[EX] Principio di Massimo per funzioni convesse

[gugo82]

Esercizio:

Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo (non ridotto ad un punto[nota]Solo per evitare banalità.[/nota]) ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione convessa in \(I\).

1. (Principio del Massimo Forte) Se \(f\) prende il suo massimo (assoluto) in un punto interno ad \(I\), allora \(f\) è costante in \(I\).

2. (Principio del Massimo) Se \(f\) prende il suo massimo (assoluto) in \(I\), allora o \(f\) è costante in \(I\) oppure[nota]Qui \(\partial I\) denota l'insieme dei punti di frontiera di \(I\), cioè gli estremi dell'intervallo.[/nota]:
\[
\max_I f = \max_{\partial I} f\; .
\]
3. Cosa succede in 1 se al massimo assoluto si sostituisce un massimo relativo?
In altri termini: è vero o no che se \(f\) prende un massimo relativo internamente ad \(I\), allora \(f\) è costante in \(I\)?

[Epimenide93]

1. Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione \(\displaystyle f : I \to \mathbb{R} \) sia convessa è che il rapporto incrementale preso rispetto ad un qualsiasi punto \(x_0 \in I\) [nota]i.e. la funzione \(\displaystyle I \setminus \{x_0\} \to \mathbb{R}, x \mapsto (f(x) - f(x_0)) / (x - x_0) \)[/nota] sia non decrescente. (Risultato noto, semplice e tedioso.)

Se fosse \(x \in \text{int}I\) punto di massimo assoluto di \(f\) si avrebbe, presi \(y_0, y_1 \in I\) con \(y_0 < x < y_1\) \[\frac{f(x) - f(y_0)}{x - y_0} \ge 0 , \quad \frac{f(x) - f(y_1)}{x - y_1} \le 0\]il che implica che \(f(x) = f(y_0) = f(y_1)\).

2. Come conseguenza immediata (le derivate destre e sinistre esistono finite nei punti interni di \(I\)) della caratterizzazione data al punto 1, una funzione convessa è continua in ogni punto interno di \(I\). Ergo, può essere estesa per continuità ad una funzione \(\text{cl}I \to \bar{\mathbb{R}}\) con \(\text{cl}I\) chiusura topologica di \(I\) e \(\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{- \infty, + \infty\}\) retta reale ampliata. Con un abuso di notazione innocuo indico tale funzione ancora con \(f\).

Sia \(f\) non costante, e supponiamo che esista \(\max_I f\). Per quanto visto \(\max_I f\) non può essere interno ad \(I\); \(\text{cl}I\) è compatto, ergo \(f( \text{cl} I)\) ammette massimo in \(\bar{\mathbb{R}}\). Se tale massimo fosse infinito si avrebbe un assurdo, quindi \(f(\text{cl}I)\) ammette massimo \(M \in \mathbb{R}\). Per la monotonia del rapporto incrementale si ha \(f^{-1}(M) \subseteq \partial ( \text{cl} I ) = \partial I\), e si conclude.

3. Quanto detto al punto 1 si può applicare anche localmente restringendo la funzione ad un intorno rispetto al quale il punto è di massimo assoluto.

[gugo82]

1. Ok.

2. La fai troppo complicata, IMHO... E poi la compattificazione in di \(I\) in \(\hat{\mathbb{R}}\) crea qualche problema (ad esempio: e se il prolungamento di $f$ a \(\operatorname{cl} I\) prendesse massimo in \(+\infty\)?) da aggirare.
Inoltre, una funzione continua nell'interno di $I$ difficilmente può essere estesa su \(\bar{I}\) con continuità... Chiaramente qui si può fare, ma la questione è: perché?

3. Vabbé... Quindi? Il teorema rimane vero o diventa falso? E qual è nel caso la versione locale?

[Frink1]

1. Sia $y \leq x leq t$ con $x$ punto di massimo assoluto nell'interno di $I$. Poiché $f$ convessa si avrà
\[
\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \leq \frac{f(t)-f(x)}{t-x}
\]
Siccome $f(t) \leq f(x)$ per definizione di massimo assoluto,
\[
\frac{f(t)-f(x)}{t-x} \leq \frac{f(x)-f(x)}{t-x} = 0
\]
Allora, vale anche
\[
\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \leq 0
\]
Ma siccome $f(x) \geq f(y)$, abbiamo $f(x)-f(y) \geq 0$ e, data la scelta di $x \geq y \Rightarrow x-y \geq 0$.
Allora vale il seguente
\[
0 \leq \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \leq 0
\]
e per il Teorema dei due carabinieri, $f(y)=f(x)$. Applicando il risultato appena ottenuto alla disuguaglianza iniziale, e facendo le stesse considerazioni, si giunge a $f(t)=f(x)$. Data la generalità dei punti $y,t$ scelti, la funzione deve essere costante su tutto $I$.

Credevo di aver capito il secondo, ma quello che scrivi di risposta a Epimenide (di cui non ho visto la soluzione) mi mette paura... Il caso in cui il massimo è interno l'abbiamo già fatto, rimane solo la frontiera... O no?

[gugo82]

L'intenzione è quella di suggerire che non c'è necessariamente bisogno di estendere \(f\) su \(\partial I\) per dimostrare il punto 2.
Basta distinguere due casi.

