[EX] Misurabilità di una funzione (R&CA, Rudin)

[Paolo902]

Propongo a tutti coloro che stanno studiando Teoria della Misura un bell'esercizio, piuttosto semplice, tratto dal solito Real & Complex Analysis. Al termine dell'esercizio, proporrò una domanda (che mi sono posto dopo averlo risolto) che invita il lettore a "generalizzare" leggermente il fatto in questione (se possibile).

Esercizio. Sia $(X,\mathcal A , \mu)$ uno spazio di misura ($X \ne \emptyset$ è un insieme, $\mathcal A$ è una $\sigma$-algebra su $X$ e $\mu$ una misura definita su $\mathcal A$) e indichiamo con $\overline{\RR}:=[-\infty, \infty]$ l'insieme dei reali estesi, considerato con la solita $sigma$-algebra dei boreliani.
Sia \( f \colon X \to \overline{\mathbb R} \) una funzione tale che per ogni $q \in \mathbb Q$ si abbia
\[
\{x \in X: f(x)>q\} \in \mathcal A
\]
(in pratica, tutti gli insiemi di sopralivello razionali sono misurabili). Dimostrare che $f$ è misurabile.

Bonus: che cosa succede se consideriamo $RR \setminus QQ$ al posto di $QQ$? In pratica, la misurabilità di tutti i "sopralivelli irrazionali" implica ancora la misurabilità di $f$?

[size=85]P.S. Dedicato all'amico Seneca (che ringrazio di tutto).[/size]

[Seneca1]

Sia $\alpha \in \mathbb{R}$ arbitrario. Allora esiste una successione $\{ q_n \} \subset \mathbb{Q}$ (che possiamo supporre monotona crescente) tale che $q_n \to \alpha$. Proviamo che:
\[ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \{ x \in X : f(x) > q_n \} = \{ x \in X : f(x) \ge \alpha \} \]
$[\subset]:$
Sia \( \displaystyle x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \{ x \in X : f(x) > q_n \} \) allora $x \in \{ x \in X : f(x) > q_n \} $, $\forall n\in \mathbb{N}$ e quindi $x$ è tale che $f(x) > q_n$, $\forall n$ $\Rightarrow$ $f(x) \ge \alpha$.

$[\supset]:$ altrettanto semplice.

Allora \[ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \{ x \in X : f(x) > q_n \} = \{ x \in X : f(x) \ge \alpha \} \in \mathcal{A} \]
poiché \[ \{ x \in X : f(x) > q_n \} \in \mathcal{A} \] e poiché le intersezioni numerabili di elementi della $sigma$-algebra $\mathcal{A}$ appartengono ancora ad $\mathcal{A}$.
Per l'arbitrarietà di $\alpha$ segue che $f$ è misurabile.

[size=85]Non potevo esimermi, vista la dedica di Paolo. Grazie a te. [/size]

[Seneca1]

Mi ero dimenticato del bonus!

A prima vista il ragionamento fatto per dimostrare la misurabilità di $f$ nel caso precedente dovrebbe potersi riprodurre. Infatti dato un numero razionale $q$ possiamo sempre costruire una successione di irrazionali che converge a $q$ dal basso. Quindi otterrei un qualsiasi "sopralivello razionale" di $f$ come un'intersezione numerabile di "sopralivelli irrazionali" di $f$... Può essere?


In ogni caso la generalizzazione a cui alludevi riguarda la densità?

[Paolo902]

Grandissimo
Direi che è ottimo (o almeno, coincide con la mia soluzione, che spero sia giusta! ).

Per quanto riguarda la "generalizzazione", sì esatto avevo in mente proprio quello (e, appunto, non è nulla di che, mi sembra giusto un'osservazione): alla fine non importa l'insieme che uno prende (razionali, irrazionali), l'unica cosa che si usa - almeno mi pare - è la densità dell'insieme in questione in $RR$ (e poi, se uno proprio volesse essere pignolo, si usa il fatto che $RR$ è primo numerabile, il che ci permette di affermare l'esistenza della successione in questione, ma va be', sono sottigliezze). Tu che ne pensi?

Ad maiora

[Seneca1]

Grazie del check.

Penso che tu abbia ragione. Salta all'occhio proprio ragionando su quella "domanda bonus" che hai proposto.