Ellissi inscritte in un quadrato
Recentemente si è imposto all'attenzione della community il seguente problema:
Problema:
Tra tutte le ellissi inscritte nel quadrato di lato unitario, determinare (se esiste) quella di perimetro massimo.
Chiarisco che "inscritta" significa che l'ellisse è tagente a tutti e quattro i lati del quadrato.
Questo è un vincolo geometrico forte e abbastanza fetente dal punto di vista analitico (IMHO).
***
L'idea per una possibile soluzione è già stata da me fornita qui; ma non mi è stato possibile svilupparla fino in fondo... Quindi non so se l'idea funzioni o se sia impraticabile (in quanto finisce in un bagno di sangue di contazzi).
Probabilmente, però, esiste una strada più semplice per risolvere.
Qualcuno vuol provare a cercarla?
Problema:
Tra tutte le ellissi inscritte nel quadrato di lato unitario, determinare (se esiste) quella di perimetro massimo.
Chiarisco che "inscritta" significa che l'ellisse è tagente a tutti e quattro i lati del quadrato.
Questo è un vincolo geometrico forte e abbastanza fetente dal punto di vista analitico (IMHO).
***
L'idea per una possibile soluzione è già stata da me fornita qui; ma non mi è stato possibile svilupparla fino in fondo... Quindi non so se l'idea funzioni o se sia impraticabile (in quanto finisce in un bagno di sangue di contazzi).
Probabilmente, però, esiste una strada più semplice per risolvere.
Qualcuno vuol provare a cercarla?
Risposte
Ok, Rigel... Ma questo link fornisce solo uno spunto (riguardo al secondo punto di cui sotto).
Come dicevo nell'altro thread, l'unico vero problema è quello di tradurre il vincolo geometrico in un vincolo analitico.
Per fare ciò, innanzitutto, bisogna mostrare che l'unico modo di inscrivere un'ellisse in un quadrato è usare come centro dell'ellisse il centro del quadrato e come assi le diagonali.
Questo deve essere un fatto di Geometria Elementare, quindi dovrebbe esistere una dimostrazione sintetica. Se si vuole usare la Geometria Analitica, invece, si devono fare un po' di conti e ci si deve mettere in una situazione conveniente.
Fatto ciò, occorre mostrare che esiste un vincolo analitico, cioè un'equazione, che lega le lunghezze dei semiassi \(a\) e \(b\) a caratteristiche geometriche della configurazione.
Il link che hai postato fornisce la relazione \(a^2+b^2=l^2/2\), ove \(l>0\) è il lato del quadrato, e che pare il vincolo giusto... Ma si dovrebbe capire come ci si arriva.
Alla fine, si imposta il problema di massimo vincolato usando l'espressione del perimetro fornita dall'integrale ellittico.
Questa, se vogliamo, è la parte banale dell'esercizio:
\[
\begin{cases}
\max 4a\ \operatorname{E}\left( \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\right)\\
\text{s. v. } a^2+ b^2 =1/2 \\
\phantom{\text{s. v. }} a\geq b\; ,
\end{cases}
\]
in cui:
\[
\operatorname{E} (k) := \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}\ \text{d} \theta \stackrel{t=\sin \theta}{=} \int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ \text{d} t
\]
è l'integrale ellittico di seconda specie.
[Nota di carattere personale: Mi pare sadico mettere un problema del genere in un test di Analisi... A meno che non ci sia una soluzione banalissima che non vedo! O che qualcuno non stia coglionando la community.]
Come dicevo nell'altro thread, l'unico vero problema è quello di tradurre il vincolo geometrico in un vincolo analitico.
Per fare ciò, innanzitutto, bisogna mostrare che l'unico modo di inscrivere un'ellisse in un quadrato è usare come centro dell'ellisse il centro del quadrato e come assi le diagonali.
Questo deve essere un fatto di Geometria Elementare, quindi dovrebbe esistere una dimostrazione sintetica. Se si vuole usare la Geometria Analitica, invece, si devono fare un po' di conti e ci si deve mettere in una situazione conveniente.
Fatto ciò, occorre mostrare che esiste un vincolo analitico, cioè un'equazione, che lega le lunghezze dei semiassi \(a\) e \(b\) a caratteristiche geometriche della configurazione.
