[EX] Perimetro ed area di certi domini normali
Esercizio:
Sia \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) un dominio normale delimitato in basso da un arco di circonferenza \(\Gamma_r\) concavo di raggio \(r\) ed in alto dal grafico \(G\) di una funzione \(W^{1,1}\) avente gli stessi estremi di \(\Gamma_r\) (vedi figura: in rosso l'arco \(\Gamma_r\), in azzurro il grafico della funzione di Sobolev).
[asvg]xmin=0; xmax=4; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("0.5+sqrt(4-(x-1)^2)",0.5, 3);
stroke="dodgerblue"; line([0.5,2.436],[2,4]); plot("0.5+3.5sqrt(3-x)",2,3);[/asvg]
Dimostrare che:
\[
\tag{1} \operatorname{Per}(\Omega) \geq 2\mathcal{L}(\Gamma_r)+ \frac{1}{r}\ |\Omega|\; ,
\]
ove:
Sia \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) un dominio normale delimitato in basso da un arco di circonferenza \(\Gamma_r\) concavo di raggio \(r\) ed in alto dal grafico \(G\) di una funzione \(W^{1,1}\) avente gli stessi estremi di \(\Gamma_r\) (vedi figura: in rosso l'arco \(\Gamma_r\), in azzurro il grafico della funzione di Sobolev).
[asvg]xmin=0; xmax=4; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("0.5+sqrt(4-(x-1)^2)",0.5, 3);
stroke="dodgerblue"; line([0.5,2.436],[2,4]); plot("0.5+3.5sqrt(3-x)",2,3);[/asvg]
Dimostrare che:
\[
\tag{1} \operatorname{Per}(\Omega) \geq 2\mathcal{L}(\Gamma_r)+ \frac{1}{r}\ |\Omega|\; ,
\]
ove:
[*:e2hz8gp6] \(\operatorname{Per}(\Omega)\) è il perimetro di \(\Omega\),
[/*:m:e2hz8gp6]
[*:e2hz8gp6] \(\mathcal{L}(\Gamma_r)\) è la lunghezza dell'arco \(\Gamma_r \)
[/*:m:e2hz8gp6]
[*:e2hz8gp6] e \(|\Omega|\) è l'area di \(\Omega\).[/*:m:e2hz8gp6][/list:u:e2hz8gp6]
Chi non sa cos'è una funzione \(W^{1,1}\) (e.g. gli studenti di Analisi II), può liberamente sostituire il bordo superiore col grafico di una funzione \(C^1\).
Risposte
Vorrei provare a rispondere... ovviamente quel che mi ha spinto a cercare una soluzione e' la citazione delle funzioni di Sobolev che mi affascinano 
... Quindi chiederei a gugo82 se puo' indicarmi dove e come si utilizzano le proprieta' di queste funzioni nella soluzione, se corretta...
Allora, innanzitutto seguo l'hint. Chiamo G(x) la funzione di Sobolev (definita a meno di insiemi di misura nulla e c(x) la funzione parametrizzante l'arco di circonferenza. Suppongo r=1 (i calcoli per r generico sono identici e lasciati al lettore
).
WLOG il centro della circonferenza stia nell'origine e quindi $c(x)=\sqrt{1-x^2}$ ma la forma esatta di $c$ la uso solo alla fine.
$\mathcal{L}(G)-\mathcal{L}(\Gamma_r)=\int_a^b \sqrt{1+G'^2}-\sqrt{1+c'^2} dx$ e' la mia formula di partenza, che spero sia corretta.
Proviamo ad usare il suggerimento. Chiamo $\rho(x)$ la mappa $x ->\rho(x)=\sqrt{1+x^2}$ . Abbiamo per
convessita' che:
$\sqrt{1+G'^2(x)}-\sqrt{1+c'^2(x)}>=\rho'(c'(x)) (G'(x)-c'(x))$
Usando questo risultato integrato tra $a$ e $b$ (la disuguaglianza sopra se parliamo di funzioni di Sobolev non puo' essere vera sempre... come si mette a posto?) ed eseguendo la derivata di $\rho$ ottengo:
$\mathcal{L}(G)-\mathcal{L}(\Gamma_r)\ge \int_a^b (G'(x)-c'(x)) \frac{c'(x)}{\sqrt{1+c'(x)^2}}$
Ora si integra per parti. I termini di bordo se ne vanno... (Sobolev come lo giustifica?)
$\mathcal{L}(G)-\mathcal{L}(\Gamma_r)\ge -\int_a^b (G(x)-c(x)) D_x (\frac{c'(x)}{\sqrt{1+c'(x)^2}})$
A questo punto usando la forma di $c$ specifica data sopra si ha che magicamente la funzione da derivare
diventa $-x$, da cui il risultato voluto.
Puo' andare?
... Quindi chiederei a gugo82 se puo' indicarmi dove e come si utilizzano le proprieta' di queste funzioni nella soluzione, se corretta...Allora, innanzitutto seguo l'hint. Chiamo G(x) la funzione di Sobolev (definita a meno di insiemi di misura nulla e c(x) la funzione parametrizzante l'arco di circonferenza. Suppongo r=1 (i calcoli per r generico sono identici e lasciati al lettore
). WLOG il centro della circonferenza stia nell'origine e quindi $c(x)=\sqrt{1-x^2}$ ma la forma esatta di $c$ la uso solo alla fine.
