\( \ell^\infty\) è isometrico a \( L(L^p ([0,1])) \)

[Sk_Anonymous]

Se \(X\) è uno spazio normato, indico con \( L(X) \) lo spazio degli operatori lineari e continui \( X \to X\).

Problema. Esibire un'isometria \( \ell^\infty \to L(L^p ([0,1])) \).

[Bremen000]

Ciao Delirium, la tesi vale per ogni \( p \in [1, + \infty] \) ? Per te isometria significa che deve essere anche suriettiva?

[Sk_Anonymous]

"Bremen000":Ciao Delirium, la tesi vale per ogni \( p \in [1, + \infty] \) ? Per te isometria significa che deve essere anche suriettiva?

Vale per \( p \in [1, +\infty) \) e no, niente suriettività.

[Sk_Anonymous]

Per \( \{\xi_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^\infty \) considera l'operatore \(L^p ([0,1]) \to L^p ([0,1])\) definito da \[ f \mapsto \sum_{n=1}^\infty \xi_n \chi_{[1/2^n,1/2^{n-1})} f. \]

[Bremen000]

Ah caspita non c'avevo pensato a una costruzione del genere, continuavo a farmi fuorviare dal caso \( p=2 \) in cui scomponevo il generico elemento rispetto ad una base e poi ne moltiplicavo i coefficienti ognuno per una componente dell'elemento di \( \ell^{\infty} \), solo che poi non mi funzionava nulla...

P.S. : Quando hai tempo/voglia/possibilità mi dai un occhio a quello della funzione integrale?

[Sk_Anonymous]

Ciao Bremen, cerco di guardare l'altro esercizio la settimana prossima.

Non so se questo fosse granché interessante, il punto che avevo in testa è che \( \ell^\infty \) è isometrico a varie cose (pagina 9).

[dan952]

@Delirium
[ot]È tua la tesi?[/ot]

[Sk_Anonymous]

"dan95":@Delirium
[ot]È tua la tesi?[/ot]

[ot]Yep, triennale.[/ot]