Estensioni non semplici
Un problemino interessante, nato a seguito di una discussione con il docente di Teoria dei Campi e risolto da me ed un mio amico. Lo propongo perché lo ritengo abbastanza istruttivo, se poi è un fatto universalmente noto, pazienza.
Esercizio. Trovare un'estensione (di campi) [tex]F \subseteq K[/tex] finita ma non semplice.
Esercizio. Trovare un'estensione (di campi) [tex]F \subseteq K[/tex] finita ma non semplice.
Risposte
L'altro giorno stavo pensando all'estensione [tex]\mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y)[/tex], ma devo ancora capire come si fa a trovare argomenti per la non-semplicita'..
L'esempio è quello giusto, vi lascio il gusto di dimostrare che non può essere semplice (non è nulla di complicato).
Trovato, eccolo qui 
La prendo un po' alla lontana, che non mi fa male. Mi serve il seguente
Lemma. Sia $A$ un anello commutativo unitario (in cui [tex]1 \neq 0[/tex]) e integro. Allora in $A[X]$, $X-a$ è un elemento primo, per ogni $a in A$.
Dovremmo avere ora tutti gli strumenti. L'idea è quella di Martino: consideriamo l'estensione [tex]\mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y)[/tex] e mostriamo che [tex][\mathbb{F}_p(x,y) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p^{2}[/tex].
Dal Lemma, abbiamo che l'elemento $x^{p}$ è primo in $\mathbb{F}_p[x^p,y^p]$: per il ben noto criterio di Eisenstein, il polinomio
[tex]T^p - x^p \in \mathbb{F}_{p}(x^{p}, y^{p})[T][/tex] è irriducibile; avendo $x$ come zero, ne segue che è il suo polinomio minimo su [tex]\mathbb{F}_p(x^p,y^p)[/tex]. Abbiamo quindi dimostrato che [tex][\mathbb{F}_p(x) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p[/tex]. Analogamente si conclude per $y^{p}$: dalla formula dei gradi, si ha il risultato voluto, cioè [tex][\mathbb{F}_p(x,y) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p^{2}[/tex].
Dunque l'estensione è finita. Notiamo per inciso che non è separabile, giacché il polinomio minimo $T^p-x^p$ ha radici multiple. Ora dobbiamo mostrare che non può esistere un elemento primitivo per questa estensione, cioè che non riusciamo a trovare $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$ tale che $\mathbb{F}_p(x,y)=\mathbb{F}_p(x^p,y^p)(\alpha)$.
Se $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$, allora è della forma $\alpha= \frac{f(x,y)}{g(x,y)}$, con $f,g$ polinomi a coefficienti in $\mathbb{F}_p$ ($g$ non nullo). Calcoliamo $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p$ e prepariamoci alla sorpresa: tenendo conto da una parte del piccolo teorema di Fermat, dall'altra che in caratteristica $p$ succede che $(x+y)^p=x^p+y^p$, si ha $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p = \frac{f(x^p,y^p)}{g(x^p,y^p)} \in \mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ (confermate?).
Ma allora abbiamo finito: ogni elemento di $\mathbb{F}_p(x,y)$ ha al più grado $p$ su $\mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ e, dunque, non può generare tutta l'estensione.
Che cosa ne dite? Spero di non aver detto scemenze; in tal caso, abbiate pietà, non ho mai seguito un corso di Teoria dei Campi
Grazie per eventuali pareri
"Martino":
L'altro giorno stavo pensando all'estensione [tex]\mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y)[/tex], ma devo ancora capire come si fa a trovare argomenti per la non-semplicità.
La prendo un po' alla lontana, che non mi fa male. Mi serve il seguente
Lemma. Sia $A$ un anello commutativo unitario (in cui [tex]1 \neq 0[/tex]) e integro. Allora in $A[X]$, $X-a$ è un elemento primo, per ogni $a in A$.
Dovremmo avere ora tutti gli strumenti. L'idea è quella di Martino: consideriamo l'estensione [tex]\mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y)[/tex] e mostriamo che [tex][\mathbb{F}_p(x,y) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p^{2}[/tex].
Dal Lemma, abbiamo che l'elemento $x^{p}$ è primo in $\mathbb{F}_p[x^p,y^p]$: per il ben noto criterio di Eisenstein, il polinomio
[tex]T^p - x^p \in \mathbb{F}_{p}(x^{p}, y^{p})[T][/tex] è irriducibile; avendo $x$ come zero, ne segue che è il suo polinomio minimo su [tex]\mathbb{F}_p(x^p,y^p)[/tex]. Abbiamo quindi dimostrato che [tex][\mathbb{F}_p(x) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p[/tex]. Analogamente si conclude per $y^{p}$: dalla formula dei gradi, si ha il risultato voluto, cioè [tex][\mathbb{F}_p(x,y) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p^{2}[/tex].
Dunque l'estensione è finita. Notiamo per inciso che non è separabile, giacché il polinomio minimo $T^p-x^p$ ha radici multiple. Ora dobbiamo mostrare che non può esistere un elemento primitivo per questa estensione, cioè che non riusciamo a trovare $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$ tale che $\mathbb{F}_p(x,y)=\mathbb{F}_p(x^p,y^p)(\alpha)$.
Se $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$, allora è della forma $\alpha= \frac{f(x,y)}{g(x,y)}$, con $f,g$ polinomi a coefficienti in $\mathbb{F}_p$ ($g$ non nullo). Calcoliamo $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p$ e prepariamoci alla sorpresa: tenendo conto da una parte del piccolo teorema di Fermat, dall'altra che in caratteristica $p$ succede che $(x+y)^p=x^p+y^p$, si ha $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p = \frac{f(x^p,y^p)}{g(x^p,y^p)} \in \mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ (confermate?).
Ma allora abbiamo finito: ogni elemento di $\mathbb{F}_p(x,y)$ ha al più grado $p$ su $\mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ e, dunque, non può generare tutta l'estensione.
Che cosa ne dite? Spero di non aver detto scemenze; in tal caso, abbiate pietà, non ho mai seguito un corso di Teoria dei Campi
Grazie per eventuali pareri
"Paolo90":
Se $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$, allora è della forma $\alpha= \frac{f(x,y)}{g(x,y)}$, con $f,g$ polinomi a coefficienti in $\mathbb{F}_p$ ($g$ non nullo). Calcoliamo $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p$ e prepariamoci alla sorpresa: tenendo conto da una parte del piccolo teorema di Fermat, dall'altra che in caratteristica $p$ succede che $(x+y)^p=x^p+y^p$, si ha $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p = \frac{f(x^p,y^p)}{g(x^p,y^p)} \in \mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ (confermate?).
Confermo, confermo!
"Paolo90":
Ma allora abbiamo finito: ogni elemento di $\mathbb{F}_p(x,y)$ ha al più grado $p$ su $\mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ e, dunque, non può generare tutta l'estensione.
Perfetto!
Figo
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