Esercizio SISSA 2015
Ciao a tutti, sono nuovo nel forum. Vorrei proporvi un esercizio preso dal tema d'esame per l'ammissione della Laurea Magristale alla SISSA. Scusate per eventuali problemi di scrittura o quant'altro.
(a) Sia $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione differenziabile con derivata $f'$ uniformemente
continua su $(0,+\infty)$. Provare che se esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = L$ finito allora $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x) = 0$.
(b) Dire se la conclusione precedente continua a valere assumendo solo che $f'$ è di classe
$C^1((0, +∞), R)$.
Il punto (b) è chiaramente falso, per vederlo considero la funzione $f(x)=\sin(x^2)/x$: si ha che $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) =0$, mentre si ha $f'(x)=2\cos(x^2)-\sin(x^2)/x^2$, la quale è continua in $(0,+\infty)$ e si ha che non esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x)$.
Mentre non sono riuscito a dimostrare il punto (a), ho pensato di ragionare per assurdo. Se il limite di $f'(x)$ esiste per $x\rightarrow\+infty$ si ottiene banalmente che tale limite è $0$.
Mentre se suppongo che il limite non esiste sono riuscito a provare che esiste una sottosuccessione convergente $x_n$ tale che $\lim_{n\rightarrow+\infty} f'(x_n) = 0$, usando lo stesso ragionamento usato nel caso in cui il limite esiste.
Vorrei qualche suggerimento su come usare l'ipotesi di uniforme continuità per provare il risultato (a).
Grazie a tutti!
(a) Sia $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione differenziabile con derivata $f'$ uniformemente
continua su $(0,+\infty)$. Provare che se esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = L$ finito allora $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x) = 0$.
(b) Dire se la conclusione precedente continua a valere assumendo solo che $f'$ è di classe
$C^1((0, +∞), R)$.
Il punto (b) è chiaramente falso, per vederlo considero la funzione $f(x)=\sin(x^2)/x$: si ha che $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) =0$, mentre si ha $f'(x)=2\cos(x^2)-\sin(x^2)/x^2$, la quale è continua in $(0,+\infty)$ e si ha che non esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x)$.
Mentre non sono riuscito a dimostrare il punto (a), ho pensato di ragionare per assurdo. Se il limite di $f'(x)$ esiste per $x\rightarrow\+infty$ si ottiene banalmente che tale limite è $0$.
Mentre se suppongo che il limite non esiste sono riuscito a provare che esiste una sottosuccessione convergente $x_n$ tale che $\lim_{n\rightarrow+\infty} f'(x_n) = 0$, usando lo stesso ragionamento usato nel caso in cui il limite esiste.
Vorrei qualche suggerimento su come usare l'ipotesi di uniforme continuità per provare il risultato (a).
Grazie a tutti!
Risposte
Hintino:
Più esplicitamente:
Più esplicitamente:
Si, ciò che hai detto avevo pensato, ovvero che esiste una sottosuccessione ${x_n}$ crescente tale che $f'(x_n)>\varepsilon$ (o viceversa $f'(x_n)<-\varepsilon$ ) in un intorno $(x_n-\delta,x_n+\delta)$ per ogni $n\ge1$ e per un certo $\varepsilon>0$ fissato.
Allora potrei provare a concludere così:
$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}>\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}\varepsilon dx} =\sum_{n=1}^{+\infty} 2\varepsilon\delta$$
che diverge.
Si ha che
$$\int_{x_1-\delta}^{+\infty}f'(x)dx\ge\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}$$
e l'integrale a primo membro vale per il teorema fondamentale del calcolo integrale $lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-f(x_1-\delta)=L-f(x_1-\delta)$, il quale è un numero finito e da qui nasce l'assurdo.
Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Riguardo al fatto che $\delta$ non dipende da $n$, ciò mi è garantito dall'uniforme continuità? Cioè: se così non fosse avrei due sottosuccesione arbitrariamente vicine tale che loro distanza sia maggiore di un certo $\varepsilon>0$, il che è assurdo, poiché significherebbe negare l'uniforme continuità. Dovrebbe funzionare così?
Allora potrei provare a concludere così:
$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}>\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}\varepsilon dx} =\sum_{n=1}^{+\infty} 2\varepsilon\delta$$
che diverge.
Si ha che
$$\int_{x_1-\delta}^{+\infty}f'(x)dx\ge\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}$$
e l'integrale a primo membro vale per il teorema fondamentale del calcolo integrale $lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-f(x_1-\delta)=L-f(x_1-\delta)$, il quale è un numero finito e da qui nasce l'assurdo.
Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Riguardo al fatto che $\delta$ non dipende da $n$, ciò mi è garantito dall'uniforme continuità? Cioè: se così non fosse avrei due sottosuccesione arbitrariamente vicine tale che loro distanza sia maggiore di un certo $\varepsilon>0$, il che è assurdo, poiché significherebbe negare l'uniforme continuità. Dovrebbe funzionare così?
"onlynose":
Si, ciò che hai detto avevo pensato, ovvero che esiste una sottosuccessione ${x_n}$ crescente tale che $f'(x_n)>\varepsilon$ (o viceversa $f'(x_n)<-\varepsilon$ ) in un intorno $(x_n-\delta,x_n+\delta)$ per ogni $n\ge1$ e per un certo $\varepsilon>0$ fissato.
Allora potrei provare a concludere così:
$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}>\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}\varepsilon dx} =\sum_{n=1}^{+\infty} 2\varepsilon\delta$$
che diverge.
Si ha che
$$\int_{x_1-\delta}^{+\infty}f'(x)dx\ge\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}$$
e l'integrale a primo membro vale per il teorema fondamentale del calcolo integrale $lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-f(x_1-\delta)=L-f(x_1-\delta)$, il quale è un numero finito e da qui nasce l'assurdo.
Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Riguardo al fatto che $\delta$ non dipende da $n$, ciò mi è garantito dall'uniforme continuità? Cioè: se così non fosse avrei due sottosuccesione arbitrariamente vicine tale che loro distanza sia maggiore di un certo $\varepsilon>0$, il che è assurdo, poiché significherebbe negare l'uniforme continuità. Dovrebbe funzionare così?
Questa formula:
$$\int_{x_1-\delta}^{+\infty}f'(x)dx\ge\sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}f'(x)dx}$$
non mi torna... sarebbe senz'altro vera se $f'$ fosse sempre positiva, ma chi ti assicura che sia così?
Invece, degli intornini che hai trovato, prova a considerarne uno che sia abbastanza "in là" da assicurare che $|f(x) - L|$ sia abbastanza piccolo in tale intervallino. Quindi $f$ si deve mantenere abbastanza "piatta", cioé la derivata dovrebbe essere abbastanza vicina a zero. Tuttavia in quell'intervallino hai trovato che la derivata è maggiore di $\varepsilon$ (in valore assoluto. Quindi...
Riguardo al fatto che δ non dipende da n, ciò mi è garantito dall'uniforme continuità?
È proprio la definizione di uniforme continuità applicata a ognuno dei punti $x_n$. La parte importante della definizione di continuità uniforme è esattamente che il $\delta$ non dipende dal punto.
\[ 2\varepsilon>|f(x_2)-f(x_1)|=|\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx|\ge(x_2-x_1)\varepsilon_1=\delta\varepsilon_1 \]Grazio Vincent46 per i suggerimenti!
Provo a riformulare in un altro modo (sperando non sbagli nuovamente):
abbiamo detto che esiste $\varepsilon_1>0$ ed esiste una successione ${x_n}$ tale che $f'(x_n)\ge\varepsilon_1$ (oppure tale che $f'(x_n)\le\-varepsilon_1$) in un intorno di $x_n$ ampio $\delta$, che non dipende da $n$, per ogni $n\ge1$.
Per definizione di limite ho che qualsiasi $\varepsilon>0$ esiste $M>0$ tale che per ogni $x>M$ si abbia $|f(x)-L|<\varepsilon$. In particolare si avrà che $|f(x)-f(y)|<2\varepsilon$ per ogni $x,y>M$.
Allora sia $n^*\in\mathbb{N}$ tale che $x_{n^*}>M+\delta$. Da ciò considero un intorno di $x_{n^*}$ di raggio $\delta$, sia esso $(x_{n^*}-\delta/2,x_{n^*}+\delta/2)$. Pongo $x_1=x_{n^*}-\delta/2$ e $x_2=x_{n^*}+\delta/2$. Allora avrò che, poiché $x_1,x_2>M$
$$2\varepsilon>|f(x_2)-f(x_1)|=|\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx|\ge(x_2-x_1)\varepsilon_1=\delta\varepsilon_1$$.
Quindi infine avrei che $2\varepsilon\ge\delta\varepsilon_1$, il che è assurdo per l'arbitrarietà di $\varepsilon$.
Dici che così potrebbe andar bene?
Provo a riformulare in un altro modo (sperando non sbagli nuovamente):
abbiamo detto che esiste $\varepsilon_1>0$ ed esiste una successione ${x_n}$ tale che $f'(x_n)\ge\varepsilon_1$ (oppure tale che $f'(x_n)\le\-varepsilon_1$) in un intorno di $x_n$ ampio $\delta$, che non dipende da $n$, per ogni $n\ge1$.
Per definizione di limite ho che qualsiasi $\varepsilon>0$ esiste $M>0$ tale che per ogni $x>M$ si abbia $|f(x)-L|<\varepsilon$. In particolare si avrà che $|f(x)-f(y)|<2\varepsilon$ per ogni $x,y>M$.
Allora sia $n^*\in\mathbb{N}$ tale che $x_{n^*}>M+\delta$. Da ciò considero un intorno di $x_{n^*}$ di raggio $\delta$, sia esso $(x_{n^*}-\delta/2,x_{n^*}+\delta/2)$. Pongo $x_1=x_{n^*}-\delta/2$ e $x_2=x_{n^*}+\delta/2$. Allora avrò che, poiché $x_1,x_2>M$
$$2\varepsilon>|f(x_2)-f(x_1)|=|\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx|\ge(x_2-x_1)\varepsilon_1=\delta\varepsilon_1$$.
Quindi infine avrei che $2\varepsilon\ge\delta\varepsilon_1$, il che è assurdo per l'arbitrarietà di $\varepsilon$.
Dici che così potrebbe andar bene?
Sicuramente va bene come hai fatto seguendo il suggerimento di Vincent, ma secondo me si può fare un po' prima osservando che
\[
f(x)=L-\int_x^\infty f'(y)\, dy.\]
Se il limite di \(f'\) esiste, diciamo \(c=\lim f'(x)\), e se \(c>0\), per \(x\) sufficientemente grande deve aversi \(f'(y)>c/2\), e quindi l'integrale è infinito, assurdo. Stesso discorso se \(c<0\). L'unica possibilità è che \(c=0\).
\[
f(x)=L-\int_x^\infty f'(y)\, dy.\]
Se il limite di \(f'\) esiste, diciamo \(c=\lim f'(x)\), e se \(c>0\), per \(x\) sufficientemente grande deve aversi \(f'(y)>c/2\), e quindi l'integrale è infinito, assurdo. Stesso discorso se \(c<0\). L'unica possibilità è che \(c=0\).
"dissonance":
Sicuramente va bene come hai fatto seguendo il suggerimento di Vincent, ma secondo me si può fare un po' prima osservando che
\[
f(x)=L-\int_x^\infty f'(y)\, dy.\]
Se il limite di \(f'\) esiste, diciamo \(c=\lim f'(x)\), e se \(c>0\), per \(x\) sufficientemente grande deve aversi \(f'(y)>c/2\), e quindi l'integrale è infinito, assurdo. Stesso discorso se \(c<0\). L'unica possibilità è che \(c=0\).
Ma come si fa a dedurre che il limite esiste?
Ah, mi sa che hai ragione, la traccia dice solo che esiste il limite di \(f\), \(f'\) a priori potrebbe non ammettere limite, avevo letto male.
Per completare questa dimostrazione tocca quindi dimostrare che \(f'\) ammette limite, il che presumibilmente ammonta a rifare l'argomento di Vincent46.
Per completare questa dimostrazione tocca quindi dimostrare che \(f'\) ammette limite, il che presumibilmente ammonta a rifare l'argomento di Vincent46.
Come al solito sono terra terra, specie a quest'ora. Ma se una funzione (così definita) converge a $+oo$ può solo ammettere un asintoto orizzontale. Se non ci fosse non convergerebbe (così come la derivata). E se fosse obliquio, non convergerebbe (però la derivata convergerebbe). Non vedo altre opzioni per il punto a).
Dove sbaglio?
P.S. Nella mia visione (fanciullesca) di asintoto includo anche le funzioni periodiche. Le "vedo" (in valore assoluto) come una pallina sottoposta a gravità che rimbalza per sempre su una superficie senza attrito
Dove sbaglio?
P.S. Nella mia visione (fanciullesca) di asintoto includo anche le funzioni periodiche. Le "vedo" (in valore assoluto) come una pallina sottoposta a gravità che rimbalza per sempre su una superficie senza attrito
"Bokonon":
Come al solito sono terra terra, specie a quest'ora. Ma se una funzione (così definita) converge a $+oo$ può solo ammettere un asintoto orizzontale. Se non ci fosse non convergerebbe (così come la derivata). E se fosse obliquio, non convergerebbe (però la derivata convergerebbe). Non vedo altre opzioni per il punto a).
Dove sbaglio?
P.S. Nella mia visione (fanciullesca) di asintoto includo anche le funzioni periodiche. Le "vedo" (in valore assoluto) come una pallina sottoposta a gravità che rimbalza per sempre su una superficie senza attrito
Il punto sta proprio nel controesempio di OP, quella funzione si schiaccia a \(0\) ma lo fa oscillando... e le oscillazioni, purché sempre più smorzate, "danno adito" ad un comportamento definitivamente oscillatorio anche della derivata.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Il punto sta proprio nel controesempio di OP, quella funzione si schiaccia a \(0\) ma lo fa oscillando... e le oscillazioni, purché sempre più smorzate, "danno adito" ad un comportamento definitivamente oscillatorio anche della derivata.
Lo so
Ma anche senza scomodare tanta teoria e in modo barbaro (perchè questo io sono
) usare il valore assoluto non è un'idea campata per aria per comprendere perchè comunque converga. E' presa pari dalle serie e dal concetto di convergenza assoluta: gli integrali sono sommatorie e guarda a caso di cosa? Anche intuitivamente si capisce che sono automaticamente vere entrambe le affermazioni.
Ho un modo molto fanciullesco di visualizzare i concetti, ma regge quando si passa al formalismo...deve farlo.
Ma ci sono delle differenze. Se \(\sum a_n\) converge, allora \(a_n\to 0\); invece, se
\[
\int_c^\infty f(x)\, dx
\]
converge, non è detto che \(f(x)\to 0\). In ogni caso, non capisco cosa c'entri con questo topic. Mi sa che il mio intervento precedente (quello con la formula \(f(x)=L-\int_x^\infty f'(y)\, dy\)) ha portato fuori strada.
\[
\int_c^\infty f(x)\, dx
\]
converge, non è detto che \(f(x)\to 0\). In ogni caso, non capisco cosa c'entri con questo topic. Mi sa che il mio intervento precedente (quello con la formula \(f(x)=L-\int_x^\infty f'(y)\, dy\)) ha portato fuori strada.
Ok, era per parlare! Un modo più semplice per ricondurci all'asintoto orizzontale anche con la classe di funzioni periodiche, forse è notare che se convergono allora per devono per forza avere due "gendarmi" $g(x)$ e $-g(x)$. Quindi si può considerare uno dei due $g(x)$ per riportarci al caso "standard".
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo