[EX] Funzioni aventi derivate assegnate
Questo esercizio non è proprio banale.
La prima parte è un semplice esercizio di "Analisi [tex]$\tfrac{3}{2}$[/tex]"; la seconda parte, sebbene piuttosto classica*, è nettamente più difficile ed è destinata a chi ha conoscenze "superiori".
L'accostamento delle due parti risponde ad una esigenza "didattica": il secondo quesito serve a generalizzare il primo, mostrando che nella generalizzazione si perde una proprietà forte come quella dall'analiticità (cioè la sviluppabilità in serie di potenze).
***
Esercizio:
Siano [tex]$(a_n)\subseteq \mathbb{R}$[/tex] una successione ed [tex]$x_0\in \mathbb{R}$[/tex].
1. Mostrare che se la successione [tex]$(a_n)$[/tex] soddisfa la condizione di crescita:
(C) [tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ |a_n|\leq A\ B^n\ n!$[/tex]
con [tex]$A,B\in [0,+\infty[$[/tex], allora esiste una funzione [tex]$f(x)$[/tex], definita in un intorno di [tex]$x_0$[/tex] ed ivi analitica, tale che:
(*) [tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ f^{(n)} (x_0)=a_n$[/tex],
ossia tale che la derivata [tex]$n$[/tex]-esima di [tex]$f$[/tex] assuma in [tex]$x_0$[/tex] esattamente il valore [tex]$a_n$[/tex].
2. Mostrare che, sotto nessuna ipotesi sulla successione [tex]$(a_n)$[/tex], esiste almeno una funzione [tex]$f(x)$[/tex], definita in tutto $\mathbb{R}$, nulla fuori da un compatto contenente un intorno di [tex]$x_0$[/tex] e globalmente di classe [tex]$C^\infty$[/tex], la quale gode della proprietà (*).
In particolare, esiste una funzione di classe [tex]$C^\infty$[/tex] che abbia derivata [tex]$n$[/tex]-esima in [tex]$x_0$[/tex] uguale a [tex]$n^n$[/tex]; si confronti questo risultato con quanto provato in 1.
__________
* Se non ricordo male, è un caso particolare di risultato un po' più generale dovuto a Borel.
La prima parte è un semplice esercizio di "Analisi [tex]$\tfrac{3}{2}$[/tex]"; la seconda parte, sebbene piuttosto classica*, è nettamente più difficile ed è destinata a chi ha conoscenze "superiori".
L'accostamento delle due parti risponde ad una esigenza "didattica": il secondo quesito serve a generalizzare il primo, mostrando che nella generalizzazione si perde una proprietà forte come quella dall'analiticità (cioè la sviluppabilità in serie di potenze).
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Esercizio:
Siano [tex]$(a_n)\subseteq \mathbb{R}$[/tex] una successione ed [tex]$x_0\in \mathbb{R}$[/tex].
1. Mostrare che se la successione [tex]$(a_n)$[/tex] soddisfa la condizione di crescita:
(C) [tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ |a_n|\leq A\ B^n\ n!$[/tex]
con [tex]$A,B\in [0,+\infty[$[/tex], allora esiste una funzione [tex]$f(x)$[/tex], definita in un intorno di [tex]$x_0$[/tex] ed ivi analitica, tale che:
(*) [tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ f^{(n)} (x_0)=a_n$[/tex],
ossia tale che la derivata [tex]$n$[/tex]-esima di [tex]$f$[/tex] assuma in [tex]$x_0$[/tex] esattamente il valore [tex]$a_n$[/tex].
2. Mostrare che, sotto nessuna ipotesi sulla successione [tex]$(a_n)$[/tex], esiste almeno una funzione [tex]$f(x)$[/tex], definita in tutto $\mathbb{R}$, nulla fuori da un compatto contenente un intorno di [tex]$x_0$[/tex] e globalmente di classe [tex]$C^\infty$[/tex], la quale gode della proprietà (*).
In particolare, esiste una funzione di classe [tex]$C^\infty$[/tex] che abbia derivata [tex]$n$[/tex]-esima in [tex]$x_0$[/tex] uguale a [tex]$n^n$[/tex]; si confronti questo risultato con quanto provato in 1.
