[EX] Calcolare qualche integrale...
Esercizio. $X = [0,1]$. Siano $(X , \mathcal{B}_{[0,1]}, \mu_L )$, $(X , \mathcal{B}_{[0,1]}, \gamma)$ due spazi con misura[nota]Qui $\mathcal{B}_{[0,1]}$ indica la $\sigma$-algebra dei boreliani di $[0,1]$, $\gamma$ la misura di conteggio e $\mu_L$ la misura di Lebesgue.[/nota]. Sia $D \subset [0,1]^2$ l'insieme $\{ (x,x) : x \in [0,1]\}$. Indicando con $\mu_L \times \gamma$ la misura prodotto, calcolare i seguenti integrali:
\[ \int \int \chi_D \text{ d}\mu_L \text{ d}\gamma \;\; , \;\; \int \int \chi_D \text{ d}\gamma \text{ d}\mu_L \;\; , \;\; \int \chi_D \text{ d} ( \mu_L \times \gamma ) \;. \]
Il conto è preferibilmente rivolto a chi è alle prime armi con l'integrale di Lebesgue. Buon lavoro!
\[ \int \int \chi_D \text{ d}\mu_L \text{ d}\gamma \;\; , \;\; \int \int \chi_D \text{ d}\gamma \text{ d}\mu_L \;\; , \;\; \int \chi_D \text{ d} ( \mu_L \times \gamma ) \;. \]
Il conto è preferibilmente rivolto a chi è alle prime armi con l'integrale di Lebesgue. Buon lavoro!
Risposte
Ciao Seneca potresti ricordare come è fatta la counting measure plz?
Per $\chi_D$ intendi la funzione caratteristica?
Per $d \mu d\gamma$ intendi qualcosa di diverso da $d (\mu \times \gamma)$ immagino... potresti spiegare la differenza?
Per $\chi_D$ intendi la funzione caratteristica?
Per $d \mu d\gamma$ intendi qualcosa di diverso da $d (\mu \times \gamma)$ immagino... potresti spiegare la differenza?
Certamente. La misura di conteggio è la misura "che conta i punti", cioè la misura di conteggio di $A \subset Y$ è il numero di elementi di $A$ se $A$ è finito ed è $+\infty$ altrimenti.
$\chi_D$ è la funzione caratteristica di $D$.
\[ \int \int \chi_D \text{ d}\mu_L \text{ d}\gamma \;\; , \;\; \int \int \chi_D \text{ d}\gamma \text{ d}\mu_L \;\; , \;\; \int \chi_D \text{ d} ( \mu_L \times \gamma ) \;. \]
I primi due integrali sono gli integrali iterati, cioè integrando prima rispetto alla misura di Lebesgue su $X$ e poi rispetto alla misura di conteggio su $X$ (e viceversa). Il terzo integrale, invece, è l'integrale di $\chi_D$ rispetto alla misura prodotto (quella che si ottiene dal procedimento di estensione di Caratheodory, per capirci...).
$\chi_D$ è la funzione caratteristica di $D$.
\[ \int \int \chi_D \text{ d}\mu_L \text{ d}\gamma \;\; , \;\; \int \int \chi_D \text{ d}\gamma \text{ d}\mu_L \;\; , \;\; \int \chi_D \text{ d} ( \mu_L \times \gamma ) \;. \]
I primi due integrali sono gli integrali iterati, cioè integrando prima rispetto alla misura di Lebesgue su $X$ e poi rispetto alla misura di conteggio su $X$ (e viceversa). Il terzo integrale, invece, è l'integrale di $\chi_D$ rispetto alla misura prodotto (quella che si ottiene dal procedimento di estensione di Caratheodory, per capirci...).
0, 1,+ $\infty$ ?
E Fubini è corso a nascondersi?
E Fubini è corso a nascondersi?
Esatto. 
Ottimo, penso di lasciare il piacere della dimostrazione a qualcun altro... Soprattutto il terzo punto potrebbe essere rognoso da formalizzare...
Anyway conto interessante
... Le ipotesi di Fubini, che ho rivisto velocemente, cadono in vari punti... forse il principale è che la counting measure non è $\sigma$ finita.. avendo un po' di tempo, si potrebbe riflettere sul "perchè" questa ipotesi è necessaria e fa cadere il risultato... (non ho tempo per farlo ma credo si impari qualcosa tu hai fatto qualche riflessione al riguardo?)
Anyway conto interessante
... Le ipotesi di Fubini, che ho rivisto velocemente, cadono in vari punti... forse il principale è che la counting measure non è $\sigma$ finita.. avendo un po' di tempo, si potrebbe riflettere sul "perchè" questa ipotesi è necessaria e fa cadere il risultato... (non ho tempo per farlo ma credo si impari qualcosa tu hai fatto qualche riflessione al riguardo?)
In effetti è proprio la non $\sigma$-finitezza dello spazio $([0,1] , \mathcal{B}_{[0,1]} , \gamma)$ che "frega".
Forse la parte un po' meno banale dell'integrale di cui sopra rispetto alla misura prodotto è proprio quella di far vedere che quell'integrale ha senso, cioè che la funzione caratteristica di $D$ risulti misurabile (o, equivalentemente, che $D$ sia $\mu_L \times \gamma$-misurabile); credo comunque che l'estensore dell'esercizio lo abbia supposto noto.
Forse la parte un po' meno banale dell'integrale di cui sopra rispetto alla misura prodotto è proprio quella di far vedere che quell'integrale ha senso, cioè che la funzione caratteristica di $D$ risulti misurabile (o, equivalentemente, che $D$ sia $\mu_L \times \gamma$-misurabile); credo comunque che l'estensore dell'esercizio lo abbia supposto noto.
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