Disuguaglianze probabilistiche notevoli
Visto che nessuno posta sull'argomento probabilità ci provo io.
Sia $X$ una v.a. t.c. $E(X)=0$ e con $P(a\le X \le b)=1$ allora $E(e^{sX})\le e^{\frac{s^2(b-a)^2}{8}}$ per ogni $s>0$.
In generale se esiste una v.a. $Z$ t.c. $E(X|Z)=0$ e $P(f(Z)\le X \le f(Z)+1)=1$ per una generica funzione $f$ e con $c>0$ allora
$E(e^{sX}|Z)\le e^{\frac{s^2c^2}{8}}$ per ogni $s>0$.
Da queste due discende un notevole risultato di concentrazione per martingale:
Sia $\{X_n\}$ una martingala t.c. $V_i=|X_i-X_{i-1}|\le c_i$ con $c_i>0$ allora per ogni $t>0$ e per ogni $n\ge 1$ vale $P(|X_n-X_0|\ge t)\leq 2e^{-\frac{t^2}{2\sum_{i=1}^{n}c^2_i}}$.
Ovviamente tali disuguaglianze non sono proprio elementari ma sono sufficientemente conosciute ai probabilisti (non proprio in erba).
P.S. Aspetto richieste per eventuali suggerimenti da postare.
Sia $X$ una v.a. t.c. $E(X)=0$ e con $P(a\le X \le b)=1$ allora $E(e^{sX})\le e^{\frac{s^2(b-a)^2}{8}}$ per ogni $s>0$.
In generale se esiste una v.a. $Z$ t.c. $E(X|Z)=0$ e $P(f(Z)\le X \le f(Z)+1)=1$ per una generica funzione $f$ e con $c>0$ allora
$E(e^{sX}|Z)\le e^{\frac{s^2c^2}{8}}$ per ogni $s>0$.
Da queste due discende un notevole risultato di concentrazione per martingale:
Sia $\{X_n\}$ una martingala t.c. $V_i=|X_i-X_{i-1}|\le c_i$ con $c_i>0$ allora per ogni $t>0$ e per ogni $n\ge 1$ vale $P(|X_n-X_0|\ge t)\leq 2e^{-\frac{t^2}{2\sum_{i=1}^{n}c^2_i}}$.
Ovviamente tali disuguaglianze non sono proprio elementari ma sono sufficientemente conosciute ai probabilisti (non proprio in erba).
P.S. Aspetto richieste per eventuali suggerimenti da postare.
Risposte
Posto un aiuto per la prima disuguaglianza:
$e^{sx}\le \frac{x-a}{b-a}e^{sb}+ \frac{b-x}{b-a}e^{sa}$, ora sostituire $x$ con la v.a. $X$ e ricordare che $E(X)=0$. Porre $p=-\frac{a}{b-a}$ e considerare la funzione $g(u)=-pu+\log(1-p+pe^u)$ e scrivere $pe^{sb}+ (1-p)e^{sa}$ in funzione di $g(u)$.
$e^{sx}\le \frac{x-a}{b-a}e^{sb}+ \frac{b-x}{b-a}e^{sa}$, ora sostituire $x$ con la v.a. $X$ e ricordare che $E(X)=0$. Porre $p=-\frac{a}{b-a}$ e considerare la funzione $g(u)=-pu+\log(1-p+pe^u)$ e scrivere $pe^{sb}+ (1-p)e^{sa}$ in funzione di $g(u)$.
Visto che la probabilità non è comune ai molti trasformo un pochino il problema (con l'hint di Andrea) per renderlo di natura analitica.
Dato che l'esercizio non è stato ancora completato, ma non voglio postare ancora la soluzione, lascio dei riferimenti per chi fosse interessato a queste tematiche (ed anche per vedere l'eventuale dimostrazione).
La prima disuguaglianza è attribuita a Hoeffding, mentre il risultato generale che cito viene chiamata Disuguaglianza di concentrazione di Azuma.
L'interesse nasce dal fatto che da bound locali si ottengono bound globali, che in determinate situazioni permettono di affermare che il valore di un determinato processo sia "concentrato" intorno alla sua media con probabilità $1-\epsilon$.
Sviluppi successivi e interessanti applicazioni anche al campo dell'analisi si trovano nei lavori (disponibili in rete) di Michel Talagrand e di Colin Macdiarmid.
La prima disuguaglianza è attribuita a Hoeffding, mentre il risultato generale che cito viene chiamata Disuguaglianza di concentrazione di Azuma.
L'interesse nasce dal fatto che da bound locali si ottengono bound globali, che in determinate situazioni permettono di affermare che il valore di un determinato processo sia "concentrato" intorno alla sua media con probabilità $1-\epsilon$.
Sviluppi successivi e interessanti applicazioni anche al campo dell'analisi si trovano nei lavori (disponibili in rete) di Michel Talagrand e di Colin Macdiarmid.
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