__________
* Se non ricordo male, è un caso particolare di risultato un po' più generale dovuto a Borel.
Risposte
UP.
Nessuno che voglia provare?
Nessuno che voglia provare?
Per favore non rivelare la soluzione, ché ci vorrei provare un po' appena ho tempo. Naturalmente se qualcuno ha intenzione di anticiparmi faccia pure!
Il primo è proprio Analisi I,5; potresti anche risolverlo subito. 
Il secondo è molto più tecnico; prova a seguire il suggerimento e, se serve, chiedi pure delucidazioni.
Il secondo è molto più tecnico; prova a seguire il suggerimento e, se serve, chiedi pure delucidazioni.
Ricordo che l'asserto 2 ce lo dimostrò il professore di Analisi. Lui lo chiamava Teorema di Borel, ma è un risultato che si trova raramente sui libri; anzi, ho trovato solo un libro su cui è riportato.
Inizio a risolvere il primo punto, almeno riattivo il topic. Lascio la soluzione in spoiler consigliando a chi stia affrontando adesso lo studio delle serie di potenze di provare a fabbricarsene una. Sono richieste solo le conoscenze di base: definizione di serie di potenze e di raggio di convergenza, teorema di derivazione per serie, serie esponenziale.
Per la 2) invece non ho ancora concluso.
Per la 2) invece non ho ancora concluso.
"NightKnight":
Ricordo che l'asserto 2 ce lo dimostrò il professore di Analisi. Lui lo chiamava Teorema di Borel, ma è un risultato che si trova raramente sui libri; anzi, ho trovato solo un libro su cui è riportato.
Probabilmente è lo stesso su cui l'ho trovato io.
@dissonance: Esatto.
"gugo82":
[quote="NightKnight"]Ricordo che l'asserto 2 ce lo dimostrò il professore di Analisi. Lui lo chiamava Teorema di Borel, ma è un risultato che si trova raramente sui libri; anzi, ho trovato solo un libro su cui è riportato.
Probabilmente è lo stesso su cui l'ho trovato io.
[/quote]Non mi dite qual è però sennò mi viene la tentazione di andarci a sbirciare! 
Ovvio che non te lo dico... 
[EDIT]Ho modificato il testo. Adesso la soluzione del punto 2) è (IMHO) completa. La articolo in quattro passi:
I) COSTRUZIONE DI [tex]h[/tex]
II) DEFINIZIONE DI [tex]\sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/tex] E STIMA DI [tex]\lvert f_n^{(k)}(x) \rvert[/tex]
III) [DETERMINAZIONE DI [tex]e_n[/tex]]
IV) CONCLUSIONE
I) COSTRUZIONE DI [tex]h[/tex]
II) DEFINIZIONE DI [tex]\sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/tex] E STIMA DI [tex]\lvert f_n^{(k)}(x) \rvert[/tex]
III) [DETERMINAZIONE DI [tex]e_n[/tex]]
IV) CONCLUSIONE
Credo di avere concluso. La soluzione è nel post precedente che ho modificato.
Vorrei segnalare una piccola variazione sul tema emersa nel corso di una discussione con robbstark nella stanza di Analisi. Enunciamo una versione più debole del lemma di Borel:
Proposizione Sia \((a_n \mid n=0,1 \ldots k)\) una \(k+1\)-upla di numeri reali. Esiste una funzione \(f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) a supporto compatto e tale che \(f^{(n)}(0)=a_n, \ n=0, 1 \ldots k.\)
Come notato da robbstark, la dimostrazione di questo enunciato è estremamente più semplice rispetto al caso generale. E' infatti sufficiente considerare il polinomio
\[P(x)=a_0 + a_1x+ \frac{a_2}{2!}x^2+ \ldots + \frac{a_k}{k!}x^k\]
e una funzione \(\zeta \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) a supporto compatto e identicamente uguale ad \(1\) in un intorno di \(0\). La funzione \(f(x)=\zeta(x)P(x) \) ha le proprietà richieste.
