[EX] Integrabilità su spazi di probabilità
Esercizio. Sia $(\Omega , \Sigma , P )$ uno spazio di probabilità [nota]Cioè $(\Omega , \Sigma , P )$ è uno spazio con misura tale che $P(\Omega) = 1$.[/nota]. Sia $X$ una variabile aleatoria (estesa) su $\Omega$ [nota]Vale a dire \( X : \Omega \longrightarrow [0, + \infty]\) è una funzione $\Sigma$-Borel misurabile .[/nota] tale che $X \ge 0$. Provare che
\[ \int_{\Omega} X \text{ d}P < \infty \;\; \iff \;\; \sum_{n \ge 1} P (X > n) \; < \infty \;\;.\]
Se non vi piace il framework probabilistico potete pensarlo tranquillamente come un esercizietto di Analisi Reale. Preferirei che partecipassero prima gli studenti che stanno studiando o hanno studiato da poco l'integrale di Lebesgue e la TdM. Buon lavoro!
\[ \int_{\Omega} X \text{ d}P < \infty \;\; \iff \;\; \sum_{n \ge 1} P (X > n) \; < \infty \;\;.\]
Se non vi piace il framework probabilistico potete pensarlo tranquillamente come un esercizietto di Analisi Reale. Preferirei che partecipassero prima gli studenti che stanno studiando o hanno studiato da poco l'integrale di Lebesgue e la TdM. Buon lavoro!
Risposte
Tra un boccone e l'altro ho provato a pensare a \((\Longrightarrow)\). Vediamo: usando la tua notazione, si ha che \[P(X>n)=\int_{\{X > n\}} dP=\int_{\Omega} \chi_{\{X > n \}} \, dP \]ove \(\chi\) è la funzione caratteristica su di un certo insieme. Quindi si ha che \[\sum_{n \ge 1} P(X > n) = \sum_{n \ge 1} \int_{\Omega} \chi_{\{X > n \}} \, dP \]
Ora: è certo vero che \(g_n = \sum_{i=1}^{n} \chi_{\{X > i\}}\) è una successione crescente di funzioni positive che converge puntualmente a \(g=\sum_{n=1}^{\infty}\chi_{\{X > n\}}\), e inoltre vale \(g \le X \ \forall \, x \in \Omega\): infatti se \(\omega \in \Omega\) è tale che \( m < X(\omega) < m+1\) per un certo \(m \in \mathbb{N}\), allora \(\chi_{\{X > i\}} (\omega)=0 \ \forall \, i \ge m+1\) e quindi \(g(\omega)=m < X(\omega)\). Per il teorema della convergenza monotona (o anche dominata) e sfruttando l'isotonia dell'integrale di Lebesgue vale \[\sum_{n \ge 1} \int_{\Omega} \chi_{\{X > n \}} \, dP = \int_{\Omega} \sum_{n \ge 1} \chi_{\{X > n \}} \, dP \le \int_{\Omega} X \, d P \] da cui \[\sum_{n \ge 1} P(X > n) \le \int_{\Omega} X \, d P < \infty \]
Sorge tuttavia una questione: non ho usato che \(P(\Omega)=1\). Ora, possono esserci tre risposte: o ho utilizzato implicitamente questa ipotesi, o \((\Longrightarrow)\) vale in ogni caso, oppure ho steccato da qualche parte.
Ora: è certo vero che \(g_n = \sum_{i=1}^{n} \chi_{\{X > i\}}\) è una successione crescente di funzioni positive che converge puntualmente a \(g=\sum_{n=1}^{\infty}\chi_{\{X > n\}}\), e inoltre vale \(g \le X \ \forall \, x \in \Omega\): infatti se \(\omega \in \Omega\) è tale che \( m < X(\omega) < m+1\) per un certo \(m \in \mathbb{N}\), allora \(\chi_{\{X > i\}} (\omega)=0 \ \forall \, i \ge m+1\) e quindi \(g(\omega)=m < X(\omega)\). Per il teorema della convergenza monotona (o anche dominata) e sfruttando l'isotonia dell'integrale di Lebesgue vale \[\sum_{n \ge 1} \int_{\Omega} \chi_{\{X > n \}} \, dP = \int_{\Omega} \sum_{n \ge 1} \chi_{\{X > n \}} \, dP \le \int_{\Omega} X \, d P \] da cui \[\sum_{n \ge 1} P(X > n) \le \int_{\Omega} X \, d P < \infty \]
Sorge tuttavia una questione: non ho usato che \(P(\Omega)=1\). Ora, possono esserci tre risposte: o ho utilizzato implicitamente questa ipotesi, o \((\Longrightarrow)\) vale in ogni caso, oppure ho steccato da qualche parte.
Ottimo! Ora sono un po' di corsa, ma, ad una prima scorsa, mi sembra che funzioni. Tra un po' mi armo di pazienza e mi convinco del ragionamento.
Ti faccio notare un particolare tecnico: $X(\omega)$ potrebbe essere $+ \infty$. Tuttavia ciò non spaventa, perché l'ipotesi implica che $X$ è finita $P$-q.o. e quindi il tuo discorso regge a meno di un insieme trascurabile.
Ti faccio notare un particolare tecnico: $X(\omega)$ potrebbe essere $+ \infty$. Tuttavia ciò non spaventa, perché l'ipotesi implica che $X$ è finita $P$-q.o. e quindi il tuo discorso regge a meno di un insieme trascurabile.
