[EX] - A proposito di prodotti infiniti...

[Sk_Anonymous]

Un paio di esercizi abbastanza semplici. Possiedo la soluzione per entrambi.

Esercizio 1 - Un criterio di convergenza
Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) un successione reale a termini tutti positivi. Provare che il prodotto infinito \(\displaystyle \prod_{n=0}^{\infty} (a_{n}+1) \) converge se e solo se la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \) è convergente.


Esercizio 2 - Un prodotto infinito notevole
Mostrare che \[\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n^{2}} \right) = \frac{1}{2} \]
e dedurre poi che \[\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \log \left( \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} \right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \]

[Covenant]

"Delirium":Un paio di esercizi abbastanza semplici. Possiedo la soluzione per entrambi.

Esercizio 1 - Un criterio di convergenza
Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) un successione reale a termini tutti positivi. Provare che il prodotto infinito \(\displaystyle \prod_{n=0}^{\infty} (a_{n}+1) \) converge se e solo se la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \) è convergente.


Esercizio 2 - Un prodotto infinito notevole
Mostrare che \[\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n^{2}} \right) = \frac{1}{2} \]
e dedurre poi che \[\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \log \left( \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} \right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \]

Intanto rispondo al primo.

Abbiamo \(\displaystyle \prod_{n=0}^{\infty} (a_{n}+1) \) che posso scrivere come:
$e^ln (prod_(n=0)^oo (a_n+1)) = e^(sum_(n=0)^oo ln(a_n+1))$ per la proprietà del logaritmo, ne consegue che affinchè converga il prodotto iniziale deve necessariamente convergere la serie: $sum_(n=0)^oo ln(a_n+1)$. Il termine generale $ln(a_n+1)$ è infinitesimo dello stesso ordine di $a_n$ in virtù del limite notevole del logaritmo. Quindi $sum_(n=0)^oo ln(a_n+1) $ ha lo stesso carattere di $sum_(n=0)^oo a_n$ e ciò conclude la dimostrazione. Ovviamente è lecito usare il confronto asintotico poichè $a_n$ è a termini positivi.

[Covenant]

Ed ecco il secondo che è una sorta di produttoria telescopica:

Ovviamente il prodotto è convergente ed è facile dimostrarlo col ragionamento seguito al primo punto.

$p_m=prod_(n=2)^m (1-1/n^2) = prod_(n=2)^m(1-1/n)*(1+1/n) = (1+1/2)*(1-1/2)*(1+1/3)*(1-1/3)*...*$ $...*(1-1/m)*(1+1/m)$

riordiniamo ora i termini in modo tale da evidenziare il prodotto dei seguenti fattori: $(1+1/k)*(1-1/(k+1)) = 1-1/(k+1)+1/k-1/(k*(k+1)) = 1 \ \ \ AA \ \ k: 2<=k<=m-1$. A sopravvivere sono i fattori $(1-1/2)*(1+1/(m))$ e allora $prod_(n=2)^oo (1-1/n^2) = lim_(mtooo) p_m = lim_(mtooo) (1-1/2)*(1+1/(m)) = 1/2$.

L'ultimo punto è facile, basta prendere il logaritmo di ambo i membri, usare le proprietà del logaritmo per ricondursi alla serie del logaritmo (come è stato fatto nel primo esercizio) e ricordarsi che $sum_(n=1)^oo (-1)^n/n = -ln2=ln(1/2)$

[gugo82]

1.

Si ha:
\[
1+\sum_{n=0}^N a_n \leq \prod_{n=0}^N (1+a_n)\leq \exp \left( \sum_{n=0}^N a_n\right)\; .
\]
La prima disuguaglianza è evidente, giacche il membro sinistro contiene solo due degli addendi che si ottengono sviluppando il termine centrale; la seconda disuguaglianza segue da \(e^x\geq 1+x\) e dalle proprietà dell'esponenziale.
Le (1) implicano che il prodott infinito converge se e solo se converge la serie.

2.

