[Ex.] Insieme numerabile?
Consideriamo su $RR$ la relazione di equivalenza $x\ ~\ y \Leftrightarrow \exists (p,q) \in QQ \\ {0} \times QQ$ tali che $px+q=y$.
L'insieme quoziente $RR // ~$ è numerabile?
L'insieme quoziente $RR // ~$ è numerabile?
Risposte
Ok!
Peccato, però: ho sprecato un ragionamento senza sapere di essere nella topologia banale.
Peccato, però: ho sprecato un ragionamento senza sapere di essere nella topologia banale.
Sappiamo che \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è denso in \(\displaystyle\mathbb{R}\) secondo la topologia naturale; per costruzione si ha che \(\displaystyle\pi(\mathbb{Q})=[0]\in X\) è un punto denso in \(\displaystyle X\), in particolare \(\displaystyle X\) è uno spazio topologico separabile (ha come punto generico \(\displaystyle[0]\)) ma non separato (non può essere \(\displaystyle T_1\) e quindi nemmeno \(\displaystyle T_2\)).
Novità!
Sia \(\displaystyle\widetilde{f}:X\to S\) una funzione continua, con \(\displaystyle S\) generico spazio topologico; in particolare \(\displaystyle f=\widetilde{f}\circ\pi:\mathbb{R}\to S\) è una funzione continua. Per costruzione \(\displaystyle f\) dev'essere costante su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) e quindi è costante su \(\displaystyle\mathbb{R}\), in particolare \(\displaystyle\widetilde{f}\) è una funzione costante.
Si ha così che tutte le possibili funzioni continue su \(\displaystyle X\) sono le funzioni costanti, e quindi su \(\displaystyle X\) si è costruita la topologia banale!
Novità!
Sia \(\displaystyle\widetilde{f}:X\to S\) una funzione continua, con \(\displaystyle S\) generico spazio topologico; in particolare \(\displaystyle f=\widetilde{f}\circ\pi:\mathbb{R}\to S\) è una funzione continua. Per costruzione \(\displaystyle f\) dev'essere costante su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) e quindi è costante su \(\displaystyle\mathbb{R}\), in particolare \(\displaystyle\widetilde{f}\) è una funzione costante.
Si ha così che tutte le possibili funzioni continue su \(\displaystyle X\) sono le funzioni costanti, e quindi su \(\displaystyle X\) si è costruita la topologia banale!
No Armando, per esempio se $S=X$ e $\tilde{f}$ è l'identità quello che dici non è vero. Osserva che l'identità $X \to X$ è continua e non costante per ogni spazio topologico $X$ (con almeno 2 elementi). Per dedurre che $f$ è costante dal fatto che è costante su $QQ$ ti serve che il codominio sia Hausdorff.
"Martino":Vero, memoria sbilenca!
...Per dedurre che $ f $ è costante dal fatto che è costante su $ QQ $ ti serve che il codominio sia Hausdorff.
Quello che ho scritto sarebbe vero solo per \(\displaystyle X=\{*\}\); e limitando l'attenzione alle funzioni continue da \(\displaystyle X\) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\), non si potrebbe affermare che la topologia è banale; ad esempio (se non ricordo male): le funzioni continue da \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia cofinita ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale sono tutte e sole le funzioni continue!
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