Il link che hai postato fornisce la relazione \(a^2+b^2=l^2/2\), ove \(l>0\) è il lato del quadrato, e che pare il vincolo giusto... Ma si dovrebbe capire come ci si arriva.
Alla fine, si imposta il problema di massimo vincolato usando l'espressione del perimetro fornita dall'integrale ellittico.
Questa, se vogliamo, è la parte banale dell'esercizio:
\[
\begin{cases}
\max 4a\ \operatorname{E}\left( \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\right)\\
\text{s. v. } a^2+ b^2 =1/2 \\
\phantom{\text{s. v. }} a\geq b\; ,
\end{cases}
\]
in cui:
\[
\operatorname{E} (k) := \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}\ \text{d} \theta \stackrel{t=\sin \theta}{=} \int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ \text{d} t
\]
è l'integrale ellittico di seconda specie.
[Nota di carattere personale: Mi pare sadico mettere un problema del genere in un test di Analisi... A meno che non ci sia una soluzione banalissima che non vedo! O che qualcuno non stia coglionando la community.]
Disponiamo l'ellisse in modo che gli assi giacciano sugli assi coordinati.
Se prendiamo il primo punto di tangenza, diciamo \((x_0, y_0)\), vediamo che la richiesta di tangenza su tutti i lati del quadrato vincola subito gli altri tre punti di tangenza a essere \((x_0, -y_0\)), \((-x_0, y_0)\), \((-x_0, -y_0)\); di conseguenza le diagonali del quadrato stanno sugli assi coordinati.
Una dimostrazione puramente analitica sembra, in effetti, decisamente più complicata (bisogna quantomeno bisticciare un po' con le funzioni trigonometriche, per le quali non ho una grande passione...).
Se prendiamo il primo punto di tangenza, diciamo \((x_0, y_0)\), vediamo che la richiesta di tangenza su tutti i lati del quadrato vincola subito gli altri tre punti di tangenza a essere \((x_0, -y_0\)), \((-x_0, y_0)\), \((-x_0, -y_0)\); di conseguenza le diagonali del quadrato stanno sugli assi coordinati.
Una dimostrazione puramente analitica sembra, in effetti, decisamente più complicata (bisogna quantomeno bisticciare un po' con le funzioni trigonometriche, per le quali non ho una grande passione...).
ehiii...mi prendete per un troll XD...
comunque no, tutto autentico...vi farei vedere il testo, se avete una webcam...
Quindi pensate che bisognava ragionare senza conti?
comunque no, tutto autentico...vi farei vedere il testo, se avete una webcam...
Quindi pensate che bisognava ragionare senza conti?
@ newton_1372: Sarò franco: il dubbio di un fake mi era seriamente venuto...
@ Rigel:
Avevo avuto la stessa idea, ma la parte che tu dici "vedersi subito" è in realtà tutta da dimostrare.
Insomma, visto che da ogni retta per l'origine si possono trovare due e solo due punti (simmetrici) tali che le tangenti per esso condotte all'ellisse risultino ortogonali, mi pare un po' forzato dire "si vede subito" che l'unica configurazione possibile per i vertici sia quella sugli assi... Per me questo è da dimostrare.
Appunto.
Questa è la parte seccante dell'esercizio.
***
Nel seguito, prendo come misura del lato la costante positiva \(l\).
Ora, assumiamo pure che l'unica configurazione possibile sia quella in cui l'ellisse abba come assi le diagonali del quadrato.
In tale caso si ha:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; ellipse([0,0],2,1);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; path([[2.236, 0],[0,2.236],[-2.236,0],[0,-2.236],[2.236,0]]);[/asvg]
ed i quattro punti di tangenza nel primo, secondo, terzo e quarto quadrante si possono rispettivamente denotare con \((x_0,y_0)\), \((-x_0,y_0)\), \((-x_0,-y_0)\), \((x_0,-y_0)\) (qui \(x_0,y_0>0\)).
Le tangenti all'ellisse che passano per i quattro punti considerati sopra sono o parallele alla bisettrice I-III o parallele alla bisettrice II-IV; pertanto esse hanno equazione del tipo \(y=-x+p\) oppure \(y=x+q\); mettendo a sistema con l'equazione dell'ellisse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\; ,
\]
ed imponendo la condizione di tangenza \(\Delta=0\) all'equazione di secondo grado in \(x\) che si ottiene in entrambi i casi, si vede che \(p=q=\pm \sqrt{a^2+b^2}\); d'altra parte, i termini noti \(p\) e \(q\) sono i vertici del quadrato, quindi, selezionando i due che sono positivi, possiamo calcolare la lunghezza del lato del quadrato in funzione delle diagonali:
\[
l^2=p^2+q^2 = 2\ (a^2+b^2)
\]
cioè:
\[
a^2+b^2=\frac{l^2}{2}\; .