Il prodotto infinito converge, per il criterio illustrato sopra.
Si ha:
\[
\begin{split}
\prod_{n=2}^N \left( 1-\frac{1}{n^2}\right) &= \prod_{n=2}^N \left( 1-\frac{1}{n}\right)\ \left( 1+\frac{1}{n}\right)\\
&= \prod_{n=2}^N \frac{n-1}{n}\ \frac{n+1}{n}\\
&= \frac{1}{2}\ \prod_{n=2}^{N-1} \frac{n}{n+1}\ \prod_{n=2}^{N-1} \frac{n+1}{n}\ \frac{N+1}{N}\\
&= \frac{N+1}{2N}
\end{split}
\]
da cui la tesi, passando al limite per \(N\to \infty\).

La seconda uguaglianza segue da quella appena dimostrata, dalle proprietà del logaritmo e dal teorema di Abel applicato allo sviluppo di MacLaurin del logaritmo.

[Sk_Anonymous]

Bravi.

Poi magari rilancio; ho trovato ancora un paio di esercizi carini in merito.

[Sk_Anonymous]

Ecco il rilancio promesso:
Sia \(\displaystyle p_{1}, \ p_{2} , ... \) la successione dei numeri primi. Provare che il prodotto infinito \[\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{p_{k}}} \] diverge a \(\displaystyle + \infty \)

[Covenant]

Per la Formula prodotto di Eulero si ha: $\zeta(s)= sum_(n=1)^oo 1/n^s = prod_p 1/(1-p^(-s))$. La richiesta si riferisce al caso $s=1$, quindi: $sum_(n=1)^oo 1/n = prod_p 1/(1-p^(-1))$ e la serie armonica come è risaputo diverge.
Ho omesso la dimostrazione della prima formula, ma è facilmente rintracciabile in diverse fonti, ad esempio si trova qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_prodotto_di_Eulero . Lascio a chi non la conosceva il gusto di provarla.

[Sk_Anonymous]

Riporto in alto per chiedere un piccolo favore: stavo cercando di provare questo secondo rilancio attraverso un esercizio "guidato" del De Marco-Mariconda, ma sono incappato in un ostacolo che non riesco ad oltrepassare; mi sono pertanto servito di un cannone per ammazzare delle mosche, come si suol dire.
Ho scritto un breve pdf in LaTeX in barba a tutti i canoni d'ordine d'esposizione e quant'altro, ma è chiaramente un work-in-progress, e mi piacerebbe avere un vostro parere.
Trovate il documento qui.
In particolare mi piacerebbe ricevere un parere intorno alla disuguaglianza (1.9), e a tutto quello che c'è dopo (cioè se quello che c'è dopo è corretto).

Ringrazio

[Covenant]

"Delirium":Riporto in alto per chiedere un piccolo favore: stavo cercando di provare questo secondo rilancio attraverso un esercizio "guidato" del De Marco-Mariconda, ma sono incappato in un ostacolo che non riesco ad oltrepassare; mi sono pertanto servito di un cannone per ammazzare delle mosche, come si suol dire.
Ho scritto un breve pdf in LaTeX in barba a tutti i canoni d'ordine d'esposizione e quant'altro, ma è chiaramente un work-in-progress, e mi piacerebbe avere un vostro parere.
Trovate il documento qui.
In particolare mi piacerebbe ricevere un parere intorno alla disuguaglianza (1.9), e a tutto quello che c'è dopo (cioè se quello che c'è dopo è corretto).

Ringrazio

Non riesco ad accedere al file su Dropbox...

[Sk_Anonymous]

Prova ora.

[Covenant]

Nulla mi da:

Error (403)
It seems you don't belong here! You should probably sign in. Check out our Help Center and forums for help, or head back to home.

Anche se l'accesso l'ho fatto. Non so se è un problema mio...

[Sk_Anonymous]

No no, sono io l'incapace... Prova da qui.

[Sk_Anonymous]

Nessuno ha voglia di dare un'occhiata...?

[gugo82]

@Delirium: Quella disuguaglianza mi sembra un po' azzardata... Da dove l'hai tirata fuori?
Hai provato a dimostrarla? Se sì, come?

[Sk_Anonymous]

Ciao gugo, grazie per aver dato un'occhiata. Sì, la disuguaglianza pare anche a me molto azzardata, e in effetti non avevo/ho la più pallida idea di come provarla. Mi sono affidato solo all'intuito. Più tardi posto magari qualche osservazione più precisa in merito.
Quanto invece al ragionamento che ho fatto servendomi del teorema dei numeri primi, ti sembra che possa funzionare?

[gugo82]

Davvero non sò, Delirium. Si dovrebbe controllarlo.