[ex] convergenza in legge
Per prendere un pò la mano con la convergenza in legge vi propongo due esercizi che mi sono venuti in mente per case, non difficili, ma istruttivi.
Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni:
A1. Se $X_n \to X$ e $Y_n \to Y$ in legge (o come dicono altri, in distribuzione), allora $X_nY_n\to XY$ in legge.
A2. Sia $\tau_n$ una successione di v.a. tali che $\tau_n \to +\infty$ qc, allora se $X_n\to X$ in legge, si ha che $X_{\tau_n}\to X$ in legge.
A2bis. Si possono rilassare le ipotesi di convergenza su $\tau_n$? (questa è una domanda aggiuntiva, che mi è venuta in mente ora)
Ciaooo
Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni:
A1. Se $X_n \to X$ e $Y_n \to Y$ in legge (o come dicono altri, in distribuzione), allora $X_nY_n\to XY$ in legge.
A2. Sia $\tau_n$ una successione di v.a. tali che $\tau_n \to +\infty$ qc, allora se $X_n\to X$ in legge, si ha che $X_{\tau_n}\to X$ in legge.
A2bis. Si possono rilassare le ipotesi di convergenza su $\tau_n$? (questa è una domanda aggiuntiva, che mi è venuta in mente ora)
Ciaooo
Risposte
ho poensato che tutto sommato poteva andare bene anche per la sezione "pensare un pò di più".
Dunque l'ho spostato.
Dunque l'ho spostato.
Ciao fu.
Allora per il primo è falso.
Considera Z normale standard ed $X_n=Z$ (che ovviamente converge in distribuzione a Z) e $Y_n=(-1)^n Z$ che anchessa converge a Z in distribuzione.
\(\displaystyle W_n=X_nY_n=(-1)^nZ^2 \) non converge in distribuzione.
Per la seconda io farei un ragionamente piu' proprio dell'analisi.
Visto che $tau_n to +infty$ q.c. abbiamo che per ogni $N$ esiste $M$ tale che $tau_n>N$ per ogni $n>M$.
Siccome $forall varepsilon>0$ $exists N$ tale che $|F_{X_n}(x)-F_X(x)|N$
allora esiste $M>0$ tale che $tau_n>N$ e dunque $|F_{tau_n}(x)-F_X(x)|M$.
Allora per il primo è falso.
Considera Z normale standard ed $X_n=Z$ (che ovviamente converge in distribuzione a Z) e $Y_n=(-1)^n Z$ che anchessa converge a Z in distribuzione.
\(\displaystyle W_n=X_nY_n=(-1)^nZ^2 \) non converge in distribuzione.
Per la seconda io farei un ragionamente piu' proprio dell'analisi.
Visto che $tau_n to +infty$ q.c. abbiamo che per ogni $N$ esiste $M$ tale che $tau_n>N$ per ogni $n>M$.
Siccome $forall varepsilon>0$ $exists N$ tale che $|F_{X_n}(x)-F_X(x)|
allora esiste $M>0$ tale che $tau_n>N$ e dunque $|F_{tau_n}(x)-F_X(x)|
Ciao,
faccio notare che il primo quesito è legato strettamente al teorema di Slutsky, quindi la sua validità generale non è garantita come dimostrato da Daje.
Per il bis della seconda domanda (la prima parte l'ha fatta già Daje) se osserviamo che:
$P(X_{\tau_n}\leq t)=P(X_{\tau_n}\leq t|\tau_n
direi che non mi sembra così semplice rilassare le ipotesi sulla convergenza di $\tau_n$.
faccio notare che il primo quesito è legato strettamente al teorema di Slutsky, quindi la sua validità generale non è garantita come dimostrato da Daje.
Per il bis della seconda domanda (la prima parte l'ha fatta già Daje) se osserviamo che:
$P(X_{\tau_n}\leq t)=P(X_{\tau_n}\leq t|\tau_n
direi che non mi sembra così semplice rilassare le ipotesi sulla convergenza di $\tau_n$.
Esatto.
Sul secondo punto la dimostrazione penso si possa anche riapplicare tale quale al caso di convergenza P-qc.
Per quanto riguarda il rilassare le ipotesi: Sono abbastanza convinto (non svelo i calcoli, che sono ancora abbozzati, sommersi da mille altri calcoli più universitari) che basti supporre che $\tau_n\to +\infty$ in probabilità...
C'è un pezzettino del mio pensiero che va sistemato, poi ne sarò certo o lo confuterò (come accade la maggior parte delle volte).
Voi che ne pensate?
Sul secondo punto la dimostrazione penso si possa anche riapplicare tale quale al caso di convergenza P-qc.
Per quanto riguarda il rilassare le ipotesi: Sono abbastanza convinto (non svelo i calcoli, che sono ancora abbozzati, sommersi da mille altri calcoli più universitari) che basti supporre che $\tau_n\to +\infty$ in probabilità...
C'è un pezzettino del mio pensiero che va sistemato, poi ne sarò certo o lo confuterò (come accade la maggior parte delle volte).
Voi che ne pensate?
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