Divisibilità di una composizione di polinomi

maurer
Prove it! Sia [tex]K[/tex] un campo e siano [tex]p(X), q(X) \in K[X][/tex] due polinomi. Dimostrare che se [tex]q(X)[/tex] non è costante, allora esiste un polinomio [tex]f(X) \in K[X][/tex], non identicamente nullo, tale che [tex]p(X) \mid f(q(X))[/tex].

Nota. Niente di particolare, solo un po' di algebra del primo anno, ma trovo comunque la dimostrazione elegante.

Risposte
mistake89
Due parole veloci, anche se è ancora da formalizzare:



Se ho due minuti dopo provo a scriverlo meglio, purtroppo il tempo mi è tiranno.

mistake89
Provo a formalizzare un attimo:

maurer
La mia dimostrazione fa leva su un concetto completamente diverso, magari la posterò in seguito. Comunque, la tua proposta non è ancora del tutto soddisfacente: non ho supposto che [tex]K[/tex] sia un campo algebricamente chiuso, quindi le radici di [tex]p(x)[/tex] potrebbero non essere nel campo [tex]K[/tex]; di riflesso potrebbe succedere che [tex]f(x)[/tex] non sia un polinomio a coefficienti in [tex]K[/tex].

mistake89
E' vero, ma ai fine della mia costruzione non so se è rilevante. Se $K=CC$ allora non ci sono problema, se $K=RR$ allora le radici sono complesse coniugate, quindi il loro prodotto (che sicuramente devi fare per costruire il polinomio) è reale.
Per i campi finiti ammetto di non averci pensato. Magari la costruzione funziona comunque semplicemente riducendo modulo $p$.

maurer
E per i campi infiniti che contengono propriamente [tex]\mathbb{C}[/tex]? Ad esempio il campo delle funzioni razionali a coefficienti in [tex]\mathbb{C}[/tex]...
Non ho detto che la tua strada sia sbagliata; so (perché l'ho già vista) che può essere messa in sesto in modo da funzionare per ogni campo.

mistake89
"maurer":
E per i campi infiniti che contengono propriamente [tex]\mathbb{C}[/tex]? Ad esempio il campo delle funzioni razionali a coefficienti in [tex]\mathbb{C}[/tex]...
Non ho detto che la tua strada sia sbagliata; so (perché l'ho già vista) che può essere messa in sesto in modo da funzionare per ogni campo.


Ok allora ci penso un altro po'... Mi farebbe piacere leggere la tua :)

maurer
Non appena ho un attimo di tempo (stasera, penso) la scrivo per bene.

mistake89
Un'idea potrebbe andare a perndersi le radici nel campo di spezzamento di $p(x)$, però non ho modo ora di vedere se funziona (in realtà l'unica cosa da verificare è che $f(x) in K[x]$)

maurer
Fuochino. La strada è giusta, ma c'è ancora un po' di lavoro (e forse bisognerebbe cambiare di un epsilon la definizione di f(x)).

maurer
Ok, posto la mia soluzione.

Fissato [tex]q(X)[/tex], poniamo [tex]S = \{f(X) \in K[X] : \: \exists g(X) \in K[X], f(X) = g(q(X))\}[/tex], ossia consideriamo l'insieme di tutti i polinomi in [tex]q(X)[/tex]. Se [tex]g_1(q(X)), g_2(q(X)) \in S[/tex], allora si ha [tex]g_1(q(X)) \pm g_2(q(X)) = (g_1 \pm g_2)(q(X))[/tex] e [tex]g_1(q(X)) g_2(q(X)) = (g_1 \cdot g_2)(q(X))[/tex], sicché [tex]S[/tex] risulta essere un sottoanello di [tex]K[X][/tex]. D'altra parte [tex]S[/tex] può anche essere pensato come spazio vettoriale su [tex]K[/tex] e la dimensione necessariamente è infinita: è un esercizio banale far vedere che [tex]1, q(X), [q(X)]^2, \ldots, [q(X)]^n[/tex] sono linearmente indipendenti per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Consideriamo ora il polinomio [tex]p(X)[/tex] e l'ideale da esso generato [tex](p(X))[/tex]. Se il grado di [tex]p(X)[/tex] è m, allora il quoziente [tex]K[X]/(p(X))[/tex] è un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale di dimensione m e la proiezione canonica [tex]\pi \colon K[X] \to K[X]/(p(X))[/tex] può essere vista come applicazione lineare. Se ora fosse per assurdo [tex]S \cap (p(X)) = (0)[/tex], allora [tex]\pi(S) \simeq S/(S \cap (p(X))) = S[/tex]; ma [tex]\pi(S)[/tex] deve essere uno spazio vettoriale di dimensione finita; assurdo perché avremmo trovato un isomorfismo tra spazi vettoriali di dimensione diversa. Pertanto esiste almeno un polinomio [tex]g(X) \in S \cap (p(X))[/tex] e quindi esiste, per definizione di [tex]S[/tex] un polinomio [tex]f(X) \in K[X][/tex] tale che [tex]g(X) = f(q(X))[/tex], da cui la tesi.

mistake89
Molto bella questa dimostrazione. Bravo!

maurer
Grazie! Quando l'ho scritta la prima volta, mi è piaciuta tantissimo. Comunque qui c'è anche la revisione del secondo metodo di dimostrazione.

mistake89
Sì, l'idea che avevo in testa era quella, anche se non avevo pensato di passare per i polinomi minimi.
Grazie per la segnalazione!

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