Equazione nei razionali [Ammissione SSC]
Problema di ammissione alla Scuola Superiore di Catania.
Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione
$x^2+7y^2=2$
Io l'ho risolto con un metodo abbastanza carino direi...vediamo come lo risolvereste voi.
Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione
$x^2+7y^2=2$
Io l'ho risolto con un metodo abbastanza carino direi...vediamo come lo risolvereste voi.
Risposte
Allora innanzitutto comincio con il trasformare le soluzioni dal campo dei Razionali ai Relativi ponendo:
$x=p/q$
$y=z/q$
In questo modo l'equazione risulta $(p^2)/2+7/2z^2=q^2$ con p, q e z numeri Relativi.
In questo caso l'equazione diofantea di 2° grado è simile a $x^2+y^2=z^2$ che possiede infinite soluzioni, terne pitagoriche.
Ora se prendiamo p=q=1 e z=2 ci accorgiamo che sono soluzioni dell'equazione. Ma allora se moltiplichiamo p,q e z per un qualsiasi intero k avremo sempre delle soluzioni. (Penso che nelle diofantee ci siano delle proprietà di questo tipo note ai più, ma non so se la mia dimostrazione in questo modo sia il massimo
)
Ergo l'equazione ha infinite soluzioni.
$x=p/q$
$y=z/q$
In questo modo l'equazione risulta $(p^2)/2+7/2z^2=q^2$ con p, q e z numeri Relativi.
In questo caso l'equazione diofantea di 2° grado è simile a $x^2+y^2=z^2$ che possiede infinite soluzioni, terne pitagoriche.
Ora se prendiamo p=q=1 e z=2 ci accorgiamo che sono soluzioni dell'equazione. Ma allora se moltiplichiamo p,q e z per un qualsiasi intero k avremo sempre delle soluzioni. (Penso che nelle diofantee ci siano delle proprietà di questo tipo note ai più, ma non so se la mia dimostrazione in questo modo sia il massimo
)Ergo l'equazione ha infinite soluzioni.
OK,le soluzioni sono infinite ma il testo chiede di determinarle tutte.Carino il tuo blog!
Appunto deve anche dire quali sono le soluzioni...
Se si trova un soluzione razionale allora per determinare tutte le
altre si puo' usare il metodo di Klein.
Nel nostro caso per x=y si ha:
$8x^2=2$ da cui $x=y=+-1/2$
Intersechiamo ora l'ellisse rappresentata dalla relazione con la retta
generica uscente ,ad esempio, da $(1/2,1/2)$ e cioe' $x-1/2=m(y-1/2)$
$(x^2+7y^2=2,x-1/2=m(y-1/2))$ ottenendo le soluzioni:
$x=(-m^2-14m+7)/(2(m^2+7)),y=(m^2-2m-7)/(2(m^2+7))$
Al variare di m in $QQ$ si hanno le richieste soluzioni.
karl
altre si puo' usare il metodo di Klein.
Nel nostro caso per x=y si ha:
$8x^2=2$ da cui $x=y=+-1/2$
Intersechiamo ora l'ellisse rappresentata dalla relazione con la retta
generica uscente ,ad esempio, da $(1/2,1/2)$ e cioe' $x-1/2=m(y-1/2)$
$(x^2+7y^2=2,x-1/2=m(y-1/2))$ ottenendo le soluzioni:
$x=(-m^2-14m+7)/(2(m^2+7)),y=(m^2-2m-7)/(2(m^2+7))$
Al variare di m in $QQ$ si hanno le richieste soluzioni.
karl
eh... ma allora c'era il trucco!! 
... io mi sono limitato a fare a mano il caso $y=1/a$ e $x=b/c$, ma non credo di riuscire a generalizzare e non ho molta voglia 
... io mi sono limitato a fare a mano il caso $y=1/a$ e $x=b/c$, ma non credo di riuscire a generalizzare e non ho molta voglia
"karl":
Se si trova un soluzione razionale allora per determinare tutte le
altre si puo' usare il metodo di Klein.
Nel nostro caso per x=y si ha:
$8x^2=2$ da cui $x=y=+-1/2$
Intersechiamo ora l'ellisse rappresentata dalla relazione con la retta
generica uscente ,ad esempio, da $(1/2,1/2)$ e cioe' $x-1/2=m(y-1/2)$
$(x^2+7y^2=2,x-1/2=m(y-1/2))$ ottenendo le soluzioni:
$x=(-m^2-14m+7)/(2(m^2+7)),y=(m^2-2m-7)/(2(m^2+7))$
Al variare di m in $QQ$ si hanno le richieste soluzioni.
karl
Io ho utilizzato il tuo stesso metodo, non sapevo si chiamasse metodo di Klein...
