Due sottospazi chiusi in un Hilbert la cui somma non è chiusa

[Paolo902]

Proposto da un carissimo collega durante una recente lezione di Analisi:

Problema. Esibire uno spazio di Hilbert \( \mathscr H\) e due sottospazi chiusi $W_1, W_2$ tali che il sottospazio somma $W_1+W_2$ non sia chiuso.

La gara sta nel trovare l'esempio più bello o, se vogliamo, quello più elementare. Io ne ho trovato uno ma non è granché, magari esiste qualcosa di più carino... Per inciso, penso che l'ipotesi Hilbert sia rognosa: voglio dire, esempi con Banach (o anche solo o normati) penso siano più semplici da trovare e possiamo divertirci rilanciando il problema in questi ambienti. A voi.

[Rigel1]

Propongo la soluzione classica.

Sia \((e_n)\) una base Hilbertiana di \(\ell^2\) (o più in generale un sistema ortonormale in un qualsiasi spazio di Hilbert). Definiamo
\[
x_n := \left(\cos\frac{1}{n}\right) e_{2n} + \left(\sin\frac{1}{n}\right) e_{2n+1}\,,\qquad n\in\mathbb{N}\,.
\]
Si verifica immediatamente che i vettori \((x_n)\) sono ortonomali; poiché \(\sum_n \sin^2(1/n)\) è convergente, possiamo definire
\[
x := \sum_n \left(\sin\frac{1}{n}\right) e_{2n+1}\,.
\]
Siano
\[
W_1 := \text{span}\{e_{2n}:\ n\in\mathbb{N}\},\qquad
W_2 := \text{span}\{x_n:\ n\in\mathbb{N}\}.
\]
Chiaramente si ha \(x\in \overline{W_1+W_2}\); mostriamo che \(x\not\in W_1+W_2\).
Se per assurdo fosse \(x = v+w\) con \(v\in W_1\) e \(w\in W_2\), si avrebbe per ogni \(m\)
\[
\begin{split}
\sin\frac{1}{m} & = (x, e_{2m+1}) = (v+w, e_{2m+1}) = (w, e_{2m+1})
\\ & =
\left(\sum_n (w, x_n) x_n, e_{2m+1}\right) = (w,x_m)\, (x_m, e_{2m+1})
= (w,x_m)\, \sin\frac{1}{m},
\end{split}
\]
dunque tutti i coefficienti di Fourier di \(w\) nel sistema ortonormale \((x_n)\) varrebbero \(1\), assurdo.

[Paolo902]

Grazie, Rigel. Scusa se rispondo con un po' di ritardo, ma ho avuto un po' di cose da sistemare e non ce l'ho fatta a leggere subito con calma il tuo esempio. Ieri comunque ne abbiamo discusso io e il mio amico che ha proposto il quesito; ci torna tutto (molto probabilmente non ci sarebbe mai venuto in mente...). Ad ogni modo, ti ringrazio.

[dissonance]

Mi è venuta una idea per un esempio "concreto", ma non ho sottomano carta e penna quindi la scrivo di getto e vediamo che succede. Lo spazio di Hilbert è \(L^2([0,1]\times[0,1])\) e i sottospazi sono
\begin{align}
V&=\{f=f(x_1)\}\\
W&=\{g=g(x_2)\}.
\end{align}
Questi sono chiaramente sottospazi chiusi. Ora io credo che \(V+W\) sia un sottospazio proprio e denso di \(L^2([0,1]\times[0,1])\), e quindi non può essere chiuso.

Purtroppo non sono in grado di verificare quest'ultima affermazione in questo momento. Che ne pensate?

P.S.: Ciao carissimi Paolo e Rigel! Come vedete non sono sparito, continuo a leggervi con regolarità, solo che me ne resto più in disparte.

[Paolo902]

Ciao carissimo dissonance!

E' sempre un grande piacere leggerti, ti ringrazio per il tuo post. So che probabilmente non hai molto tempo, però se ti va potresti spiegare un po' più nel dettaglio la costruzione che hai in mente, per piacere? Hai qualche idea in particolare per l'ultimo punto?

Se ho interpretato bene, tu dici: prendiamo $H=L^{2}([0,1] \times [0,1])$ che è uno spazio di Hilbert. Ora, consideriamo come $V$ l'insieme delle funzioni di $H$ che sono costanti rispetto alla seconda variabile e come $W$ l'insieme delle funzioni di $H$ costanti rispetto alla prima variabile. Posso credere al fatto che questi sottospazi siano chiusi (un po' alla buona, limite $L^2$ di funzioni costanti in $x_1$ è costante in $x_1$ - si userà Fubini-Tonelli) ma non saprei che pensare della densità della somma. Una funzione $L^2$ sul quadrato si potrà scrivere come limite di somma di funzioni della variabili "separate"? Buh...

[dissonance]

Si esatto Paolo. Purtroppo però non funziona. Qualche dettaglio:

Sia \(H=L^2([0,1]\times [0, 1]\to \mathbb{R})\) e siano
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
V&=&\{f=f(x_1, x_2)\ |\ f=f(x_1)\}\\
W&=&\{g=g(x_1, x_2)\ |\ g=g(x_2)\}
\end{array}
\end{equation}
Questi sono chiaramente sottospazi vettoriali e sono chiusi, perché se una successione \(f_j=f_j(x_1)\in V\) converge verso \(f\in H\) nel senso di \(L^2\) allora ammette una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque. E dunque
\[
f(x_1, x_2)=\lim_{j \to \infty} f_{k(j)}(x_1) = f(x_1)\]
per quasi ogni \(x_1\in [0,1]\). Lo stesso dicasi per \(W\). Il guaio è che lo stesso vale per \(V+W\)! Quindi anche il sottospazio somma è chiuso, e non abbiamo concluso niente.

La prossima volta sarà meglio che mi procuri carta e penna prima di scrivere!

[Paolo902]

Ah, sì certo, hai ragione, c'è sempre l'estratta che converge puntualmente quasi ovunque. Mannaggia! Mi piaceva come esempio ... Se ho un attimo di tempo ci penso un po' su, magari si può prendere spunto da qui.

Grazie mille