[EX] Disuguaglianza integrale

[Rigel1]

Visto il successo dell'ultimo esercizio proposto, ci provo con quest'altro.

Sia $f: (0,+\infty) \to [0,+\infty)$ una funzione monotona decrescente.
Dimostrare che per ogni $p\in [1,+\infty)$ e ogni $T>0$ si ha che
$p\int_0^T f(s) s^{p-1} ds \le (\int_0^T f(s)^{1/p} ds)^p$.

In questa generalità è pensato come esercizio di analisi reale; con l'ulteriore ipotesi $f\in C([0,+\infty))$ può essere risolto con conoscenze di analisi 1.

[gugo82]

@Rigel: Correggimi se sbaglio, ma alla fin dei conti la dimostrazione nel caso generale è del tutto uguale a quella del caso "Analisi I"... Serve solo un po' di attenzione in più, o no?

In tal caso, permettimi di aggiungere un paio di punti al tuo già interessante esercizio:

2. Dimostrare che [tex]$C=p$[/tex] è la migliore costante nella disuguaglianza:

(*) [tex]$C\ \int_0^T f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s\leq \left( \int_0^T f^\frac{1}{p} (s)\ \text{d} s\right)^p$[/tex].

3. Cosa si può dire circa le funzioni che soddisfano la disuguaglianza di Rigel col segno di uguale?
In altri termini, supposto che [tex]$f$[/tex] sia scelta in modo che per un certo [tex]$\overline{T}>0$[/tex] sussista l'uguaglianza

(**) [tex]$p\ \int_0^{\overline{T}} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s= \left( \int_0^{\overline{T}} f^\frac{1}{p} (s)\ \text{d} s\right)^p$[/tex],

com'è la restrizione di [tex]$f$[/tex] a [tex]$]0,\overline{T}]$[/tex]?
E cosa succede se la (**) vale per tutti i valori di [tex]$\overline{T}>0$[/tex]?

Suggerimenti:

2. Dalla dimostrazione della disuguaglianza di Rigel segue che la (*) vale per ogni [tex]$0\leq C\leq p$[/tex]; pertanto per provare quanto chiesto basta trovare qualche funzione decrescente [tex]$u$[/tex] tale che:

[tex]\frac{\left( \int_0^T u^\frac{1}{p} (s)\ \text{d} s\right)^p}{\int_0^T u(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s} =p[/tex].

3. Analizzare bene la dimostrazione della disuguaglianza di Rigel.

[Rigel1]

@gugo: grazie per gli ulteriori spunti; vedo che la tua passione per i casi di uguaglianza non ti abbandona mai
Riguardo alla tua domanda, la dimostrazione "Analisi I" è sostanzialmente identica; l'unico punto a cui occorre prestare attenzione è che, nel caso generale, $f$ potrebbe non essere limitata superiormente.

[Paolo902]

Uffi, non ce la fo.

Il problema mi interessa assai; ci ho pensato un po' tra ieri sera e oggi (mentre studiavo analisi II ) ma non ho concluso molto.
Volevo usare la disuguaglianza di Holder, ma mi sono incasinato e non ho cavato nulla (forse perchè la uso male...).

Posso chiederti/vi un hint per il primo punto, per piacere?
Vi ringrazio per il problema proposto e per l'aiuto.

P.S. Una curiosità: Rigel, che cosa intendi con Analisi Reale? (forse analisi n, con $n>1$?)

[Rigel1]

Hint:

Considera le funzioni $h(t) = p \int_0^t f(s) s^{p-1} ds$, $g(t) = (\int_0^t f(s)^{1/p} ds)^p$.
Ovviamente $h(0) = g(0) = 0$.
Con l'ipotesi aggiuntiva $f\in C([0,+\infty))$ queste due funzioni sono di classe $C^1$: prova a confrontare $h'(t)$ e $g'(t)$.
Senza ipotesi aggiuntiva l'esercizio diventa di "analisi reale": parti prima dal caso $f\in L^{\infty}$ (basta $f\in L^1$, ma già che si useranno delle troncate...) in modo che $g$ e $h$ siano assolutamente continue e, di fatto, si può procedere come nel caso regolare.

[Paolo902]

Grazie per l'hint. Ci provo, ma sono molto dubbioso.

Seguendo la tua notazione, si vuole provare che $h(t)<=g(t)$ per ogni $t>0$ il che equivale a provare che $w(t)=g(t)-h(t)>=0$. Evidentemente, $w(0)=0>=0$ e quindi sarà sufficiente mostrare che $w(t)$ è crescente.

