[EX] Disuguaglianze per funzioni radiali

[gugo82]

Rompo il mio pubblico silenzio con questo post (raggiungendo, tra l'altro, un numero palindromo).
Nonostante sembri complicato, questo è un esercizio fondamentalmente "semplice"; perciò gradirei che ci provassero i "giovani" (ad esempio, gli studenti che hanno già visto o stanno studiando argomenti di Analisi superiore).

***

Notazioni e definizioni utili:

Qui e nel seguito \(B(x_0;R)\) e \(B^\prime (x_0;R)\) denotano, rispettivamente, la palla aperta di \(\mathbb{R}^N\) con centro \(x_0\in \mathbb{R}^N\) e raggio \(R>0\) e la medesima palla privata del centro, i.e. \(B^\prime (x_0;R):=B(x_0;R)\setminus \{x_0\}\).

Ricordo che:

Una funzione \(u:B(x_0;R)\to \mathbb{R}\) è detta radiale rispetto a \(x_0\) se esiste una funzione \(U:[0,R[\to \mathbb{R}\) tale che \(u(x)=U(|x-x_0|)\) per ogni \(x\in B(x_0;R)\).

La definizione precedente ha senso anche se \(R=\infty\), ossia se al posto della palla aperta \(B(x_0,R)\) si considera tutto \(\mathbb{R}^N\).
Un pedice \(_\text{rad}\) denota uno spazio di funzioni radiali rispetto al centro di una palla: ad esempio \(C_\text{rad} (B(o;\pi))\) è lo spazio delle funzioni continue in \(B(o;\pi)\) radiali rispetto a \(o\) (l'origine di \(\mathbb{R}^N\)).

***

Esercizio:

Nel seguito si suppone \(N\geq 2\) e \(p>1\).

1. Provare che, per ogni \(u\in C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\), risulta:
\[
\int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^p\ \text{d} x =N\ \omega_N\ \int_0^1 |U^\prime (r)|^p\ r^{N-1}\ \text{d}r
\]
ove \(\omega_N = \pi^{N/2}/\Gamma (1+N/2)\) è la misura della palla unitaria di \(\mathbb{R}^N\).

Suggerimento: Usare le coordinate polari.

2. Dimostrare che, quando \(p0\) tale che la disuguaglianza:
\[
\tag{1} \forall x\in B^\prime (o;1),\quad |u(x)|\leq c(N,p)\ \frac{1}{|x|^{N/p\ -1}}\ \left( \int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^p\ \text{d} x\right)^{1/p}
\]
è vera per ogni \(u\in C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\).

3. Far vedere che esiste una costante \(c(N)>0\) tale che:
\[
\tag{2} \forall x\in B^\prime (o;1),\quad |u(x)|\leq c(N)\ \left( -\ln |x|\right)^{1-1/N}\ \left( \int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^N\ \text{d} x\right)^{1/N}
\]
vele per ogni \(u\in C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\).

Suggerimenti: Usare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per scrivere \(U(|x|)-U(1)\); sfruttare in modo astuto la una disuguaglianza elementare e la disuguaglianza di Hölder; ricordare la definizione di funzione radiale ed il punto 1.

4. Cosa accade se al posto di funzioni definite in \(B(o;1)\) si considerano funzioni radiali definite in \(B(x_0;R)\)?

Suggerimento: Usare un opportuno riscalamento.

5. Si possono estendere le disuguaglianze (1) e (2) a spazi di funzioni radiali "più grandi" di \(C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\)?

Suggerimento: Si pensi a qualche spazio di tipo Sobolev, e.g. \(W_{0,\text{rad}}^{1,p}\).

6. Esistono funzioni radiali che soddisfano l'uguaglianza in (1) o (2)?

[gugo82]

Nessuno?!?

[Andrea2976]

Risolvo solo una caso particolare del primo quesito:

Sia $x=(x_1,...,x_n)$, sia $n=2$ e poniamo $x_1=r \cos\theta$ e $x_2=r \sin\theta$

$\int_{B_{0,1}}|\nabla u(|x|)|^p dx=\int_0^{2\pi}\int_0^1 r|\nabla u(r)|^p dr d\theta=$
$=\int_0^{2\pi} \int_0^1 r|u_r(r)|^p dr d\theta=2\pi \int_0^1 r|u_r(r)|^pdr$

[gugo82]

Facciamo le cose per bene...

"gugo82":1. Provare che, per ogni \(u\in C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\), risulta:
\[
\int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^p\ \text{d} x =N\ \omega_N\ \int_0^1 |U^\prime (r)|^p\ r^{N-1}\ \text{d}r
\]
ove \(\omega_N = \pi^{N/2}/\Gamma (1+N/2)\) è la misura della palla unitaria di \(\mathbb{R}^N\).

Suggerimento: Usare le coordinate polari.

