Equazione diofantea
Mi sto allenando per le olimpiadi, e mi sono trovato difronte a questa equazione: [tex]x^y=y^{17} -1[/tex], non ho molta praticità con le equazioni diofantee, vorrei che qualcuno mi illuminasse sulla possibile soluzione, trovare cioè x ed y interi positivi.
Risposte
Nessuno risponde, quindi mando la mia soluzione anche se mi soddisfa poco, soprattutto nella sua ultima parte.
Il secondo membro è divisibile per $y-1$, che deve quindi essere divisore anche del primo membro: avremo perciò $y-1=x^z->y=x^z+1$, con $0<=z<=y$. Sostituendo nella formula (per comodità di scrittura, lo faccio solo dove mi serve) otteniamo
$x^y=(x^z+1)^17-1$
$x^y=x^(17z)+17x^(16z)+...+17x^z+1-1$
$x^y=x^z(x^(16z)+17x^(15z)+...+17)$
e si ha la soluzione $x=0$, da cui segue $y=1$.
Cercando ora altre soluzioni, divido per $x^z$:
$x^(y-z)=x^(16z)+17x^(15z)+...+17$
Se $z=y$ o se $x=1$ il primo membro vale 1 ed il secondo è maggiore di 17, quindi non sono uguali. In caso contrario tutti i termini sono divisibili per $x$ tranne l'ultimo che è divisibile solo per 17: quindi se $x!=17$ l'eguaglianza non vale.
Se invece $x=17$, l'equazione iniziale diventa $17^y=y^17 -1$. Si può risolverla graficamente (per $y>=2$ conviene riportare le funzioni in scala logaritmica) ottenendo due soluzioni, una compresa fra 1 e 2 e l'altra prossima a 17. Entrambe vanno scartate perché non intere.
Il secondo membro è divisibile per $y-1$, che deve quindi essere divisore anche del primo membro: avremo perciò $y-1=x^z->y=x^z+1$, con $0<=z<=y$. Sostituendo nella formula (per comodità di scrittura, lo faccio solo dove mi serve) otteniamo
$x^y=(x^z+1)^17-1$
$x^y=x^(17z)+17x^(16z)+...+17x^z+1-1$
$x^y=x^z(x^(16z)+17x^(15z)+...+17)$
e si ha la soluzione $x=0$, da cui segue $y=1$.
Cercando ora altre soluzioni, divido per $x^z$:
$x^(y-z)=x^(16z)+17x^(15z)+...+17$
Se $z=y$ o se $x=1$ il primo membro vale 1 ed il secondo è maggiore di 17, quindi non sono uguali. In caso contrario tutti i termini sono divisibili per $x$ tranne l'ultimo che è divisibile solo per 17: quindi se $x!=17$ l'eguaglianza non vale.
Se invece $x=17$, l'equazione iniziale diventa $17^y=y^17 -1$. Si può risolverla graficamente (per $y>=2$ conviene riportare le funzioni in scala logaritmica) ottenendo due soluzioni, una compresa fra 1 e 2 e l'altra prossima a 17. Entrambe vanno scartate perché non intere.
Grazie infinite Giammaria!! Era da un po' che ci sbattevo la testa senza nessun risultato, grazie ancora.
Prego, ma continuo a pensare che ci siano soluzioni migliori.
@ giannirecanati e @ giammaria
Se lo ritenete opportuno posso trasferire il problema in "Pensare un po' di più", forse lì possiamo trovare migliori spunti. Che ne dite?
Se lo ritenete opportuno posso trasferire il problema in "Pensare un po' di più", forse lì possiamo trovare migliori spunti. Che ne dite?
D'accordissimo, grazie mille @melia!
Anche io concordo pienamente.
"giammaria":
Il secondo membro è divisibile per $y-1$, che deve quindi essere divisore anche del primo membro: avremo perciò $y-1=x^z
questa implicazione è vera solo se x è primo mi sembra...
Comunque lo stesso problema è stato postato e risolto sull'oliforum qualche giorno fa, se per caso siete interessati a vedere una soluzione potete trovarla li
Giusto; grazie per la correzione e la segnalazione.
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