Questo risultato ha una applicazione simpatica nella dimostrazione del fatto seguente.
Fatto Siano
\[L_1=\sum_{n=0}^{k_1} a_n(x)\frac{d^n}{dx^n}, \quad L_2=\sum_{n=0}^{k_2}b_n(x)\frac{d^n}{dx^n}\]
due operatori differenziali. Se essi coincidono sulle funzioni lisce e a supporto compatto allora essi sono identici.
Dimostrazione Fissiamo \(x_0 \in \mathbb{R}\). Per quanto visto precedentemente esiste \(u_n \in C^\infty(\mathbb{R})\) a supporto compatto tale che \(u_n^{(j)}(x_0)=\delta_{n j}\). Allora
\[a_n(x_0)=(L_1u_n)(x_0)=(L_2u_n)(x_0)=b_n(x_0),\]
per cui \(k_1=k_2\) e i coefficienti dei due operatori sono ordinatamente uguali.
Proposizione Sia \((a_n \mid n=0,1 \ldots k)\) una \(k+1\)-upla di numeri reali. Esiste una funzione \(f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) a supporto compatto e tale che \(f^{(n)}(0)=a_n, \ n=0, 1 \ldots k.\)
Come notato da robbstark, la dimostrazione di questo enunciato è estremamente più semplice rispetto al caso generale. E' infatti sufficiente considerare il polinomio
\[P(x)=a_0 + a_1x+ \frac{a_2}{2!}x^2+ \ldots + \frac{a_k}{k!}x^k\]
e una funzione \(\zeta \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) a supporto compatto e identicamente uguale ad \(1\) in un intorno di \(0\). La funzione \(f(x)=\zeta(x)P(x) \) ha le proprietà richieste.
Questo risultato ha una applicazione simpatica nella dimostrazione del fatto seguente.
Fatto Siano
\[L_1=\sum_{n=0}^{k_1} a_n(x)\frac{d^n}{dx^n}, \quad L_2=\sum_{n=0}^{k_2}b_n(x)\frac{d^n}{dx^n}\]
due operatori differenziali. Se essi coincidono sulle funzioni lisce e a supporto compatto allora essi sono identici.
Dimostrazione Fissiamo \(x_0 \in \mathbb{R}\). Per quanto visto precedentemente esiste \(u_n \in C^\infty(\mathbb{R})\) a supporto compatto tale che \(u_n^{(j)}(x_0)=\delta_{n j}\). Allora
\[a_n(x_0)=(L_1u_n)(x_0)=(L_2u_n)(x_0)=b_n(x_0),\]
per cui \(k_1=k_2\) e i coefficienti dei due operatori sono ordinatamente uguali.
Stavolta vorrei fornire una applicazione del risultato dimostrato in questo thread alla teoria delle distribuzioni . Ci stavo pensando stamattina e mi pare simpatico.
Proposizione Comunque si prenda una successione numerica \((a_n)_{n \ge 0}\) non definitivamente nulla la serie
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n \delta^{(n)} \]
NON converge in \(\mathscr{D}\,'(\mathbb{R})\).
Dimostrazione E' sufficiente considerare una funzione test \(\varphi \in \mathscr{D}(\mathbb{R})\) tale che
\[\varphi^{(j)}(0)=\begin{cases} \frac{(-1)^j}{a_j} & a_j \ne 0 \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}.\]
Allora per ogni indice \(N \ge 0\), si ha per il crochet
\[\left\langle \sum_{j=0}^N a_j \delta^{(j)}, \varphi\right\rangle = \sum_{j=0}^N (-1)^ja_j \varphi^{(j)}(0)=\sum_{j=0}^N\begin{cases} 1 & a_j \ne 0 \\ 0 & a_j=0\end{cases}, \]
che diverge per \(N\to \infty\). ////
A questa conclusione si poteva arrivare anche ricordando che una distribuzione a supporto compatto ha necessariamente ordine finito (ovvero dipende solo da un numero finito di derivate della funzione test a cui è accoppiata) e che la serie assegnata, se convergesse, definirebbe una distribuzione a supporto compatto priva di questa proprietà. Però mi è parso utile "toccare con mano" la cosa, verificando direttamente che la serie può non convergere per opportune scelte della funzione test.
