Ellissoidi generalizzati

[maurer]

Ok, questo non è un problema mio (non è esattamente il mio stile ). Mi è stato proposto da un mio amico, ma non ne siamo venuti a capo. Lo propongo qui per vedere se qualcuno di voi ha qualche bella idea...

Sia [tex]\mathcal F = \{F_1, \ldots, F_k\}[/tex] un insieme di punti in [tex]\mathbb R^n[/tex]. Definiamo per ogni reale [tex]\alpha > 0[/tex] l'insieme [tex]\displaystyle \Sigma(\mathcal F, \alpha) := \left\{P \in \mathbb R^n \mid \sum_{i = 1}^k d(P,F_i) = \alpha\right\}[/tex], dove [tex]d(\cdot, \cdot)[/tex] è la distanza euclidea.

Ci si chiede questo: assegnati due insiemi di punti [tex]\mathcal F = \{F_1, \ldots, F_k\}[/tex] e [tex]\mathcal G = \{G_1, \ldots, G_k\}[/tex], supponiamo che per [tex]\alpha > 0[/tex] sufficientemente grande si abbia [tex]\Sigma(\mathcal F, \alpha) = \Sigma(\mathcal G, \alpha)[/tex]. Possiamo dedurre che [tex]\mathcal F = \mathcal G[/tex]?

[Lord K]

Direi in genere di no!

Pensiamo ad i punti sulla circonferenza di centro $P$, avremo ovviamente $\Sigma(\mathcal F, \alpha) = kR = \alpha = \Sigma(\mathcal G, \alpha)$, $R$ raggio della circonferenza, ma i punti non necessariamente sono gli stessi.