[EX] Comportamento di funzioni convesse sul bordo

[gugo82]

Esercizio:

Siano \(I=(a,b)\) un intervallo non ridotto ad un punto ed \(f:I\to \mathbb{R}\) convessa.

1. Provare che se \(I\) è dotato di minimo, i.e. se \(a\in I\), e se \(\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) = l\) allora:
\[
l\leq f(a)\; .
\]

2. In ogni caso, è vero o no che \(\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)\) esiste sempre (finiti o infiniti che siano e \(a\) ed il limite)?

[Frink1]

Per quanto riguarda il punto 1.

1. Sia $B_{\epsilon}(a)$ un intorno destro di $a$ di raggio $\epsilon$. Per convessità vale la relazione
\[
f\left(\frac{a+x}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(x)}{2}
\]
Se prendo $x$ nella ball di cui sopra avrò ad esempio
\[
f\left(\frac{a+a+\frac{\epsilon}{2}}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(a+\frac{\epsilon}{2})}{2} \Rightarrow 2f\left(a+\frac{\epsilon}{4}\right) \leq f(a)+f\left(a+\frac{\epsilon}{2}\right)
\]

Per $\epsilon \rightarrow 0$ avrò allora
\[
2l \leq f(a)+l \Rightarrow l \leq f(a)
\]

Questo vale per $a$ finito. Per $a$ infinito non saprei come interpretare $f(a)$.

[gugo82]

@ Frink: In 1 sei automaticamente nella condizione \(a>-\infty\), perché te lo garantisce l'ipotesi che \(I\) sia dotato di minimo (cosicché \(a=\inf I=\min I \in I\) è un numero reale in automatico).
Carina la soluzione.
Io l'avevo pensata così:

Per assurdo, suppongo \(l>f(a)\). Ma allora si può scegliere un \(x_0>a\) e sufficientemente vicino ad \(a\) in modo che \(f(x_0)>f(a)\) (per permanenza del segno). Scelto a casaccio \(x\in ]a,x_0[\) per convessità ho:
\[
f(x)\leq \frac{x_0-x}{x_0-a} f(a) + \frac{x-a}{x_0-a} f(x_0)
\]
da cui:
\[
l= \lim_{x\to a^+} f(x) \leq \lim_{x\to a^+} \frac{x_0-x}{x_0-a} f(a) + \frac{x - a}{x_0-a} f(x_0) = f(a)\; ,
\]
assurdo.

Geometricamente, questo ragionamento equivale a dire che il segmento d'estremi \((a,f(a))\) e \((x_0,f(x_0))\) "esce" dall'epigrafico di \(f\) se \(l>f(a)\).