Supponiamo \(u(x)=U(|x|)\) e che \(U\) sia sufficientemente regolare.
Per ogni \(n\in \{1,\ldots ,N\}\) e per \(x\neq o\) si ha:
\[
u_{x_n}(x) =\frac{\partial}{\partial x_n} U\left( \sqrt{x_1^2+\cdots +x_N^2}\right) =\frac{x_n}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_N^2}}\ U^\prime \left( \sqrt{x_1^2+\cdots +x_N^2}\right)
\]
quindi:
\[
\nabla u(x) = \frac{U^\prime (|x|)}{|x|}\ x\ \quad \Rightarrow \quad |\nabla u(x)| = |U^\prime (|x|)|.
\]
Usando le coordinate polari, si trova allora:
\[
\begin{split}
\int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^p\ \text{d} x &= \int_0^1 \left( \int_{\partial B(o;r)} |U^\prime (r)|^p\ \text{d} \sigma \right)\ \text{d} r \\
&= \int_0^1 |U^\prime (r)|^p\ \left( \int_{\partial B(o;r)}\ \text{d} \sigma \right)\ \text{d} r\\
&= \int_0^1 |U^\prime (r)|^p\ N\omega_N\ r^{N-1}\ \text{d} r\\
&= N\ \omega_N\ \int_0^1 |U^\prime (r)|^p\ r^{N-1}\ \text{d} r
\end{split}
\]
per ogni \(p\geq 1\), come si voleva.

[gugo82]

"gugo82":2. Dimostrare che, quando \(p0\) tale che la disuguaglianza:
\[
\tag{1} \forall x\in B^\prime (o;1),\quad |u(x)|\leq c(N,p)\ \frac{1}{|x|^{N/p\ -1}}\ \left( \int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^p\ \text{d} x\right)^{1/p}
\]
è vera per ogni \(u\in C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\).

3. Far vedere che esiste una costante \(c(N)>0\) tale che:
\[
\tag{2} \forall x\in B^\prime (o;1),\quad |u(x)|\leq c(N)\ \left( -\ln |x|\right)^{1-1/N}\ \left( \int_{B(o;1)} |\nabla u(x)|^N\ \text{d} x\right)^{1/N}
\]
vele per ogni \(u\in C_{c,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\).

Suggerimenti: Usare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per scrivere \(U(|x|)-U(1)\); sfruttare in modo astuto la una disuguaglianza elementare e la disuguaglianza di Hölder; ricordare la definizione di funzione radiale ed il punto 1.

Fissiamo \(u\in C_{0,\text{rad}}^\infty (B(o;1))\).

Come da suggerimento, per il TFCI abbiamo:
\[
\begin{split}
u(x) &= U(|x|)\\
&= U(|x|)-U(1) \\
&= -\int_{|x|}^1 U^\prime (r)\ \text{d} r
\end{split}
\]
quindi:
\[
|u(x)| \leq \int_{|x|}^1 |U^\prime (r)|\ \text{d} r\; ;
\]
"senza saper né leggere e né scrivere", moltiplichiamo e dividiamo l'integrando a secondo membro per una potenza \(r^\alpha\) (con l'esponente \(\alpha >0\) che sarà scelto in seguito) ed usiamo la disuguaglianza di Hölder con esponenti \(p\) e \(p^\prime\) ottenendo:
\[
\begin{split}
|u(x)| &\leq \int_{|x|}^1\frac{1}{r^\alpha}\ |U^\prime (r)| r^\alpha\ \text{d} r \\
&\stackrel{\text{Höl}}{\leq } \left( \int_{|x|}^1 \frac{1}{r^{\alpha p^\prime}}\ \text{d} r \right)^{1/p^\prime}\ \left( \int_{|x|}^1 |U^\prime (r)|^p\ r^{\alpha p}\ \text{d} r\right)^{1/p}\; .
\end{split}
\]
L'integrando che figura al secondo fattore nell'ultimo membro è molto simile a quello presente al secondo membro dell'espressione della norma di \(\nabla u\) in coordinate polari: per renderlo del tutto uguale, basta scegliere \(\alpha\) in modo che \(\alpha p=N-1\), i.e. \(\alpha =(N-1)/p\); fatta tale scelta si trova \(\alpha p^\prime =(N-1)/(p-1)\) e, dato che \(p\leq N\), si ha:
\[
\begin{split}
|u(x)| &\leq \left( \int_{|x|}^1 \frac{1}{r^{(N-1)/(p-1)}}\ \text{d} r \right)^{1/p^\prime}\ \left( \int_{|x|}^1 |U^\prime (r)|^p\ r^{N-1}\ \text{d} r\right)^{1/p}\\
&\leq \frac{1}{(N\omega_N)^{1/p}}\ \left( \int_{|x|}^1 \frac{1}{r^{(N-1)/(p-1)}}\ \text{d} r \right)^{1/p^\prime}\ \left( N\omega_N\ \int_0^1 |U^\prime (r)|^p\ r^{N-1}\ \text{d} r\right)^{1/p}\\
& = \frac{1}{(N\omega_N)^{1/p}}\ \lVert \nabla u\rVert_p\ \left( \int_{|x|}^1 \frac{1}{r^{(N-1)/(p-1)}}\ \text{d} r \right)^{1/p^\prime} \; .
\end{split}
\]
Calcoli elementari importano:
\[
\left( \int_{|x|}^1 \frac{1}{r^{(N-1)/(p-1)}}\ \text{d} r \right)^{1/p^\prime} = \begin{cases} (-\ln |x|)^{1-1/N} &\text{, se } p=N \\ \left(\frac{p-1}{N-p}\right)^{1-1/p}\ \frac{1}{|x|^{N/p\ -1}} &\text{, se } p \]
quindi le disuguaglianze (1) e (2) valgono rispettivamente con costanti:
\[
c(N,p):=\frac{1}{(N\omega_N)^{1/p}}\ \left(\frac{p-1}{N-p}\right)^{1-1/p} \qquad \text{e} \qquad c(N):= \frac{1}{(N\omega_N)^{1/N}}\; .
\]