


Bibliografia

[1] Kummer, E. E., Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, J. reine angew. Math. 13 (1835), 171-184.

[2] Dini, U., Sulle serie a termini positivi, Ann. Univ. Toscana 9 (1867), 41-76.

[3] Stolz, O., Vorlesungen über allgemeine Arithmetik vol. 1 (1885), B.G. Teubner, Leipzig.

[4] Tong, J., Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence and Divergence of All Positive Series, The Amer. Math. Monthly 101, No. 5 (1994), 450-452.

[theras]

@Gugo.
[ot]Ricordo bene le ore spese a verificare quella Proposizione dell'Analisi,col ritorno dal mio Amore nel cuore e la solita sospensione da fine supplenza per il ritorno in una CT ogni volta più irriconoscibile;
e le pioggie di Giugno che bagnavano quelle Alpi sotto cui ero,e cosa facevo:
son contento che almeno quella verifica,corretta(qualcosa mi dice che se lo dici tu posso fidarmi ),
sia rimasta di quel mio periodo,
e ripensando ad allora ti ribadisco che è un grande piacere ed ausilio,
in questo scorcio in cui non ho più le energie e la lucidità dei vent'anni,poterti rileggere..[/ot]
Grazie per l'attenzione:
saluti dal web.