[EX] Classe limite

[Rigel1]

Propongo il seguente esercizio, del quale non conosco la soluzione (di conseguenza non mi è noto il livello di difficoltà, ma forse qualcuno lo ha già incontrato):
determinare la classe limite della successione \(a_n := n \sin (n)\), \(n\in\mathbb{N}\).

[Gaal Dornick]

Probabilmente può essere utile questa discussione, di qualche tempo fa.
Non risponde, ma potrebbe essere utile.
densita-di-sin-n-n-in-nn-in-t28285.html

[Gaal Dornick]

A questo punto direi: è facile costruire esempi di successioni che vanno a $0$ (si estrae dalla successione $a_n$ tale che $sin(a_n)\to 0$ una successione che va a $0$ sufficientemente velocemente) e a $+\infty$ (si prende una successione $a_n$ tale che $sin(a_n)$ va a un qualunque numero non nullo).

Continuo a pensarci.

[dissonance]

"Gaal Dornick":A questo punto direi: è facile costruire esempi di successioni che vanno a $0$ (si estrae dalla successione $a_n$ tale che $sin(a_n)\to 0$ una successione che va a $0$ sufficientemente velocemente)

Non credo che questo sia "facile". Penso anzi che sia qui tutto il busillis. Come fai a prendere una successione che va a zero con la velocità che vuoi? L'unico modo che mi viene in mente è quello di scegliere gli \(a_n\) molto distanziati. Ma così poi il termine \(a_n\) che moltiplica \(\sin a_n\) finirà col crescere più rapidamente, tanto più quanto più rapidamente \(\sin a_n\) va a zero, e non abbiamo concluso nulla.

Secondo me occorre ispezionare bene il meccanismo di selezione di una estratta di \(\sin n\) convergente a zero e vedere se la corrispondente estratta di \(n\sin n\) va a zero pure lei. Questa nota:

http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=s ... 0g&cad=rja

potrebbe essere utile.

[Rigel1]

Il post che hai citato riguarda il fatto (relativamente elementare) che \(\{\sin n: n\in\mathbb{N}\}\) è denso in \([-1,1]\).

Per visualizzare meglio il problema, conviene considerare la successione \((e^{in})\) in \(\mathbb{C}\); abbiamo dunque punti sulla circonferenza unitaria che si ottengono ognuno dal precedente attraverso una rotazione di un radiante in senso antiorario. Fissato \(\epsilon > 0\), sia \(q > 2\pi/\epsilon\) un intero. Dividiamo la circonferenza in \(q\) archi di uguale lunghezza. Se consideriamo i primi \(q+1\) punti della successione, per il principio della piccionaia esiste un arco che contiene due di questi punti, diciamo \(e^{ir}\) ed \(e^{is}\) con \(0\leq r < s \leq q\). Posto \(p := s-r\), avremo che due punti consecutivi della successione \((e^{ipk})_k\) differiscono per una rotazione di angolo inferiore a \(2\pi/q < \epsilon\).

Mi sembra invece che questo problema sia più complicato (ma potrei essere io ad avere le fette di salame sugli occhi...).
Chiaramente, è facile vedere che \(\pm\infty\) stanno nella classe limite.
Usando l'approssimazione diofantea di \(\pi\) si può far vedere (salvo miei errori) che esiste almento un punto \(\alpha\in [-1/\sqrt{5}, 1/\sqrt{5}]\) che appartiene alla classe limite.

[Gaal Dornick]

Effettivamente sono stato affrettato.
Ciò che volevo usare è che: se $a_n$ va a 0, allora (a meno di estratte) è vero che $n a_n$ va a 0. Scusate.

Vedete un po'. (tutto, per $n$ grande).

Posso dire che $n sin(\alpha/n) \to \alpha$, per $n$ grande (basta "l'approssimazione di piccole oscillazioni" o Taylor che dir si voglia). Dopodichè trovo una successione $a_{m,n}$ tale che $sin(a_{m,n})\to sin(\alpha/n)$, e poi diagonalizzo.

Funziona anche per $\alpha=0$?

[Rigel1]

Se ho capito ciò che dici, nel tuo ragionamento arrivi a costruire qualcosa del tipo \(m_k \sin(n_k)\) con due sottosuccessioni distinte, \((n_k)_k\) ed \((m_k)_k\), dei naturali. Ma purtroppo in questo modo non hai una sottosuccessione della successione di partenza.

[Gaal Dornick]

Sono tornato online dopo aver pensato che quel che dico è sbagliato.
Ok, ora torno a lavorare, poi ci penso veramente.

Scusate per gli sproloqui.

[gugo82]

Ho provato a fare un disegnino di \(a_n:=n\, \sin n\) e, devo dire, che il pattern è davvero interessante.