\]
Questo è un vincolo che lega le dimensioni dei semiassi ed è la cosa che serviva per impostare il problema di massimo vincolato: infatti, dato che, come noto, il perimetro dell'ellisse è dato da:
\[
P(a,b) := 4a\ \int_0^{\pi/2}\ \sqrt{1- \frac{a^2-b^2}{a^2}\ \sin^2\theta}\ \text{d} \theta = 4\ \int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + b^2\ \sin^2 \theta}\ \text{d} \theta
\]
il problema assegnato si scrive come:
\[
\begin{cases}
\max 4\ \int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + b^2\ \sin^2 \theta}\ \text{d} \theta \\
\text{s. v. } a^2+b^2=\frac{l^2}{2}\; .
\end{cases}
\]
Questo problema può essere risolto in parecchi modi: ad esempio con i moltiplicatori di Lagrange, oppure riducendolo ad un problema di massimo per una funzione di una variabile.
Scegliamo questo secondo modo.
Ricavando \(b^2\) dal vincolo e sostituendo nella funzione obiettivo si ottiene la funzione obiettivo dell'unica variabile \(a^2\):
\[
f(a) := 4 \int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta}\ \text{d} \theta
\]
che va massimizzata per \(a\in [0,l/\sqrt{2}]\) (l'estremo superiore dell'intervallo viene fuori dal vincolo).
Questo si può fare col Calcolo Differenziale; tuttavia, se non si vuol perdere troppo tempo col Calcolo, si può usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\[
\left( \int_\alpha^\beta u(\theta)\ v(\theta)\ \text{d} \theta\right)^2 \leq \int_\alpha^\beta u^2(\theta)\ \text{d} \theta \ \cdot \ \int_\alpha^\beta v^2(\theta)\ \text{d} \theta
\]
per maggiorare \(f^2(a)\):
\[
\begin{split}
f^2(a) &= 16\ \left( \int_0^{\pi/2} \underbrace{1}_{u(\theta)}\ \underbrace{\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta}}_{v(\theta)}\ \text{d} \theta \right)^2 \\
&\stackrel{\text{CS}}{\leq} 16\ \int_0^{\\pi/2}1\ \text{d} \theta\ \cdot\ \int_0^{\pi/2} \left( a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta \right)\ \text{d} \theta \\
&= 16\ \frac{\pi}{2}\ \left( a^2\ \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta\ \text{d} \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right) \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta\ \text{d} \theta\right)\\
&= 16\ \frac{\pi}{2}\ \left( a^2\ \frac{\pi}{4} + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \frac{\pi}{4}\right)\\
&= \pi^2\ l^2
\end{split}
\]
ottenendo quindi la maggiorazione:
\[
\tag{2}
f(a)\leq \pi\ l
\]
per il perimetro, dalla quale segue che il nostro massimo non può eccedere la quantità \(\pi\ l\) che è la lunghezza della circonferenza inscritta nel quadrato.
Ricordato che nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz vale il segno d'uguaglianza se e solo se le due funzioni \(u\) e \(v\) sono proporzionali e dato che \(v(\theta) := \sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta} \) è costante (e quindi proporzionale a \(u(\theta)=1\)) se e solo se \(a^2 = \frac{l^2}{2} -a^2\), abbiamo uguaglianza nella (2) se e solo se:
\[
a=\frac{l}{2}\; ;
\]
in tal caso, anche \(b=\frac{l}{2}\) (per l'azione del vincolo), quindi l'ellisse è una circonferenza.
Visto che l'uguaglianza nella maggiorazione (2) è verificata se e solo se l'ellisee è una circonferenza, possiamo ben dire che l'ellisse con perimetro maggiore inscritta nel quadrato è la circonferenza.
@ Rigel:
"Rigel":
Disponiamo l'ellisse in modo che gli assi giacciano sugli assi coordinati.
