[EX] Analisi 2, punti estremanti e insiemi di livello
Confutare o dimostrare il seguente risultato:
Esercizio: Dato $a \in RR$, sia $f : RR^2 -> RR$, $f \in C^1$, tale che $\Gamma_a = \{ (x,y) \in RR^2 | f(x,y) = a \}$ sia il sostegno di una curva semplice chiusa con frontiera regolare a tratti. $\Gamma_a$ divide $RR^2$ in due componenti connesse: dimostrare che nella componente connessa limitata c'è almeno un punto di minimo/massimo locale per $f$.
Esercizio: Dato $a \in RR$, sia $f : RR^2 -> RR$, $f \in C^1$, tale che $\Gamma_a = \{ (x,y) \in RR^2 | f(x,y) = a \}$ sia il sostegno di una curva semplice chiusa con frontiera regolare a tratti. $\Gamma_a$ divide $RR^2$ in due componenti connesse: dimostrare che nella componente connessa limitata c'è almeno un punto di minimo/massimo locale per $f$.
Risposte
Propongo anche la seguente variante:
Sia \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) una funzione continua.
Dato \(a\in\mathbb{R}\) e definito \(A:= \{x\in\mathbb{R}^n:\ f(x) = a\}\), supponiamo che \(\mathbb{R}^n\setminus A\) contenga almeno una componente connessa \(B\) limitata (non vuota).
Dimostrare che \(f\) ammette un punto di estremo relativo in \(B\).
Sia \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) una funzione continua.
Dato \(a\in\mathbb{R}\) e definito \(A:= \{x\in\mathbb{R}^n:\ f(x) = a\}\), supponiamo che \(\mathbb{R}^n\setminus A\) contenga almeno una componente connessa \(B\) limitata (non vuota).
Dimostrare che \(f\) ammette un punto di estremo relativo in \(B\).
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