[vict85]

Immagino che gugo82 si riferisse a questa osservazione super-elementare:

Supponiamo che \(\displaystyle m \) sia il massimo assoluto di \(\displaystyle f \) e che non sia un estremo. Allora presi a caso \(\displaystyle a
Se raggiunge il massimo sui bordi non c'è nulla da dimostrare.

[Epimenide93]

"gugo82":La compattificazione in di \(I\) in \(\hat{\mathbb{R}}\) crea qualche problema (ad esempio: e se il prolungamento di $f$ a \(\operatorname{cl} I\) prendesse massimo in \(+\infty\)?) da aggirare.

È un'osservazione che ho messo per completezza, ma è piuttosto ovvio che se il massimo esiste in \(I\) nella compattificazione non sarà infinito.

"gugo82":Inoltre, una funzione continua nell'interno di $I$ difficilmente può essere estesa su \(\bar{I}\) con continuità... Chiaramente qui si può fare, ma la questione è: perché?

Su questo ti do ragione, è un'operazione "delicata", ma viste le regolarità varie delle funzioni convesse non sono stato neanche a pensarci. Direi che la continuità della funzione e l'esistenza finita delle derivate unidirezionali siano ipotesi più che sufficienti.

"gugo82":3. Vabbé... Quindi? Il teorema rimane vero o diventa falso? E qual è nel caso la versione locale?

Fatte le dovute considerazioni era un facile esercizio per il lettore
Il teorema rimane vero nella forma da te posta sotto forma di domanda, se \(f\) prende un massimo relativo internamente ad \(I\) allora (questo è anche massimo e minimo assoluto, ovvero) \(f\) è costante in \(I\).

[Frink1]

"Epimenide93":
Il teorema rimane vero nella forma da te posta sotto forma di domanda, se \(f\) prende un massimo relativo internamente ad \(I\) allora (questo è anche massimo e minimo assoluto, ovvero) \(f\) è costante in \(I\).

Non sono d'accordo ed esibisco un controesempio.

Sia $f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$ definita da
\[
f(x)=\begin{cases} 0 \ \text{ if } \ x \in [-1,0] \\ x^2 \ \text{ if } \ x \in (0,1] \end{cases}
\]

Il punto $x_0=-\frac{1}{2}$ è punto di massimo relativo, infatti esiste una Ball di raggio $\epsilon$ entro la quale $f(x_0) \geq f(y)$ $\forall y \in B_{\epsilon}(x_0)$. Ma $f$ è convessa e non costante in $I=[-1,1]$, quindi non vale la 1.

[Epimenide93]

Vero, anche se è localmente costante può sempre crescere fuori dall'intorno, non ci avevo pensato.

[gugo82]

Per quel che riguarda il quesito 3, come già osservato da Frink, il teorema rimane valido solo localmente: in altre parole, se $f$ prende massimo in $x_0$ interno, allora $f$ è costante intorno ad $I$.

Per il 2, si può fare facile mi sembra...

Se $I$ è aperto, il massimo è preso necessariamente in un punto interno e dunque $f$ è costante in $I$ per il Principio del Massimo Forte. Lo stesso se $I$ è tutto \(\mathbb{R}\).
Se $I$ non è aperto e non coincide con tutto \(\mathbb{R}\), almeno uno dei suoi estremi è finito. Se il massimo è preso negli estremi siamo a posto; altrimenti, $f$ è costante per il Principio del Massimo Forte.

[vict85]

A me sembra che siano stati usati metodi anche fin troppo complicati per tutti e tre.

Proposizione: Sia \(\displaystyle I \) un intervallo e siano \(\displaystyle x< y< z\in I \) allora \(\displaystyle f(y)\le m = \max\{ f(x), f(z) \} \). Inoltre \(\displaystyle f(y) = m \) se e solo se \(\displaystyle f(x) = f(y) = f(z) \).

Dimostrazione: Siccome \(\displaystyle f \) è convessa \(\displaystyle f(y) \le tf(x) + (1-t)f(z) \) dove \(\displaystyle t = \frac{y-x}{z-x} \) (definizione di funzione convessa). Pertanto \(\displaystyle f(y) \le tf(x) + (1-t)f(z) \le tm + (1-t)m = m \).
Per la seconda parte, se \(\displaystyle f(x) = f(y) = m \) allora \(\displaystyle m \le tm + (1-t)f(z) \) ovvero \(\displaystyle f(z) \ge m = \max(f(x),f(z)) \). Similmente se \(\displaystyle f(z) = f(y) = m \) allora \(\displaystyle m \le tf(x) + (1-t)m \) ovvero \(\displaystyle f(x) \ge m = \max(f(x),f(z)) \).

I tre risultati sono corollari di quello sopra. Infatti 1 è immediato dal fatto che ogni punto possiede un punto da entrambi i lati. Il 2 è legato al fatto che il massimo agli estremi è maggiore di ogni altro elemento all'interno e se un elemento li raggiunge allora è un massimo assoluto nell'interno dell'intervallo e quindi deriva da 1. Il terzo si può vedere facendo notare che \(\displaystyle f(y) \) può coincidere con \(\displaystyle f(x) \) senza imporre l'uguaglianza anche su \(\displaystyle f(z) \). Bisogna osservare però che se il massimo relativo non è anche minimo assoluto allora la funzione è comunque costante.