Domani o dopodomani vorrei scrivere la mia soluzione. Se qualcun altro vuole scrivere la sua, ben venga.
Oh chi si rivede 
Ma...
Forse mi perdo qualcosa, come ben sai la giornata è stata spossante. Se ho sbagliato qualcosa ti chiedo scusa.
Ma...
Forse mi perdo qualcosa, come ben sai la giornata è stata spossante. Se ho sbagliato qualcosa ti chiedo scusa.
Io direi che è perfetto, era la stessa idea che era venuta a me. 
Ora mi sembra doveroso mettere a fuoco un punto, cioè argomentare l'utilizzo dell'ipotesi $P(\Omega) = 1$.
Da quel che vedo il problema è che, in uno spazio con misura qualsiasi, la funzione di distribuzione di $f$, $\mu ( f > t )$, è una funzione a valori reali estesi ed il criterio dell'integrale per le serie va a farsi benedire; e ponendoci in uno spazio con misura finito lo si fa ovviamente rientrare in gioco.
L'argomento usato da Delirium per provare una delle due implicazioni non mi sembra faccia leva sull'ipotesi che lo spazio abbia misura finita. Sbaglio?
Ora mi sembra doveroso mettere a fuoco un punto, cioè argomentare l'utilizzo dell'ipotesi $P(\Omega) = 1$.
Da quel che vedo il problema è che, in uno spazio con misura qualsiasi, la funzione di distribuzione di $f$, $\mu ( f > t )$, è una funzione a valori reali estesi ed il criterio dell'integrale per le serie va a farsi benedire; e ponendoci in uno spazio con misura finito lo si fa ovviamente rientrare in gioco.
L'argomento usato da Delirium per provare una delle due implicazioni non mi sembra faccia leva sull'ipotesi che lo spazio abbia misura finita. Sbaglio?
@Seneca: fammi capire: tu dici che siccome \(X \ge 0 \) per ipotesi e \(\Omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{X \ge n\}\), allora se fosse \(P(\Omega)=\infty\) potremmo anche avere \(P(\{X > n\})=\infty\) per un certo \(n \in \mathbb{N} \), giusto? In tal caso ho utilizzato (inconsciamente, ed avrei dovuto esplicitare!) l'ipotesi qui
in quanto \[P(X>n)=\int_{\{X > n\}} dP \le \int_{\Omega} \, dP = P(\Omega)=1 \ \forall \, n \in \mathbb{N}\]
Ma forse non ho bene inteso la natura della tua obiezione.
"Delirium":
[...] \[P(X>n)=\int_{\{X > n\}} dP=\int_{\Omega} \chi_{\{X > n \}} \, dP \] [...]
in quanto \[P(X>n)=\int_{\{X > n\}} dP \le \int_{\Omega} \, dP = P(\Omega)=1 \ \forall \, n \in \mathbb{N}\]
Ma forse non ho bene inteso la natura della tua obiezione.
Il punto è che se supponi che $X$ sia $\mu$-integrabile, per Chebyshev hai
\[ \mu( X > n) \le \frac{1}{n} \int_\Omega X \text{ d} \mu < \infty \]
per ogni $n \ge 1$; e quindi non sembra esserci bisogno dell'ipotesi $\mu(\Omega) = 1$.
Ricapitolando, mi sembra di capire che un verso del teorema valga per spazi con misura non necessariamente finiti.
Comunque c'è un punto delicato (magari banale) che non mi convinceva e che ora mi sono chiarito. La serie in questione parte da $n =1$, mentre l'integrale improprio dato dalla "layer-cake representation" è fatto su $[0, +\infty)$. Quindi se
\[ \sum_{n=1}^\infty P(X > n) < \infty \]
per la finitezza dello spazio (!) anche \[ \sum_{n=0}^\infty P(X > n) = \sum_{n=1}^\infty P(X > n) + P(X > 0) < \infty \]
e questa ha il medesimo carattere dell'integrale \[ \int_0^\infty P( X > t ) \text{ d} t = \int_\Omega X \text{ d} P \;.\]
On the contrary, se $X$ è integrabile e quindi se quell'integrale improprio converge a fortiori convergerà $\sum_{n=1}^\infty P(X > n)$.
Se ho scritto amenità vi prego di segnalarmele.
\[ \mu( X > n) \le \frac{1}{n} \int_\Omega X \text{ d} \mu < \infty \]
per ogni $n \ge 1$; e quindi non sembra esserci bisogno dell'ipotesi $\mu(\Omega) = 1$.
Ricapitolando, mi sembra di capire che un verso del teorema valga per spazi con misura non necessariamente finiti.
Comunque c'è un punto delicato (magari banale) che non mi convinceva e che ora mi sono chiarito. La serie in questione parte da $n =1$, mentre l'integrale improprio dato dalla "layer-cake representation" è fatto su $[0, +\infty)$. Quindi se
\[ \sum_{n=1}^\infty P(X > n) < \infty \]
per la finitezza dello spazio (!) anche \[ \sum_{n=0}^\infty P(X > n) = \sum_{n=1}^\infty P(X > n) + P(X > 0) < \infty \]
e questa ha il medesimo carattere dell'integrale \[ \int_0^\infty P( X > t ) \text{ d} t = \int_\Omega X \text{ d} P \;.\]
On the contrary, se $X$ è integrabile e quindi se quell'integrale improprio converge a fortiori convergerà $\sum_{n=1}^\infty P(X > n)$.
Se ho scritto amenità vi prego di segnalarmele.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo