Esercizio interessante

[Zero87]

Ho trovato sul principles of mathematical Analysis (Rudin) un esercizio molto interessantissimo di cui per ora non ho la dimostrazione ma in questo momento di pausa ci butto un occhio.

Sia $f:\RR -> \RR$ continua tale che
$|f(x)-f(y)| \le (x-y)^2$
per ogni $x,y\in \RR$.

Provare che $f$ è costante.


EDIT
Mi è venuta in mente una soluzione che posto... ma sembra che "me lo faccio riportare"

Fisso $x$ reale e $y\ne x$.
Allora, so che $(x-y)^2 = |x-y||x-y|$.
Prendo uno dei due fattori e lo porto di là (senza problemi di verso di disequazione, sono termini non negativi)
$|\frac{f(x)-f(y)}{(x-y)}|\le|x-y|$
Passando al limite per $y->x$ ottengo
$lim_(y->x) |\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|\lelim_(y->x) |x-y| =0$
che implica che il limite al primo membro tende a zero (è pur sempre un modulo che è una quantità non negativa).

In pratica
$0 \le lim_(y->x) |\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|= |f'(x)| \le lim_(y->x) |x-y|=0$.
Poiché vale per ogni $x$ fissato posso dedurre che $|f'(x)|=0$ per ogni $x$, cioè $f'(x)=0$ per ogni $x$ e quindi che $f$ è costante.

Se volete cimentarvi... fate e non guardate (magari vi verrà in mente una soluzione uguale, ma capita!)
Se volete prendermi in giro perché magari la mia soluzione fa acqua... guardate e fate pure

[gugo82]

Esatto.

In generale, le funzioni $\gamma$-hölderiane in un intervallo $I$, i.e. le funzioni tali che:
\[
\forall x,y\in I,\quad |f(x)-f(y)|\leq C\ |x-y|^\gamma
\]
(ove $C\geq 0$), con $\gamma>1$ sono tutte e sole le costanti.

P.S.: Dimostrare che la cosa non è vera se $0<\gamma \leq 1$.
In altre parole, provare che per $0<\gamma\leq 1$ esistono funzioni $\gamma$-hölderiane in $I$ che non sono costanti.

[theras]

@Gugo.
L'argomento è un pò lontano nella memoria,
ma per il controesempio buono a rispondere al tuo rilancio sento odore di funzione opportunamente definita a tratti:
se mi dici che l'olfatto non m'inganna,ci ragiono un pò sopra..
Saluti dal web.

[gugo82]

Non è così complicato.
In ogni caso, basta un valore assoluto...

[theras]

Ti odioooooooooo !!!
La $f(x)=sqrt(|x|):[-1,1] to RR$ và bene
(lquella radice la piazzo lì per non darti troppa soddisfazione )?
Saluti dal web.

[gugo82]

Sì, l'idea è quella lì.

Ovviamente il tuo esempio (che ha $\gamma=1/2$ come si vede facilmente) può essere generalizzato a qualsiasi tipo di esponente compreso tra $0$ e $1$ e qualsiasi intervallo $I$.

[Rigel1]

@Zero87: naturalmente la soluzione che passa per la derivata e la caratterizzazione delle funzioni derivabili e costanti è corretta.

Una dimostrazione alternativa che non fa uso del calcolo differenziale è la seguente.
Supponiamo \(x Abbiamo che
\[
|f(y) - f(x)| = \left| \sum_{k=1}^n [f(x_k) - f(x_{k-1}]\right|
\leq \sum_{k=1}^n |f(x_k) - f(x_{k-1})| \leq \sum_{k=1}^n [x_k - x_{k-1}]^2 = \frac{(y-x)^2}{n}\,.
\]
La tesi segue dunque dall'arbitrarietà di \(n\in\mathbb{N}\).

Btw, se si parte invece dalla stima di Holderianità \(|f(x)-f(y)| \leq C |x-y|^{\alpha}\), col medesimo ragionamento si ottiene
\[
|f(y) - f(x)|\leq C \frac{|y-x|^{\alpha}}{n^{\alpha-1}}
\]
che lascia intuire come mai il risultato (\(f\) costante) non sia necessariamente vero quando \(\alpha\leq 1\).

[theras]

@Gugo.
Torno serio:
ma non va bene senza radice
(è reminescenza,ma indipendentemente da ciò mi pare evidente che la holderianità generalizzi la lipschitzianeità per le funzioni reali di variabile reale definite su insiemi limitati..)?
Torno scherzoso:
ma qual'è l'idea,odiarti?
Non mi pare proprio sia una buona idea ..
@Rigel.
Grandioso
(alle volte mi fai paura,perchè và bene che è facile capiti parlando di Matematica ma talora sembra che leggi nel cervello..):
grazie infinite.
Saluti dal web.

[Zero87]

"Rigel":@Zero87: naturalmente la soluzione che passa per la derivata e la caratterizzazione delle funzioni derivabili e costanti è corretta.

Grazie: sinceramente pensavo che me la fossi fatta riportare

"Rigel":Una dimostrazione alternativa che non fa uso del calcolo differenziale è la seguente.[...]

Sei incredibile Rigel!
(Inizio anche a capire il nick: una stella di prima grandezza! ).
Comunque il ragionamento che fai dovrebbe funzionare anche per mostrare sono solo le funzioni costanti che soddisfano quel ragionamento per $\gamma>1$... [size=80]no?[/size]

[gugo82]

"theras":@Gugo.
Torno serio:
ma non va bene senza radice
(è reminescenza,ma indipendentemente da ciò mi pare evidente che la holderianità generalizzi la lipschitzianeità per le funzioni reali di variabile reale definite su insiemi limitati..)?

Prova a prendere \(f_\gamma (x):= |x|^\gamma\) in \([-1,1]\)...

"theras":Torno scherzoso:
ma qual'è l'idea,odiarti?

Nuoooooo... Poverissimo me!

[theras]

@Gugo.
Và beh,dai:
mi stavo riferendo,forse un pò troppo implicitamente,al caso $gamma=1$!
Comunque per l'holderianità della famiglia di funzioni da te tirata in causa dovremmo esserci:
tanto per quanto evidenziato da Rigel nel suo intervento
(che a scoppio ritardato risponde con ancor maggior profondità al quesito da me posto al mio Prof d'Analisi,
all'atto dell'introduzione dell'argomento qualche tempo fà,sulle ragioni più riposte della condizione $alpha in [0,1]$),
quanto per il fatto che,se ben ricordo,se una funzione è $alpha(<=1)$-holderiana e $beta in [0,alpha]$,
essa è pure $beta$-holderiana.
Per il resto non disperare,dai:
m'è bastato leggere uno a caso dei tuoi messaggi,e la stizza per non averci pensato da solo m'è passata .
Saluti dal web.