Se prendiamo il primo punto di tangenza, diciamo \( (x_0, y_0) \), vediamo che la richiesta di tangenza su tutti i lati del quadrato vincola subito gli altri tre punti di tangenza a essere \( (x_0, -y_0 \)), \( (-x_0, y_0) \), \( (-x_0, -y_0) \); di conseguenza le diagonali del quadrato stanno sugli assi coordinati.
Avevo avuto la stessa idea, ma la parte che tu dici "vedersi subito" è in realtà tutta da dimostrare.
Insomma, visto che da ogni retta per l'origine si possono trovare due e solo due punti (simmetrici) tali che le tangenti per esso condotte all'ellisse risultino ortogonali, mi pare un po' forzato dire "si vede subito" che l'unica configurazione possibile per i vertici sia quella sugli assi... Per me questo è da dimostrare.
"Rigel":
Una dimostrazione puramente analitica sembra, in effetti, decisamente più complicata (bisogna quantomeno bisticciare un po' con le funzioni trigonometriche, per le quali non ho una grande passione...).
Appunto.
Questa è la parte seccante dell'esercizio.
***
Nel seguito, prendo come misura del lato la costante positiva \(l\).
Ora, assumiamo pure che l'unica configurazione possibile sia quella in cui l'ellisse abba come assi le diagonali del quadrato.
In tale caso si ha:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; ellipse([0,0],2,1);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; path([[2.236, 0],[0,2.236],[-2.236,0],[0,-2.236],[2.236,0]]);[/asvg]
ed i quattro punti di tangenza nel primo, secondo, terzo e quarto quadrante si possono rispettivamente denotare con \((x_0,y_0)\), \((-x_0,y_0)\), \((-x_0,-y_0)\), \((x_0,-y_0)\) (qui \(x_0,y_0>0\)).
Le tangenti all'ellisse che passano per i quattro punti considerati sopra sono o parallele alla bisettrice I-III o parallele alla bisettrice II-IV; pertanto esse hanno equazione del tipo \(y=-x+p\) oppure \(y=x+q\); mettendo a sistema con l'equazione dell'ellisse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\; ,
\]
ed imponendo la condizione di tangenza \(\Delta=0\) all'equazione di secondo grado in \(x\) che si ottiene in entrambi i casi, si vede che \(p=q=\pm \sqrt{a^2+b^2}\); d'altra parte, i termini noti \(p\) e \(q\) sono i vertici del quadrato, quindi, selezionando i due che sono positivi, possiamo calcolare la lunghezza del lato del quadrato in funzione delle diagonali:
\[
l^2=p^2+q^2 = 2\ (a^2+b^2)
\]
cioè:
\[
a^2+b^2=\frac{l^2}{2}\; .
\]
Questo è un vincolo che lega le dimensioni dei semiassi ed è la cosa che serviva per impostare il problema di massimo vincolato: infatti, dato che, come noto, il perimetro dell'ellisse è dato da:
\[
P(a,b) := 4a\ \int_0^{\pi/2}\ \sqrt{1- \frac{a^2-b^2}{a^2}\ \sin^2\theta}\ \text{d} \theta = 4\ \int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + b^2\ \sin^2 \theta}\ \text{d} \theta
\]
il problema assegnato si scrive come:
\[
\begin{cases}
\max 4\ \int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + b^2\ \sin^2 \theta}\ \text{d} \theta \\
\text{s. v. } a^2+b^2=\frac{l^2}{2}\; .
\end{cases}
\]
Questo problema può essere risolto in parecchi modi: ad esempio con i moltiplicatori di Lagrange, oppure riducendolo ad un problema di massimo per una funzione di una variabile.
Scegliamo questo secondo modo.
Ricavando \(b^2\) dal vincolo e sostituendo nella funzione obiettivo si ottiene la funzione obiettivo dell'unica variabile \(a^2\):
\[
f(a) := 4 \int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta}\ \text{d} \theta
\]
che va massimizzata per \(a\in [0,l/\sqrt{2}]\) (l'estremo superiore dell'intervallo viene fuori dal vincolo).
Questo si può fare col Calcolo Differenziale; tuttavia, se non si vuol perdere troppo tempo col Calcolo, si può usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\[
\left( \int_\alpha^\beta u(\theta)\ v(\theta)\ \text{d} \theta\right)^2 \leq \int_\alpha^\beta u^2(\theta)\ \text{d} \theta \ \cdot \ \int_\alpha^\beta v^2(\theta)\ \text{d} \theta
\]
per maggiorare \(f^2(a)\):
\[
\begin{split}
f^2(a) &= 16\ \left( \int_0^{\pi/2} \underbrace{1}_{u(\theta)}\ \underbrace{\sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta}}_{v(\theta)}\ \text{d} \theta \right)^2 \\
&\stackrel{\text{CS}}{\leq} 16\ \int_0^{\\pi/2}1\ \text{d} \theta\ \cdot\ \int_0^{\pi/2} \left( a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta \right)\ \text{d} \theta \\
&= 16\ \frac{\pi}{2}\ \left( a^2\ \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta\ \text{d} \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right) \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta\ \text{d} \theta\right)\\
&= 16\ \frac{\pi}{2}\ \left( a^2\ \frac{\pi}{4} + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \frac{\pi}{4}\right)\\
&= \pi^2\ l^2
\end{split}
\]
ottenendo quindi la maggiorazione:
\[
\tag{2}
f(a)\leq \pi\ l
\]
per il perimetro, dalla quale segue che il nostro massimo non può eccedere la quantità \(\pi\ l\) che è la lunghezza della circonferenza inscritta nel quadrato.
Ricordato che nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz vale il segno d'uguaglianza se e solo se le due funzioni \(u\) e \(v\) sono proporzionali e dato che \(v(\theta) := \sqrt{a^2\ \cos^2 \theta + \left(\frac{l^2}{2} -a^2\right)\ \sin^2 \theta} \) è costante (e quindi proporzionale a \(u(\theta)=1\)) se e solo se \(a^2 = \frac{l^2}{2} -a^2\), abbiamo uguaglianza nella (2) se e solo se:
\[
a=\frac{l}{2}\; ;
\]
in tal caso, anche \(b=\frac{l}{2}\) (per l'azione del vincolo), quindi l'ellisse è una circonferenza.
Visto che l'uguaglianza nella maggiorazione (2) è verificata se e solo se l'ellisee è una circonferenza, possiamo ben dire che l'ellisse con perimetro maggiore inscritta nel quadrato è la circonferenza.
gugo, mi consola parecchio che "queste cose" avremmo dovuto saperle fare già alle superiori (il college americano corrisponde alle superiori nostre no?)
Comunque mi sembra un pò forte la tua assunzione...non riesco a ritenere ovvio che
1. i fuochi stanno sulla diagonale del quadrato
2. i vincoli sui punti di contatto che hai posto
Per la 1, che succede se prendi un ellisse messa "storta", cioè inclinata rispetto alla diagonale?
Odio il mio prof, è ufficiale
AH ANCORA un altra cosa, cos'è "s.v."?
Comunque mi sembra un pò forte la tua assunzione...non riesco a ritenere ovvio che
1. i fuochi stanno sulla diagonale del quadrato
2. i vincoli sui punti di contatto che hai posto
Per la 1, che succede se prendi un ellisse messa "storta", cioè inclinata rispetto alla diagonale?
Odio il mio prof, è ufficiale
AH ANCORA un altra cosa, cos'è "s.v."?
"newton_1372":
gugo, mi consola parecchio che "queste cose" avremmo dovuto saperle fare già alle superiori (il college americano corrisponde alle superiori nostre no?)
No.
Il livello undergraduate, che è quello cui si rivolgono le Putnam Competition, corrisponde alla nostra laurea triennale.
"newton_1372":
Comunque mi sembra un pò forte la tua assunzione...non riesco a ritenere ovvio che
1. i fuochi stanno sulla diagonale del quadrato
2. i vincoli sui punti di contatto che hai posto
Per la 1, che succede se prendi un ellisse messa "storta", cioè inclinata rispetto alla diagonale?
Succede che l'ellisse non è tangente al quadrato.
Come dicevo a Rigel, credo anch'io che quella parte vada dimostrata... Non si può dire "a occhio si vede che".
Ti arrangio una dimostrazione "a volo".
Mettiamo il quadrato nella posizione usuale, identificandolo con l'insieme \([-l/2,l/2]^2\).
La generica ellisse ha equazione:
\[
\tag{1}
Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0
\]
con il discriminante \(AC-B^2>0\).