Adesso, assumiamo $f$ continua, cosicchè $w(t)$ sia $C^1$; calcoliamo $w'(t)=g'(t)-h'(t)=p[int_0^t f(s)^(1/p) ds]^(p-1)(f(t))^(1/p)-pf(t)t^(p-1)$.

Sempre per la continuità di $f$, possiamo usare il teorema della media integrale e scrivere che $int_0^t f(s)^(1/p) ds = t f(mu)^(1/p)$ per un qualche $mu in (0,t)$.
Ora mostro che $w'(t)>=0$ per ogni $t>0$; "pacioccando" opportunamente questa disuguaglianza (e.g. dividendo per $p$, usando il teorema della media, dividendo per $t$ etc) trovo che $w'(t)>=0 iff f(mu)>=f(t)$, e quest'ultima relazione è certo vera poichè $f$ è monotona decrescente.

Ho evitato di scrivere tutti i passaggi intermedi perchè non sono molto sicuro, e ho paura di aver scritto qualche scemenza.

Più o meno ci sono andato vicino?

Rigel, mi sa che mi sono perso un po' di cose e mi devi dare una mano, per piacere: che significa assolutamente continua?
Comincio a credere che l'esercizio non sia alla mia portata...

Grazie mille

[gugo82]

@Paolo90: Ma più semplicemente:

Formata la funzione deficit [tex]\Delta (T):=\left( \int_0^T f^{\frac{1}{p}} (s)\ \text{d} s\right)^p-p\int_0^T f(s)s^{p-1}\ \text{d} s[/tex], derivandola si trova:

[tex]$\Delta^\prime (T)=p\left( \int_0^T f^{\frac{1}{p}} (s)\ \text{d} s\right)^{p-1} f^{\frac{1}{p}} (T)-pf(T)\ T^{p-1}$[/tex];

tenendo presente che [tex]$f(s)$[/tex] decresce riesce la minorazione:

[tex]$\Delta^\prime (T)\geq p \Big[ f^{\frac{1}{p}}(T)\ T\Big]^{p-1} f^{\frac{1}{p}} (T)-pf(T)\ T^{p-1} =0$[/tex],

ergo [tex]$\Delta (T)$[/tex] è funzione crescente; visto che [tex]$\Delta (0)=0$[/tex] si ottiene [tex]$\Delta (T)\geq 0$[/tex], che è la disuguaglianza di Rigel.

[Paolo902]

@gugo82: ma è vero!!

Grande, in tre righe quello che io avevo scritto in una pagina di conti...
Comunque sono abbastanza contento, perchè l'idea del teorema della media era valida e non sbagliata. Per me è già un successo

Anyway, ti ringrazio per la tua soluzione efficace. Prima di dedicarmi ai tuoi quesiti, vorrei però capire che cosa bisogna aggiustare nel caso in cui non chiediamo $f$ di classe $C^1$. E prima ancora devo andarmi a vedere un po' di cose su questa assoluta continuità etc... che mi incuriosiscono parecchio.

Grazie di tutto.

[Rigel1]

Se non richiediamo la continuità di $f$, conviene comunque considerare prima il caso in cui $f$ è limitata.
Puoi quindi definire le funzioni integrali $h$ e $g$ del post precedente, ma esse non saranno necessariamente di classe $C^1$.
In ogni caso saranno Lipschitziane; puoi dire di più, senza scomodare integrali di Lebesgue e via dicendo, in quanto sai già che l'insieme di punti di non derivabilità di $f$ è al più numerabile (essendo $f$ monotona).
In generale, se tu parti da una funzione integrabile secondo Lebesgue, la sua funzione integrale è una funzione assolutamente continua e la sua derivata coincide quasi ovunque con la funzione integranda; questa è la generalizzazione del classico teorema di Torricelli. Le funzioni assolutamente continue possono essere caratterizzate in diversi modi, uno dei quali è proprio quello di essere funzioni integrali di funzioni integrabili secondo Lebesgue (ma queste cose le vedrai più avanti nel corso degli studi).
Comunque, arrivando al dunque, poi procedere anche in questo caso esattamente come nel caso regolare, senza nessuna variazione.

Si tratta infine di dimostrare la disuguaglianza anche quando $f$ è illimitata superiormente, cioè quando $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$.
Una possibilità è considerare le troncate a quota $n$, $f_n(x) = \max\{n, f(x)\}$.
Per il passo precedente, la disuguaglianza è soddisfatta con ciascuna delle $f_n$.
A questo punto basta osservare che $f_n(s) s^{p-1}$ e $f_n(s)^{1/p}$ convergono monotonamente a $f(s) s^{p-1}$ e $f(s)^{1/p}$ rispettivamente, per cui si può passare al limite in entrambi i membri utilizzando il teorema di convergenza monotona (o teorema di Beppo Levi), che si dimostra anch'esso nell'ambito della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue.

