Estensione Globale mappa inversa

[federico962]

Buongiorno ragazzi, magari è una stupidaggine ma chiedo comunque...
Volevo chiedere se era vero che se una funzione è invertibile localmente in ogni punto del suo dominio allora è invertibile.
Federico

[dan952]

Se ci sono ipotesi di continuità, un controesempio è una varietà differenziabile con atlanti che possiedono almeno due carte locali.

[federico962]

Ci ho pensato e credo che la cosa sia falsa..una funzione costante in {0,1} è localmente invertibile ma non globalmente su {0,1}.

[Dobrogost]

Credo possa interessare il th di Hadamard Caccioppoli (teorema 2.3):

http://preprints.sissa.it/xmlui/bitstre ... sequence=2

In particolare, un corollario di questo teorema è che:

Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una funzione di classe $C^1$ tale che $det(f'(x)) \ne 0 \forall x \in \mathbb{R}^n$ e $|f(x)| \to \infty$ se $|x| \to \infty$. Allora $f$ è un omeomorfismo da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ e, in particolare, l'equazione $y=f(x)$ ammette una e una sola soluzione $\forall y \in \mathbb{R}^n$

[federico962]

Grazie Mille!!

[dissonance]

Molto più semplicemente, basta considerare la funzione esponenziale
\[
\exp\colon \mathbb C\to \mathbb C\setminus\{0\}.\]
Essa è invertibile localmente intorno ad ogni punto ma non è invertibile globalmente.
[ot]Sempre meglio rispondere con un esempio concreto, piuttosto che invocare teoremi, specie se poco conosciuti.[/ot]