Affinché l'ellisse sia tangente al lato del quadrato che giace sulla retta di equazione \(x=l/2\) bisogna che l'equazione di secondo grado in \(y\) che viene fuori sostituendo \(x=l/2\) in (1) abbia \(\Delta=0\): dato che, con la sostituzione l'equazione diventa \(Cy^2+(Bl +2E) y+Dl+A\frac{l^2}{4}+F =0\), la condizione di tangenza si scrive:
\[
\tag{2}
l^2 B^2 + 4l BE + 4E^2 -4l CD - l^2 AC -4CF=0\; ;
\]
analogamente, affinché si abbia tangenza in \(x=-l/2\), bisogna che abbia \(\Delta=0\) l'equazione che si ottiene da (1) sostituendo \(x=-l/2\): dato tale equazione è \(Cy^2+(-Bl +2E) y -Dl +A\frac{l^2}{4}+F =0\), la condizione di tangenza si scrive:
\[
\tag{3}
l^2 B^2 - 4l BE + 4E^2 +4l CD - l^2 AC -4CF=0\; ;
\]
analogamente, imponendo la condizione di tangenza in \(y=l/2\) ed \(y=-l/2\) si trovano le due relazioni:
\[
\tag{4}
l^2 B^2 + 4l BD + 4D^2 - 4l AE - l^2 AC -4AF=0
\]
e:
\[
\tag{5}
l^2 B^2 - 4l BD + 4D^2 + 4l AE - l^2 AC -4AF=0
\]
Sottraendo m.a.m. (2) e (3) e (4) e (5) si ottiene:
\[
\tag{6}
BE-CD=0 \qquad \text{e} \qquad BD-AE=0\; ,
\]
invece, sommando m.a.m. (2) e (3) e (4) e (5) si ottiene:
\[
\tag{7}
l^2 B^2 +4E^2- C(l^2A+4F)=0 \qquad \text{e} \qquad l^2 B^2 +4D^2- A(l^2C+4F)=0\; .
\]
Dalle (6) si trae:
\[
0=AE(BE-CD) + BE (BD-AE) = \cancel{AEBE}-AECD+BEBD-\cancel{BEAE}= DE(B^2-AC)
\]
e, dato che \(AC-B^2>0\), ciò importa \(DE=0\).
Supposto che \(D=0\neq E\), dalla seconda delle (6) seguirebbe \(A=0\), il che sostituito nella seconda delle (7) fornirebbe \(B=0\) e dunque si perverrebbe all'assurdo \(AC-B^2=0\).
Allo stesso modo, suposto che \(D\neq 0=E\), dalla prima delle (6) seguirebbe \(C=0\), il che sostituito nella prima delle (7) importerebbe \(B=0\), facendoci pervenire allo stesso assurdo di prima.
Pertanto, l'unica alternativa rimasta affinché valga \(DE=0\) è che \(D=0=E\).
Sostituendo \(D=0=E\) nelle (7), si trae:
\[
l^2 B^2 -l^2AC-4CF = 0=l^2 B^2 -l^2AC-4AF\quad \Leftrightarrow \quad (A-C)F=0\; ,
\]
sicché o \(F=0\) oppure \(A=C\); ma \(F=0\) implicherebbe \(B^2-AC =0\) (per la prima delle (7)), il che è assurdo; quindi \(A=C\).
Conseguentemente, l'equazione della nostra ellisse tangente al quadrato sui lati è nella forma:
\[
\tag{8}
Ax^2+2Bxy+Ay^2+F=0\; .
\]
Ma l'equazione (8) è simmetrica rispetto alle bisettrici (poiché se \((x,y)\) soddisfa la (8), allora anche i punti simmetrici \((y,x)\) e \((-y,-x)\) soddisfano la medesima equazione), ergo l'ellisse da essa rappresentata è simmetrica rispetto alle bisettrici.
Dato che gli unici assi di simmetria di un'ellisse sono gli assi, da ciò segue che una qualsiasi ellisse inscritta nel quadrato ha gli assi disposti lungo le diagonali del quadrato stesso.
"newton_1372":
AH ANCORA un altra cosa, cos'è "s.v."?
"Sul vincolo" o "sotto vincolo", come piace di più a te.
lei è un docente di analisi, gugo?
No, sono un dottorando. Ogni tanto tengo esercitazioni di Analisi per qualche c.d.l., però.
Perché?
Perché?
"gugo82":
Come dicevo a Rigel, credo anch'io che quella parte vada dimostrata... Non si può dire "a occhio si vede che".
E' vero.
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