Adesso ti rimangono solo gli esercizi supplementari proposti da gugo

P.S.: come accennavo all'inizio, dal momento che $f$ è monotona si potrebbe evitare l'uso dell'integrale di Lebesgue usando, ad esempio, l'integrale di Riemann-Stieltjes (almeno nel caso di $f$ limitata).

[Paolo902]

Rigel, ti ringrazio molto per le spiegazioni, che ho letto con interesse.

Lo studio per l'ultimo esame di questa sessione invernale (Analisi II, appunto ), mi impedisce di dedicarmi al problema.
Appena ho un po' di tempo torno a pensarci su, spero questo non sia un problema per Gugo, visto che restano in sospeso i suoi quesiti.

Grazie

[Paolo902]

Dunque, ho pensato di nuovo un po' al problema, cercando di risolvere gli esercizi lasciati da Gugo, che ringrazio per averli proposti.

Cominciamo dal punto 3.

Ero convinto che se l'uguaglianza (**) [tex]$p\ \int_0^{\overline{T}} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s= \left( \int_0^{\overline{T}} f^\frac{1}{p} (s)\ \text{d} s\right)^p$[/tex] valesse per tutti i valori di [tex]$\overline{T}>0$[/tex], allora [tex]$f$[/tex] sarebbe stata costante (che concorda con le ipotesi perchè una funzione costante è anche debolmente decrescente).

Ma ora ho qualche dubbio in merito, non so bene come cavarmela.

Se la [tex]$\Delta(T)$[/tex] (la funzione deficit del precedente post di Gugo) è identicamente nulla su tutto [tex][0,+\infty)[/tex], allora anche la sua derivata deve essere nulla.
Da qui con i soliti conti (io continuo a usare teorema della media integrale) uno si accorge che deve essere [tex]$f(T)=0$[/tex] oppure [tex]$f(T)=f(\mu_{T})$[/tex], [tex]$\forall T \in (0,+\infty)$[/tex], dove [tex]\mu_T \in (0,T)$[/tex] è tale che [tex]\displaystyle f(\mu_T)=\frac{1}{T} \int_0^{T} f^\frac{1}{p} (s)\ \text{d} s $[/tex].
Però, [tex]$\mu_{T}$[/tex] dipende da [tex]$T$[/tex], e questo mi impedisce di trarre conclusioni.

Ma sinceramente penso che sto ragionando in un modo sbagliato. Anche perchè non so cosa dire alla prima domanda del punto 3. Se esiste un [tex]$\overline{T}$[/tex] in cui la [tex]$\Delta$[/tex] si annulla, non posso dire nulla sul valore di [tex]$\Delta(\overline{T})$[/tex], giusto? E allora come posso fare?

Anche per quanto riguarda il punto 2, non sono ancora arrivato a conclusioni intelligenti. Non riesco a trovare una [tex]$u$[/tex] che vada bene, ci devo ancora pensare.

Grazie anticipatamente.

[gugo82]

L'idea che mi ero fatto, almeno nel caso continuo, è che la [tex]$f(t)$[/tex] dovesse essere costante in [tex]$[0,\bar{T}]$[/tex], essendo [tex]$\bar{T}$[/tex] un numero per il quale [tex]$\Delta (\bar{T})=0$[/tex].
Cerco di confermarvela con una dimostrazione veloce.

Supponiamo che [tex]$\Delta (\bar{T})=0$[/tex]; in tal caso, essendo [tex]$\Delta (T)$[/tex] crescente ed essendo [tex]$\Delta (0)=0$[/tex], è necessariamente [tex]$\Delta (T)=0$[/tex] in ogni [tex]$T\in ]0,\bar{T}]$[/tex], perciò anche [tex]$\Delta^\prime (T)=0$[/tex] in tale intervallo; ma allora per ogni [tex]$T\in ]0,\bar{T}]$[/tex] vale l'uguaglianza nella minorazione per [tex]$\Delta^\prime (T)$[/tex], e ciò accade se e solo se vale l'uguaglianza:

[tex]$\left( \int_0^T f^{\frac{1}{p}} (s)\ \text{d} s\right)^{p-1} f^{\frac{1}{p}} (T) = \left( f^{\frac{1}{p}}(T)\ T \left)^{p-1} f^{\frac{1}{p}} (T)$[/tex],

cioè:

(*) [tex]$f^{\frac{1}{p(p-1)}}(T) \left( \int_0^T f^{\frac{1}{p}}(s)\ \text{d} s -f^{\frac{1}{p}}(T)\ T\right) =0$[/tex].

Dico che la (*) vale in [tex]$T$[/tex] se e solo se [tex]$f(s)$[/tex] è costante in [tex]$]0, T]$[/tex].

Dim.: Distinguiamo due casi.
1. Se [tex]$f(T)> 0$[/tex], allora ha da essere [tex]$f(s)=f(T)$[/tex] per [tex]$s\in ]0,T]$[/tex]: se, per assurdo, così non fosse, esisterebbe un valore [tex]$\vartheta \in ]0,T[$[/tex] tale che [tex]$f(s)>f(T)$[/tex] in [tex]$]0,\vartheta]$[/tex] ergo per la monotonia di [tex]$f(s)$[/tex] risulterebbe:

[tex]$ \int_0^T f^{\frac{1}{p}} (s)\ \text{d} s- f^{\frac{1}{p}} (T)\ T =\int_0^T [f^{\frac{1}{p}}(s)\ \text{d} s -f^{\frac{1}{p}}(T)]\ \text{d} s \geq \int_0^\vartheta [f^{\frac{1}{p}}(s)\ \text{d} s -f^{\frac{1}{p}}(T)]\ \text{d} s>0$[/tex],

contro quanto abbiamo davanti.
2. Se invece [tex]$f(T)=0$[/tex] supponiamo, per assurdo, che esista un numero [tex]$\Theta \in ]0,T[$[/tex] tale che [tex]$f(\Theta )>0$[/tex]; ma tale punto sta in [tex]$]0,\bar{T}]$[/tex], ergo la (*) vale pure con [tex]$\Theta$[/tex] al posto di [tex]$T$[/tex] e, per quanto visto in precedenza, la funzione [tex]$f(s)$[/tex] è costante e positiva in [tex]$]0,\Theta[$[/tex]; posto allora [tex]$\tau :=\sup \{ \Theta \in ]0,T[: f(\Theta)>0\}$[/tex] è [tex]$\tau \leq T$[/tex] ed [tex]$f(\tau) =0$[/tex]; d'altra parte [tex]$f(s)$[/tex] è costante e positiva in [tex]$]0,\tau[$[/tex] (perchè è costante in ogni intervallo del tipo [tex]$]0,\Theta[ \subseteq ]0,\tau[$[/tex]) quindi sussiste la relazione [tex]$\lim_{s\to \tau^-} f(s) >0=f(\tau)$[/tex]; ma ciò è assurdo, in quanto [tex]$f(s)$[/tex] è continua in [tex]$\tau$[/tex]. Conseguentemente se [tex]$f(T)=0$[/tex] allora [tex]$f(s)=0$[/tex] identicamente in [tex]$]0,T[$[/tex]. [tex]$\square$[/tex]

Quanto appena detto implica che [tex]$f(s)$[/tex] è costante in ogni intervallo del tipo [tex]$]0,T[ \subseteq ]0,\bar{T}]$[/tex], ergo essa è costante in tutto [tex]$[0,\bar{T}]$[/tex].

Che ne dite, funziona?
E, nel caso, si può adattare al caso generale?

Inoltre vorrei far notare una cosa.
Mettiamoci sempre nell'ipotesi semplificativa [tex]$f(s)\in C(]0,+\infty[)$[/tex] (così è più facile capire di che parlo) e nell'ipotesi ulteriore [tex]\int_0^{+\infty} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s<+\infty[/tex].

Visto che [tex]$f(s)$[/tex] decresce ed è continua, essa sarà dotata di una inversa, chiamiamola [tex]$\phi (t)$[/tex]; oviamente [tex]$\phi(t)$[/tex] sarà definita in un intervallo del tipo [tex]$]0,\tau[$[/tex] (può benissimo essere [tex]$\tau =+\infty$[/tex]) e si avrà pure:

[tex]$f(s)=\Big|\{t \in ]0,\tau[: \phi (t)>s \}\Big|=\int_0^{\tau} \chi_{\{ \phi >s\}}(t)\ \text{d} t$[/tex]

ove [tex]$|\cdot|$[/tex] denota la misura unidimensionale di Lebesgue e [tex]$\chi_{\{\phi >s\}}(t)$[/tex] è la funzione caratteristica dell'insieme [tex]$\{ t\in ]0,+\infty[:\phi(t) >s\}$[/tex], denotato sinteticamente con [tex]$\{ \phi >s\}$[/tex], che è un intervallo d'estremo inferiore [tex]$0$[/tex] (per capire questa relazione può essere utile farsi un disegnino); ma allora nell'integrale [tex]p\int_0^{+\infty} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s[/tex] possiamo sostituire l'espressione appena trovata per [tex]$f(s)$[/tex]: abbiamo:

