Equazione complessa (SISSA 2014)

[Vincent46]

Per ogni $a \in \mathbb{C}$, dimostrare l'esistenza di una radice $\bar{z}$ dell'equazione

\[ az^2-z+1 = 0 \]

che soddisfa la condizione

$| \bar{z} -1 | \leq 1$ .

(dispongo di una mia soluzione)

[dan952]

Ti piace la SISSA a quanto leggo ehhhh...

A parte il caso degenere $a=0$, siano $z_1$ e $z_2$ le due radici non necessariamente distinte, allora si ha $a(z-z_1)(z-z_2)=az^2-z+1$ da cui si ricava:
${(z_1+z_2=1/a),(z_1z_2=1/a):}$
In particolare segue $(z_1-1)(z_2-1)=z_1z_2-z_1-z_2+1=1$, dunque $|z_1-1||z_2-1|=1$, se entrambi i fattori fossero $>1$ non si avrebbe l'uguaglianza e dunque almeno uno deve essere $<1$ o entrambi $=1$.
Salvo errori di precoce senilità.

[.Ruben.17]

"dan95":
${(z_1+z_2=1/a),(z_1z_2=1/a):}$
In particolare segue $(z_1-1)(z_2-1)=z_1z_2-z_1-z_2+1=1$, dunque $|z_1-1||z_2-1|=1$, se entrambi i fattori fossero $>1$ non si avrebbe l'uguaglianza e dunque almeno uno deve essere $<1$ o entrambi $=1$.

$z_1$ e $z_2$ sono coniugati(perchè soluzioni di un'equazione algebrica) quindi, con x e y reali:
$1=(z_1-1)(z_2-1)=(x-iy-1)(x+iy-1)=(x-1)^2+y^2=1$
Ma $|\overline{z} -1| = (x-1)^2 + y^2 = 1$
Quindi la disuguaglianza(con il segno di uguale) è sempre verificata perchè le due quantità sono effettivamente uguali

[Vincent46]

"dan95":Ti piace la SISSA a quanto leggo ehhhh...

A parte il caso degenere $a=0$, siano $z_1$ e $z_2$ le due radici non necessariamente distinte, allora si ha $a(z-z_1)(z-z_2)=az^2-z+1$ da cui si ricava:
${(z_1+z_2=1/a),(z_1z_2=1/a):}$
In particolare segue $(z_1-1)(z_2-1)=z_1z_2-z_1-z_2+1=1$, dunque $|z_1-1||z_2-1|=1$, se entrambi i fattori fossero $>1$ non si avrebbe l'uguaglianza e dunque almeno uno deve essere $<1$ o entrambi $=1$.
Salvo errori di precoce senilità.

Ottimo! più bella della mia (che magari dopo posto dato che ora sto uscendo).
Comunque sto facendo i test vecchi perché a settembre vorrei provare.

Ruben, non penso che le soluzioni debbano essere per forza complesse coniugate.

[dan952]

@ruben
Risolvi $(1+i)z^2-z+1=0$...

[.Ruben.17]

Stavo erroneamente ragionando sulle soluzioni delle equazioni a coefficienti reali

Non mi è ancora chiaro perché da $(z_1 -1)(z_2 -1) =1 $segue $|z_1 -1||z_2 -1|=1$

[Vincent46]

Altra via:

Ponendo $w=z-1$, l'equazione diventa
\[aw^2 +(2a-1)w+a=0 \ , \]
e, in notazione esponenziale,
\[ a \rho^2 e^{2i\theta} + (2a-1)\rho e^{i\theta}+a=0 \ . \]
Vogliamo dimostrare che almeno una delle due soluzioni ha modulo compreso fra $0$ e $1$. Risolvendo per $\rho$ e chiamando $c$ una delle due radici di $1-4a$, si trova

\[ \rho_1 = \frac{|1-c|}{|1+c|} \ \ \text{ e } \ \ \rho_2 = \frac{|1+c|}{|1-c|} \ . \]
Le due soluzioni sono reciproche, e quindi o esattamente una delle due è maggiore di $1$ oppure valgono entrambe $1$.

Non mi è ancora chiaro perché da $(z_1 -1)(z_2 -1) =1 $segue $|z_1 -1||z_2 -1|=1$

Basta prendere il modulo di entrambi i membri e sfruttare il fatto che il modulo è moltiplicativo.