$\mathcal{L}(G)-\mathcal{L}(\Gamma_r)=\int_a^b \sqrt{1+G'^2}-\sqrt{1+c'^2} dx$ e' la mia formula di partenza, che spero sia corretta.
Proviamo ad usare il suggerimento. Chiamo $\rho(x)$ la mappa $x ->\rho(x)=\sqrt{1+x^2}$ . Abbiamo per
convessita' che:
$\sqrt{1+G'^2(x)}-\sqrt{1+c'^2(x)}>=\rho'(c'(x)) (G'(x)-c'(x))$
Usando questo risultato integrato tra $a$ e $b$ (la disuguaglianza sopra se parliamo di funzioni di Sobolev non puo' essere vera sempre... come si mette a posto?) ed eseguendo la derivata di $\rho$ ottengo:
$\mathcal{L}(G)-\mathcal{L}(\Gamma_r)\ge \int_a^b (G'(x)-c'(x)) \frac{c'(x)}{\sqrt{1+c'(x)^2}}$
Ora si integra per parti. I termini di bordo se ne vanno... (Sobolev come lo giustifica?)
$\mathcal{L}(G)-\mathcal{L}(\Gamma_r)\ge -\int_a^b (G(x)-c(x)) D_x (\frac{c'(x)}{\sqrt{1+c'(x)^2}})$
A questo punto usando la forma di $c$ specifica data sopra si ha che magicamente la funzione da derivare
diventa $-x$, da cui il risultato voluto.
Puo' andare?
Ammetto di essere stato un po' sloppy nel verificare se è valida la disuguaglianza di convessità così come l'ho scritta e l'ho controllata solo per c'>0 e G'>0.... (noi abbiamo però c'<0)
spero sia vera nel dominio che ci interessa anche se non ho il tempo di controllarla
spero sia vera nel dominio che ci interessa anche se non ho il tempo di controllarla
@Thomas: La soluzione è quella corretta, anche se io avevo fatto il conto nel caso più generale in cui \(c(x):=y_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}\), per la quale si vede che:
\[
\left( \frac{c^\prime (x)}{\sqrt{1+(c^\prime (x))^2}}\right)^\prime = -\frac{1}{r^2}\; .
\]
Per quanto riguarda le tue domande, dirò quanto segue.
Innanzitutto, la formula d'integrazione per parti vale anche per funzioni di \(W^{1,1}(I)\) (cfr. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs, Cor 8.10).
Inoltre, le funzioni di \(W^{1,1} (I)\) sono assolutamente continue in \(I\subseteq \mathbb{R}\) (cfr. Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, Cor. 7.14), quindi esse sono derivabili q.o. e sono "l'integrale della propria derivata" (cfr. Leoni, op. cit., Thm. 3.30); pertanto la disuguaglianza puntuale vale q.o. e perciò continua a valere quando si integra.
In ultimo, la funzione \(\rho\) è strettamente convessa in \(\mathbb{R}\); quindi la disuguaglianza di convessità \(\rho (t)-\rho (\tau)\geq \rho^\prime (\tau)\ (t-\tau)\) vale per ogni \(t,\tau \in \mathbb{R}\) ed è stretta, nel senso che vale l'uguaglianza se e solo se \(t=\tau\).
\[
\left( \frac{c^\prime (x)}{\sqrt{1+(c^\prime (x))^2}}\right)^\prime = -\frac{1}{r^2}\; .
\]
Per quanto riguarda le tue domande, dirò quanto segue.
Innanzitutto, la formula d'integrazione per parti vale anche per funzioni di \(W^{1,1}(I)\) (cfr. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs, Cor 8.10).
Inoltre, le funzioni di \(W^{1,1} (I)\) sono assolutamente continue in \(I\subseteq \mathbb{R}\) (cfr. Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, Cor. 7.14), quindi esse sono derivabili q.o. e sono "l'integrale della propria derivata" (cfr. Leoni, op. cit., Thm. 3.30); pertanto la disuguaglianza puntuale vale q.o. e perciò continua a valere quando si integra.
In ultimo, la funzione \(\rho\) è strettamente convessa in \(\mathbb{R}\); quindi la disuguaglianza di convessità \(\rho (t)-\rho (\tau)\geq \rho^\prime (\tau)\ (t-\tau)\) vale per ogni \(t,\tau \in \mathbb{R}\) ed è stretta, nel senso che vale l'uguaglianza se e solo se \(t=\tau\).
Grazie gugo82.
Per curiosità sono andato a vedere il libro che citi: 607 pagine... servirebbe una motivazione molto grande per leggerlo!
Ah, tra parentesi auguri!
Per curiosità sono andato a vedere il libro che citi: 607 pagine... servirebbe una motivazione molto grande per leggerlo!
Ah, tra parentesi auguri!
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