[tex]$p\int_0^{+\infty} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s =p\int_0^{+\infty} s^{p-1} \int_0^{\tau} \chi_{\{\phi >s\}}(t)\ \text{d} t\ \text{d} s$[/tex]

e, scambiando l'ordine d'integrazione (cosa che si può sempre fare per il teorema di Fubini) troviamo:

[tex]$p\int_0^{+\infty} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s =\int_0^{\tau} \int_0^{+\infty} ps^{p-1}\chi_{\{\phi >s\}}(t)\ \text{d} s\ \text{d} t$[/tex];

fissato [tex]$t$[/tex], l'integrale più interno è:

[tex]$\int_0^{+\infty} ps^{p-1} \chi_{\{\phi >s\}} (t)\ \text{d} s =\int_0^{\phi(t)} ps^{p-1}\ \text{d} s =\Big[ s^p\Big]_0^{\phi (t)}=\phi^p (t)$[/tex],

quindi abbiamo trovato la sorprendente uguaglianza:

[tex]$p\int_0^{+\infty} f(s)\ s^{p-1}\ \text{d} s =\int_0^{\tau} \phi^p (t)\ \text{d} t=\lVert \phi \rVert_p^p$[/tex].

Conseguentemente possiamo leggere la disuguaglianza di Rigel come una condizione sufficiente affinché luna funzione continua e decrescente [tex]$\phi (t)$[/tex] appartenga a [tex]$L^p(]0,\tau[)$[/tex]: infatti tale disuguaglianza assicura che non appena [tex]\int_0^{+\infty} [\phi^{-1}(s)]^{\frac{1}{p}}\ \text{d} s<+\infty[/tex], cioè non appena [tex]$\phi^{-1} (s)\in L^{\frac{1}{p}} (]0,+\infty[)$[/tex], allora [tex]$\lVert \phi \rVert_p^p<+\infty$[/tex].
A proposito è interessante notare una cosa, cioè che una sommabilità bassa sulla funzione inversa [tex]$\phi^{-1}(s)$[/tex] ([tex]\frac{1}{p}[/tex] è piccolo quando [tex]$p$[/tex] è grande!) implica una sommabilità alta sulla funzione [tex]$\phi (t)$[/tex].
D'altra parte questo ce lo aspettavamo: infatti, ad esempio la funzione:

[tex]$\phi (t)=\frac{1}{\sqrt[5]{t}}$[/tex] in [tex]$]0,1[$[/tex]

ha:

[tex]$\phi^{-1}(s) =\begin{cases} 1 &\text{, se $0\leq s\leq 1$} \\ \frac{1}{s^5} &\text{, se $1\leq s$}\end{cases}$[/tex]

sicché è [tex]$\phi^{-1} \in L^{\frac{1}{p}}$[/tex] solo se [tex]\frac{5}{p}>1[/tex], ossia se [tex]$p<5$[/tex].

Queste considerazioni possono essere ulteriormente generalizzate: infatti se assegnamo una funzione misurabile [tex]$u:\mathbb{R}^N \supseteq \Omega \to \mathbb{R}$[/tex] continua, si può sempre costruire una funzione unidimensionale [tex]$\phi (t)$[/tex], definita in [tex]$]0,|\Omega|_N[$[/tex], continua, decrescente e positiva tale che:

[tex]$\lVert u\rVert_{p,\Omega} =\lVert \phi\rVert_p$[/tex];

tale funzione [tex]$\phi$[/tex] si chiama riordinamento decrescente di [tex]$u$[/tex] e si denota con [tex]$u^*$[/tex] (o [tex]$u^\sharp$[/tex]) di solito; d'altro canto, la funzione [tex]$\phi^{-1}$[/tex] è di solito chiamata fuzione di distribuzione di [tex]$u$[/tex] ed è denotata con [tex]$\mu_u(s)$[/tex].
Ma allora la disuguaglianza di Rigel importa che una condizione sufficiente affinché [tex]$u\in L^p(\Omega)$[/tex] è che [tex]$\mu_u \in L^{\frac{1}{p}}(]0,|\Omega|_N[)$[/tex].


P.S.: Chi volesse approfondire il tema dei riordinamenti, può consultare ad esempio il Lieb-Loss (primi tre capitoli, se non erro) oppure il libro di Leoni sugli spazi di Sobolev.