Una conseguenza di questo fatto è che non è possibile "trasformare secondo Fourier termine a termine" le serie di potenze. Ad esempio nella formula seguente ambo i membri sono privi di senso:
\[\tag{!!} \mathscr{F}\left[ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n!(2\pi)^n}\delta^{(n)}.\]
Proposizione Comunque si prenda una successione numerica \((a_n)_{n \ge 0}\) non definitivamente nulla la serie
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n \delta^{(n)} \]
NON converge in \(\mathscr{D}\,'(\mathbb{R})\).
Dimostrazione E' sufficiente considerare una funzione test \(\varphi \in \mathscr{D}(\mathbb{R})\) tale che
\[\varphi^{(j)}(0)=\begin{cases} \frac{(-1)^j}{a_j} & a_j \ne 0 \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}.\]
Allora per ogni indice \(N \ge 0\), si ha per il crochet
\[\left\langle \sum_{j=0}^N a_j \delta^{(j)}, \varphi\right\rangle = \sum_{j=0}^N (-1)^ja_j \varphi^{(j)}(0)=\sum_{j=0}^N\begin{cases} 1 & a_j \ne 0 \\ 0 & a_j=0\end{cases}, \]
che diverge per \(N\to \infty\). ////
A questa conclusione si poteva arrivare anche ricordando che una distribuzione a supporto compatto ha necessariamente ordine finito (ovvero dipende solo da un numero finito di derivate della funzione test a cui è accoppiata) e che la serie assegnata, se convergesse, definirebbe una distribuzione a supporto compatto priva di questa proprietà. Però mi è parso utile "toccare con mano" la cosa, verificando direttamente che la serie può non convergere per opportune scelte della funzione test.
Una conseguenza di questo fatto è che non è possibile "trasformare secondo Fourier termine a termine" le serie di potenze. Ad esempio nella formula seguente ambo i membri sono privi di senso:
\[\tag{!!} \mathscr{F}\left[ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n!(2\pi)^n}\delta^{(n)}.\]
Un'osservazione molto istruttiva, dissonance.
Però la \(\varphi\), se è quella costruita nell'esercizio, mica ha supporto compatto...
Però la \(\varphi\), se è quella costruita nell'esercizio, mica ha supporto compatto...
Uuh Gugo mi ero scordato di rispondere. Effettivamente non ho riflettuto bene sulla questione "supporto" della \(\varphi\) costruita prima, ma comunque non è certo un problema (come tu sai bene) e visto che ci siamo lo risolviamo con una costruzione standard a beneficio di eventuali lettori:
Proposizione Sia \(\psi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una funzione di classe \(C^\infty\). Esiste una funzione \(\varphi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) nulla al di fuori di \((-2, 2)\) e tale che \(\varphi^{(j)}(0)=\psi^{(j)}(0)\) per ogni \(j\ge 0\).
Dimostrazione EDIT In questa dimostrazione c'è un errore, appena possibile lo correggerò. La proposizione comunque è vera.[/edit]
Ovviamente, a patto di operare il cambiamento di scala \(x \mapsto \lambda x\), l'intervallo \((-2, 2)\) può essere sostituito con qualsiasi intorno simmetrico di \(0\).
Proposizione Sia \(\psi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una funzione di classe \(C^\infty\). Esiste una funzione \(\varphi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) nulla al di fuori di \((-2, 2)\) e tale che \(\varphi^{(j)}(0)=\psi^{(j)}(0)\) per ogni \(j\ge 0\).
Dimostrazione EDIT In questa dimostrazione c'è un errore, appena possibile lo correggerò. La proposizione comunque è vera.[/edit]
////
Ovviamente, a patto di operare il cambiamento di scala \(x \mapsto \lambda x\), l'intervallo \((-2, 2)\) può essere sostituito con qualsiasi intorno simmetrico di \(0\).
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