Disugualianza simile AM-GM

[floriano94]

Ehilà! Oggi sto un pò impazzendo con questa disugualianza (ricavata prendendo spunto da un esercizio di un test di ammissione alla SNS) che non riesco proprio a dimostrare ( ) ..ma sicuramente non sto vedendo qualcosa di banale!
Chi mi da una mano ?


$ a^2+ (b^4)/a^2 geq (a^2 + b^2)/2 $

L'ho girata e rigirata ma non mi sembra di trovare alcuna relazione utile
Thanks!

[magliocurioso]

Secondo me manca qualcosa.

[gugo82]

"floriano94":Ehilà! Oggi sto un pò impazzendo con questa disugualianza (ricavata prendendo spunto da un esercizio di un test di ammissione alla SNS) che non riesco proprio a dimostrare ( ) ..ma sicuramente non sto vedendo qualcosa di banale!
Chi mi da una mano ?


$ a^2+ (b^4)/a^2 geq (a^2 + b^2)/2 $

L'ho girata e rigirata ma non mi sembra di trovare alcuna relazione utile
Thanks!

Ovviamente è \(a^2>0\), altrimenti la cosa non avrebbe senso.

Mettendo \(a^2\) in evidenza in ambo i membri e semplificando, si trova che la tua disuguaglianza è equivalente a:
\[
1+\left( \frac{b^2}{a^2}\right)^2 \geq \frac{1}{2}\ \left( 1+ \frac{b^2}{a^2}\right)
\]
ossia, ponendo per comodità \(t=b^2/a^2\geq 0\), a:
\[
1+t^2 \geq \frac{1+t}{2}\; .
\]
L'ultima disuguaglianza è sempre vera, giacché:
\[
2t^2-t+1>0
\]
per ogni \(t\in \mathbb{R}\) ed, a fortiori, per \(t\geq 0\).

[floriano94]

"gugo82":
Ovviamente è \(a^2>0\), altrimenti la cosa non avrebbe senso.

Chiedo perdono per non aver specificato che :
$ [ a geq 0 ^^ b geq 0 ] vv [ a<0 ^^ b
con $ a,b in RR $

Mea culpa!

[gugo82]

Innanzitutto, impara a non appesantire la notazione quando non ce n'è bisogno (i simboli logici usali in Logica, non al posto di una frase naturale che può essere compresa facilmente).

Inoltre, basta \(a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) per dare senso alla scrittura; visto che \(b\) entra nella disuguaglianza solo al numeratore e solo attraverso il suo quadrato non c'è bisogno di specificarne il segno.

[floriano94]

grazie mille ,mi è stato molto d'aiuto