A parte ke credo di aver anche sbagliato xke come infinite soluzioni avevo considerato p=q=k e z=2k, ma le incognite erano x e y che rispettivamente assumevano il valore $p/z=k/(2k)$ e $q/z=k/(2k)$ che corrisponde quindi ad una sola soluzione 
."JvloIvk":
Carino il tuo blog!
Grassie
@Karl:
L'ellisse considerata qual'è? $2x^2+2y^2=1$(dato ke x=y)? [Ma in questo caso non potrebbero esistere anche soluzioni in cui x è diverso da y?]
L'ellisse e' quella data dalla relazione iniziale:
$x^2+7y^2=2$
e le soluzioni che ho indicate ,al variare di m, hanno tutte $x != y$
a meno di casi particolari.Puoi vederlo dando ad m qualche valore .
karl
$x^2+7y^2=2$
e le soluzioni che ho indicate ,al variare di m, hanno tutte $x != y$
a meno di casi particolari.Puoi vederlo dando ad m qualche valore .
karl
"karl":
L'ellisse e' quella data dalla relazione iniziale:
$x^2+7y^2=2$
e le soluzioni che ho indicate ,al variare di m, hanno tutte $x != y$
a meno di casi particolari.Puoi vederlo dando ad m qualche valore .
karl
.... Ma nell'ellisse la i coefficenti di $x^2$ e $y^2$ non dovevano essere uguali? ....
Quella e' la circonferenza che e' un caso particolare dell'ellisse.
karl
karl
"giuseppe87x":
Io ho utilizzato il tuo stesso metodo, non sapevo si chiamasse metodo di Klein...
beh... complimenti per l'intuizione
...
"karl":
Quella e' la circonferenza che e' un caso particolare dell'ellisse.
karl
Si, ma pensavo anche l'ellisse xD .... mi sa ke devo ripassami le coniche
"giuseppe87x":
Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione
$x^2+7y^2=2$
Ciao, Giuseppe
Ieri sera ho visto questa tua proposta
e mi è capitato di affrontarla così (forse
il metodo è un po' più 'artigianale', ma
credo che sia ugualmente interessante).
Dalla relazione:
x² + 7·y² = 2
passo a quest'altra:
x² + 9·y² = 2·(y²+1) = (y+1)² + (y-1)²
ottenendo:
9·y² - (y-1)² = (y+1)² - x²
e poi:
(4y-1)·(2y+1) = (y+1+x)·(y+1-x).
A questo punto, potrei porre, senza
limitare la generalità della questione:
(4y-1)·h = y+1-x
2y+1 = (y+1+x)·h
per un h razionale che per ora suppongo
non nullo.
Con pochi semplici passaggi, riesco a
esprimere x e y in funzione di h:
x = ½(6h+1-h²)/(2h²-h+1)
y = ½(h²+2h-1)/(2h²-h+1).
Vediamo che h può essere un numero
razionale qualunque, dal momento che
le espressioni danno valori accettabili
anche per h=0 e il denominatore non
si annulla mai in [size=117]Q[/size].
Cavolo, Bruno, ma è una soluzione bellissima! Complimenti! Mi hai fatto imparare qualcosa di nuovo!
L'unico piccola correzione che mi sembra sia necessaria è questa. Devi porre $y\ne -1/2$ e $y\ne 1/4$ perché valga l'equivalenza fra la prima equazione e il secondo sistema:
(4y-1)·(2y+1) = (y+1+x)·(y+1-x).
(4y-1)·h = y+1-x
2y+1 = (y+1+x)·h
trovandoti una o due soluzioni particolari.
Mi hai fatto imparare qualcosa di nuovo!L'unico piccola correzione che mi sembra sia necessaria è questa. Devi porre $y\ne -1/2$ e $y\ne 1/4$ perché valga l'equivalenza fra la prima equazione e il secondo sistema:
(4y-1)·(2y+1) = (y+1+x)·(y+1-x).
(4y-1)·h = y+1-x
2y+1 = (y+1+x)·h
trovandoti una o due soluzioni particolari.
Grazie, Fields
Averti fatto imparare qualcosa di nuovo,
ti assicuro, mi lascia davvero perplesso...
Comunque, ne son proprio contento!
Accolgo e condivido la tua precisazione
su y, senz'altro doverosa.
A presto!
Averti fatto imparare qualcosa di nuovo,
ti assicuro, mi lascia davvero perplesso...
Comunque, ne son proprio contento!
Accolgo e condivido la tua precisazione
su y, senz'altro doverosa.
A presto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo